一道方程錯題引發的深層思考

陳明月

【摘 要】方程是屬于數與代數的內容，掌握好解方程的方法，“只要能夠在未知數和已知數之間建立起等量關系，就可以獲得未知數的值”，這正是方程存在的獨特價值。教師還可以借助這道易錯題所創設的情境，拓寬學生的解題思路。

【關鍵詞】小學數學；方程題；解題思路

一線的小學數學老師們，你們在教五年級上冊第五單元簡易方程“解稍復雜方程”這一課內容時，是否覺得學生在解方程的時候特別困擾，特別吃力呢？數學教科書上第69頁，例題下面的“做一做”中的第2題，解下列方程的第二小題是3x-12×6=6，有不少的學生解這道題的時候，解方程的方法過程都一樣（如下面圖1所示），解題的過程中也是先把3x看成一個整體，接下來應該是根據等式的性質1和等式性質2來計算的，目的是把方程的左邊減去12×6消除掉；但是這些同學在計算的時候，往往是第一步方程兩邊同時加上12，目的是把12這個數字先削掉，第二個解題步驟方程兩邊同時除以6，第三解題步驟是過程兩邊同時除以3，最后x=1，錯得好像挺有道理？由此可見，這些學生在解方程的時候并沒有真正理解掌握方程的實際意義。處理方式如下：

1.對癥下藥，提升數學思想方法

通過對一道錯題的深入研究發現，學生掌握一個數學知識點不能僅依靠教師口耳相傳，也不能單純依賴機械模仿。學生只有靠自己發現、感悟、操作，才能豐富學習體驗，學會每一部分知識。本題是一道解方程的計算題，教師如何做到讓學生體驗數學活動呢？本題可以設計成一道有情境的實際問題：陳老師去超市買了3支鋼筆和12支圓珠筆，每支圓珠筆6元，3支鋼筆的總價比12支圓珠筆的總價貴6元，求每支鋼筆的價錢？根據第3個條件：3支鋼筆的總價比12支圓珠筆的總價貴6元這一句可以列出這題的等量關系式：鋼筆的總價-圓珠筆的總價=6，可以列方程為3x-12×6=6，根據情境設計的意圖，把3x這個鋼筆的總價看成一個整體，先算圓珠筆的總價12×6=72（元），本題解方程過程見（圖2）。

2.一題多解，拓寬解題思路

方程是屬于數與代數的內容，掌握好解方程的方法，它是可以幫助我們解決問題的，即：“只要能夠在未知數和已知數之間建立起等量關系，就可以獲得未知數的值。”而這，正是方程存在的獨特價值。教師還可以借助這道易錯題所創設的情境，拓寬學生的解題思路，教師引導學生還是根據情境中的第3個條件，列出不同的方程，如：方法二等量關系式

——鋼筆的總價=圓珠筆的總價+6，列出方程3x=12×6+6；方法三等量關系式——鋼筆的總價-6=圓珠筆的總價，列出的方程是3x-6=12×6。教師最終引導學生歸納出這三種方法方程解方程的共同特點，不管12×6在方程的左邊或者在方程的右邊，第一步驟要先求出12×6=72元，即圓珠筆的總價，同學們原來解題思路錯誤就是這一步錯了。

不管有沒有問題情境，在解方程的時候，首先要判斷有幾個運算符號，然后根據四則運算法則，先算乘除，后算加減，不能算的只能看成一個大的整體，能轉化成只有一個運算符號最好，再繼續算。

3.可以設計對比形式的習題，讓形成的數學思想方法得到鞏固

老師們可以通過設計對比形式的數學練習題，把比較稍復雜的解方程習題經過對比、轉變的形式的出現，使學生在解方程對比練習中找到最一般的解題思路。比如：解方程的習題設計這樣一組對比形式的習題——x-6=72、2x-6=72、3x-6=72、2.6x-6=72、7.8x-6=72、7.8x-2×3=72，當這6題的方程式子上下排列對齊的時候，讓學生認真仔細觀察這組方程數據，4人小組討論一下，這6道方程在解方程的過程中有什么相同的特點和不同的特點呢？相同的地方是，第二部分是減數并且都是6，差都是72，那么第一部分是幾個x都可以看成一個整體，都是處在被減數的位置，給它加框，通通轉化成一個大的X，那么從第2列和第5列方程都可以轉化成第一列方程了，解方程的步驟是相同的，第一步都是先把第二個減數6先削掉，方程兩邊同時加上6得X=72，也就是剩下幾個x得72；最后再根據等式性質2解方程，從而得到方程的解。

學生在解決稍復雜的方程時，第一個步驟就是要先審題，把什么看成一個整體，可以用加框的形式，也可以轉化成一個大的X，使稍復雜的方程轉化成為只有一個運算符號；第二步驟再根據這個整體的實際運算符號的逆運算削掉第二個數，如+6-6互相逆運算轉化再相抵消，×5÷5相抵消，最后使方程的左邊只剩下一個未知數x，最終得到方程的解。

4.對比算術解和方程解，突出方程解的優點

史寧中教授指出：方程的本質是描述現實世界中的等量關系，這就是列方程的基本原則。在教學實際問題與方程的教學中，在學生的數學叢書里頭有這樣的一道題：北京故宮的面積72公頃，比天安門廣場的面積的2倍少16公頃，求天安門廣場的面積是多少公頃？有一部分學生都用算術解列式，方法一：72÷2-16=36-16=20（公頃）。方法二：（72+16）÷2=88÷2=44（公頃）。大多數學生用列方程解答，經過思考，找出這題的等量關系式，解法一：根據等量關系式——天安門廣場的面積×2-故宮的面積=16公頃，列出方程為2x-72=16。解法二：根據等量關系式——天安門廣場的面積×2-16公頃=故宮的面積，列方程為2x-16=72。教師引導學生把算術解得數和方程解的得數分別代入題目中去驗算。經過學生們的驗算，方法一20×2-16=24（公頃），顯然方法一的同學錯了，因為故宮的面積是72公頃，不是24公頃；方法二的驗算和兩種方程的方法一樣，思路正確，最終求出的北京天安門廣場的面積是44公頃。但是，陳老師對于方法二的同學有個疑問，（72+16）÷2中（72+16）表示什么意思，明明這句話故宮比天安門廣場的面積的2倍少16公頃，里面有少16公頃，為什么，你們不用72-16，反而用72+16呢？

通過對比算術解和方程解，突出方程解的優勢，為什么可以這樣說呢？算術解是逆向思維，特別是一個量比另一個量的幾倍多（少），像這類的實際問題模型，學生用算術解解決問題，往往會做錯的多，沒有好好理解題意，湊成完整的倍數，看到多就加，看到少就減，這是一種可怕的定勢思維；如果用方程解，理解起來就是順向思維，誰的幾倍誰去乘，多就加，少就減，教師可以鼓勵學生再遇到類似的問題，一般建議大多數學生采用列方程模型，先找到解決問題的等量關系式，再列方程并解答問題，得分率會更高，這就是突出了用方程解決問題的優勢。

根據解方程的錯題實例分析，要引起老師們對于解方程的本質的理解，解題思路不是一成不變的，要讓學生先判斷要解方程的題目有幾個運算符號，根據四則運算法則，先算乘除，后算加減，不能算的只能看成一個大的整體，能轉化成只有一個運算符號最好，再繼續算。要讓學生在算出方程的解的時候，及時驗證方程的解，是否計算正確，這才是解題的根本。

【參考文獻】

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