高中數學數列試題的解題思路與技巧初探

黃天澤

【摘 要】數列知識在高中數學當中占據著重要位置，在高考考試中也占有較高的分值，因此，學好數列對高中生而言至關重要。在面對各種數列題型時，有各種不同的解題技巧和思路，運用正確的方法不但可以提高解題速度，同時還可以鍛煉學生的發散思維。

【關鍵詞】高中數學；數列試題；解題思路；技巧

數學數列屬于一種特殊的函數，其特殊性主要表現在定義域與值域上面。在解題過程中，學生應視數列題型規律，靈活采取相對應的解題方法，結合自身掌握的數列理論知識，做到活學活用，有效提升解題效率與解題質量。

一、掌握數列知識，提升學習效率

數學學科屬于高中階段的基礎學科，而學好數學的前提條件是要掌握各個分項知識點，尤其對于數列來說，綜合性強，考驗學生的邏輯思維能力，相比于其他基礎知識，其解題難度大，輻射知識面廣泛，因此高中生應該具備極其扎實的數列基礎知識，才能使輕松完成數列試題的解題過程[1]。

數列分為等差數列、等比數列、等和數列以及特殊數列，而在高中最為常見的類型題，大多屬于等差數列的范疇，而對于高中生來說，一般的解題方法都是根據題設，直接切入主題。比如：數列{an}滿足a1=1/2，an+1=1/2-an（n屬于正整數），設bn=1/1-an，證明{bn}是等差數列，并求bn和an。

其解題步驟為：an+1=1/2-an兩邊減1得：

（an+1）-1=1/（2-an）-1，再取倒數整理得：

1/[（an+1）-1]=-1+1/（an-1），

所以，數列{1/[（an）-1]}是首項-2，公差-1的等差數列，∴1/[（an）-1]=-n-1，

解得：an=n/（n+1）。∵bn=1/1-an，代入an整理得：bn=n+1，故bn+1=n+2，（bn+1）-bn=n+2-n-1=1，∴{bn}是等差數列。

類似于一目了然的數列試題，可以直接利用數列的基本知識進行解題，而在解題過程中，需要的就是扎實的基礎知識。此外，高中的許多試題都是以數列作為知識背景，所以只有掌握數列知識點和相關的解題技巧，才能使數學的解題綜合水平得到有效提升。

二、數列試題的基本解題思路與技巧探析

（一）靈活運用解題方法解決通項公式試題

通項公式作為平時考試與高考考試中經常碰到的題型，學生必須靈活掌握解題技巧，而通項公式在數列試題中所占的比例也很高。通常情況下，針對數列求和時主要遵照以下三種方法進行解題。其一屬于分組求和法，對一些數列試題，往往采用分組的形式才能求得相對應的結果，在解題過程中一般采取分層的方法對數列進行有效合并。比如：an=bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，就可以采用分組求和法求{an}的前n項和，應用分組求合解決相關的數列試題可以收到直觀的解題效果，學生學習和掌握起來也相對比較容易[2]。

其二屬于錯位相減法，但是這種方法通常應用于一些等比數列與等差數列的求和試題當中，比如形如An=BnCn，其中Bn為等差數列，Cn為等比數列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即kSn；然后錯一位，兩式相減即可以計算出結果，利用這種方法，學生可以避免許多解題彎路，使解題過程更為直觀，解題思路更為清晰，解題效率更為高效。

其三屬于合并法，這種方法主要是針對平時碰到的一些特殊題型，它所考查學生的知識點比較多，因此學生在應用此方法時應格外注意一點，必須在數列題型當中準確的找出通項與組合項，這樣可以很快計算出試題的答案。

（二）夯實基礎，提升學力

遵照《新課改》要求，近幾年，針對高中數學各種題型，也出現了許多創新式的解題思路和方法，通過科學合理的運用這些方法，使解題效率得到提高。而數列屬于高中數學當中重要知識點，只有掌握數列的基礎知識才能學好數列，正所謂，基礎不牢，建筑易倒。

而許多高中生在學習過程中卻陷入一個誤區，認為數列知識過于抽象，不易掌握，哪怕舍棄數列一個單元的知識點，也不會對數學成績造成多大影響，殊不知，從數列的單元知識之后，所有的數學類型題全部結合數列展開，而試題的內容也全部圍繞著等比、等差數列求和等，一個關鍵點掌握不好，后續的所有數學知識點將全部等于形同虛設，學生的數學成績也會一落千丈。因此，作為一名高中生，要想學好數學，就必須夯實數學根基，一步一個腳印的接納新的知識，不能急于求成，不能私自冒進，不能中途放棄，只要堅持下去，就會有柳暗花明的一天。比如應用基本的通項與求和公式進行解題，例題如下：設等差數列 S1為前n項和，其中n是自然數，如果S10為15，a2為5，求S5的和。針對這樣的數列試題，學生們必須牢牢把握住相關的基礎公式，靈活運用基礎公式解決這個問題，此外，還應該了解一些基本的概念，比如公差比的概念、通項中的求和算法的概念等，再將這些公式帶到這個試題當中，通過過程計算得出最后結果，類似于這樣的試題完全是考驗學生對數列基礎知識的掌握程度。

（三）引用經典，借鑒精華

由于數列試題的復雜性與抽象性，學生在解題時，一定要掌握一些典型的數學模型架構，比如楊輝三角定律等，對這些數列模型要進行系統的學習和掌握，在解決相關的數列試題時，進行合理運用，切不可東一下，西一下的胡亂的將模型架構運用在各種數列題型當中。比如：對數列{an}，規定{△an}為數列{an}的一階差分數列，其中△an=an+1-an（n∈N）。對自然數k，規定{△kan}為{an}的k階差分數列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）。對于這種題型就可以引入數列模型，使問題迎刃而解。數學教師在實際教學當中，也應經常督促學生引用經典的模型架構，借鑒一些精華的解題事例，對一般題型直接引入基礎知識予以解決，對于特殊題型要記得構建相對應的數學模型架構予以解決。當學生在解題過程中遇到一些相近或相似的題型，一定認真做好記錄，為以后的解題過程做以參考，進而快速解出最后的答案[3]。

一些經典的數學模型架構經過歷史的考驗與沉淀才逐步形成，它的理論性較強，掌握起來比較復雜，因此，學生們應該針對特殊題型，予以特殊對待，切不可死板的運用一種方法或思路，直觀的解決問題，這樣很容易陷入解題誤區，給解題過程制造了屏障。

結束語：

綜上，數學中的數列知識是對通項公式以及等差中項等知識的歸納與總結，學生們在實際解題過程中，首先要掌握數列的基礎概念和由此衍生的數學知識點。平時多注重課前預習、課后復習，進一步鞏固數列基礎知識，為學好數列、學好數學奠定堅實基礎。相信隨著各種解題新思路、新方法的應運而生，數學當中的數列試題也會被學生們逐一攻克。

參考文獻：

[1]陸春東.解析高中數學數列試題的解題方法及技巧[J].數學大世界（上旬版），2018（11）：68-69.

[2]宋微.高中數學數列試題的解題方法與技巧[J].語文課內外，2018（27）：170.

[3]蔣禹明.探討高中數學數列試題的解題方法與技巧[J].中外交流，2018（27）：190.

（作者單位：長沙市長郡梅溪湖中學）