利用對稱性解決函數問題探析

龐秀麗Q

摘 要：高中數學階段函數貫穿始末，占有很大比重，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函數的圖像和性質是高考的重點與熱點，其中函數的對稱性是函數的一個基本性質。對稱關系不僅廣泛存在于數學問題當中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。考查對稱性能有效地考查學生的邏輯思維能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力，因而是高考和競賽中命題的熱點和重點。

關鍵詞：函數 對稱關系 高中數學 三角函數 性質 高考

高中數學階段函數貫穿始末，占有很大比重，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函數的圖像和性質是高考的重點與熱點，其中函數的對稱性是函數的一個基本性質。對稱關系不僅廣泛存在于數學問題當中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。考查對稱性能有效地考查學生的邏輯思維能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力，因而是高考和競賽中命題的熱點和重點。筆者在分析2009年和2010年高考試題時發現：09年全國卷Ⅰ選擇題第11題、山東卷理科高考數學第16題，都是一些直接應用函數對稱性解決的問題；10年全國卷Ⅰ填空題第15題，也涉及到函數圖像對稱性問題。下面通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來探討與函數對稱性有關的問題。

一、利用函數自身的對稱性

性質1 函數y=f（x）的圖象關于A（a，b ）對稱的充要條件是f（x）+ f（2a-x）=2b。

推論：函數y=f（x）的圖象關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。

性質2 函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。

推論：函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

性質3 （1）若函數y=f（x）的圖象同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（ab），則y=f（x）是周期函數，且2a-b是其一個周期。

（2）若函數y=f（x）圖象同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（ab），則y=f（x）是周期函數，且2a-b是其一個周期。

二、利用不同函數間的對稱性

性質4 函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖象關于點A（a，b）成中心對稱。

性質5 （1）函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖象關于直線x=a成軸對稱。

（2）函數y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖象關于直線x+y=a成軸對稱。

（3）函數y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖象關于直線x-y=a成軸對稱。

推論：函數y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖象關于直線x=y成軸對稱。

三、巧用對稱性解決數學中的動點最值問題

1.問題原型：

（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經典問題。解這類問題

2.基本解法：

對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置，計算線路最短長度。

3.例題解析與歸納經驗

例1.要在河邊修一個小泵站，分別向張村和李莊送水，問水泵站應建在河邊的什么地方，可便所用的水管最短？

分析：如何證明兩線段和最短？考慮到初一學的線段公理“兩點之間，線段最短”，那么，如何把這兩條線段轉化成一條線段呢？此時，軸對稱的性質，對稱軸是軸對稱連線的中垂線。作點A關于直線l的對稱點A'，連結A'B直線l于P點，此時，兩線段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。

例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x軸上找一點P，使AP+BP最短。此時AP+BP的長為_______

分析：（與例1方法相同）過點P作水平線，過點P作垂直于x軸直線，兩直線交于點C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的長為5。

例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中點，點P是對角線AC上的一個動點。求PM+PB的最小值是________________.

分析：根據菱形的軸對稱性可知，點B關于對角線AC的對稱點就是點D，連結PD. 則PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是點DM的值。因為四邊形ABCD是菱形， ∠BAD=60°，△ABD是等邊三角形。又M是AB的中點，所以DM是△ABD中線，又因為等腰三角形三線合一的性質，所以DM是△ABD高線。又因為AB=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。

例4.正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形 ，點E在正方形ABCD的內部，在對角線AC上有一點P，求PD+PE的最小值____________.

分析：根據正方形的軸對稱性可知，點D關于對角線AC的對稱點就是點B，連結PB，則BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值為BE。因為正方形ABCD的面積為12， 則AB=2，又因為△ABE是等邊三角形。又M是AB的中點，所以DM是△ABD中線，又因為等腰三角形三線合一的性質，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。

歸納經驗：此類問題的共同特點是將兩條線段的和轉化為一條線段，這條線段的長度就是最短距離，怎樣找到這條線段呢？步驟如下（以最后一題為例）

1.動點P在AC直線上運動，這條直線AC即為對稱軸。

2.找出（或作出）點D關于這條直線的對稱點B

3.連結BE，BE即就是這條線段。BE的長度即是最短距離，（當PD+PE取最小值時，點P就是BE與對稱軸的交點.。

4.利用所學的知識，求BE的長度。

總之，在這一類動點最值問題中，關鍵在于，我們善于作定點關于動點所在直線的對稱點，這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。

參考文獻

[1] 朱濤.對稱性問題綜述[J]；高中數學教與學；2003年08期.

[2] 俞根龍；金志興.初等數學中的對稱性問題[J]；中學教研；1991年01期.

[3] 范富成.關于兩類函數圖象的對稱性問題[J]；中學數學；1993年03期.