高中數學解題中平面幾何的應用方法分析

曹亦成

【摘 要】在我們多年的學習生涯中，無論是處在小學，還是初中、高中階段中，不可避免且極為重要的一門學科就是數學。同時，數學這門學科的每個環節的難易程度又是環環相扣的。在高中數學課程中，平面幾何作為一個重要組成部分，其難度不大，但是在數學解題技巧中占有突出地位。本文接下來將通過對平面幾何相關知識的認知學習，建立一個完善的平面幾何解題體系，從而使平面幾何更有效的地應用于數學解題中，為學習數學打下良好的基礎。

【關鍵詞】高中數學；解題；平面幾何；應用方法

高中是我們學習生涯的一個重要階段，同時數學作為高考考察的重點內容，所以學好數學更是極其重要。在高中數學中，包含的重難點很多，比如集合、函數、立體幾何等等。平面幾何與抽象化各類函數、較難的導數、復雜的曲線等難點內容相比較為容易理解，而且，平面幾何與其他知識內容之間有著緊密的聯系，通過平面幾何知識的應用，能夠更快速高效解題，極大程度上減少了計算量，降低了復雜問題的難度[1-2]。為了掌握平面幾何知識的解題方法，我們需要更好的了解幾何知識，分析與研究其具體原理與解題思路，以此來達到熟練運用的程度。

一、高中數學平面幾何的主要知識點

1.點與直線

點與直線是數學中的原始概念，是最基礎的構成形式，點，是最基本的形狀，由點成線，無數個點構成一條直線。點與直線的基本原理：兩點之間的直線是最短的，兩點之間只有一條直線。

2.平行線

平行線是在相同幾何平面內不想交或不重合的兩條線。平行線的特點是作為論證三角形以及四邊形的推理的主要依據，并且平行線經常作為解題中的輔助線使用。常用的平行線的特點有：若兩條直線平行，則內錯角相等，同位角相等，同旁內角互補，反之也成立；若兩條直線平行于第三條直線，則這兩條直線也彼此平行。

3.三角形

三角形是基本圖形之一，在生活中可以經常運用到，比如數學、建筑中，三角形知識點在平面幾何學習中是一項重要的內容，它是我們初步形成邏輯思維能力的一個主要環節。三角形的基本知識點有：三角形內角之和為180°；兩邊總和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等，三角形基本原理有：直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即畢達哥拉斯定理；直角三角形中斜邊中線的長度為斜邊的1/2等[3]。其基本原理推證出三角形的邊角關系、論證出相似或全等三角形等，在平面幾何解題應用中起到關鍵性的作用。

4.四邊形

四邊形相比于三角形更加容易理解，其知識點與平行線有一定的共同點，更容易熟練掌握，四邊形有幾種不同類型，如矩形、菱形、平行四邊形和梯形，它們雖然有著相似之處，但又不盡相同，如菱形四邊長度相等；矩形四個角相等且為直角；梯形上下兩邊平行，具有平行線的性質，但兩腰不平行，而且中線的兩倍與上下兩邊之和相等；這些特點都在解題中提供一定的理論依據。

5.圓

圓是一個概念性的圖形，是平面幾何中較為特殊的形狀之一，其知識點較多且瑣碎，需要全面理解掌握，才能夠靈活運用。其基本定理主要有：垂直于切點半徑的橫向，穿過半徑的外端，垂直于半徑，是圓的切線，即切線定理；垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩個弧，即垂直弦定理；弦切角等于對應的圓周角，其中弦切角就是切線與弦所夾的角，即弦切角定理；等等。通過學習圓的基本特點以及定理，從而對平面幾何的基本知識更加理解，對培養我們的邏輯思維能力有一定的幫助[4]。

二、平面幾何在高中數學問題解決中的應用

平面幾何對數學解題方法中應用較廣，幾何圖像簡單易懂，在處理復雜的函數曲線過程中應用較為靈活，化抽象為具體。并且很多函數曲線是通過相應的規律變化而成的。依據曲線反向思考，再根據題目已知條件進行圖形的處理分析，找出關鍵因素或者隱藏幾何條件，再結合已學知識點做出輔助線，根絕相應的圖形特征或者定理進行解答，簡化解題方法，提高解題效率[5]。平面幾何在解題上的應用極大地激發了我們在探索數學未知道路上的興趣，有良好的啟蒙作用。以下，提出平面幾何在解題中應用的具體案例，并加以詳細論述。

1.最值性問題的求解應用

最值問題的求解最有可能發生在圓錐方程中，在解答該類問題時，可以使用平面幾何的應用求解方法，具體方法為先分析現有的已知條件，再對現有的圓錐曲線進行假定方程，從而將已知數置入方程中，進行判斷和計算解的范圍值，進而確定實際數值，然后就得出方程的最后解[6]。

2.范圍性問題的求解應用

在數學解題中，范圍性問題也占有一定的比重，雖然該類問題與最值性問題在求解思路上有一定的相似性，但是在處理中還存在著一些差異。范圍性問題的主要解題思路是從圖形出發，針對對圖形的分析與處理，從而映射出方程，再根據其值域進行最終的解題。總之，平面幾何的應用對解決數學問題非常有幫助。因此，根據所學的基礎知識，進行靈活運用，簡化問題解決方法，掌握更多解決問題的能力。

3.曲線方程的求解應用

曲線方程式數學題目中較為簡單且典型的一類，在解該類題目時，可采用待定系數法，即根據題目所給的已知條件求解未知數，并且以點的位置關系作為依據，通過逐個解答未知數的方法來得出曲線方程的解，具體方法是將已知數代入曲線方程，以消除其中一個未知數，進而得出另一個未知數，以求出方程的解。該解題技巧簡單，思路清晰，通過多練多思考，以此來熟練運用該解題技巧解決該類型的不同問題[7]。

三、結束語

在如今的教育環境下，無論是紙質書寫還是計算機答題，培養較強的邏輯思維能力和運算能力都至關重要。而在數學解題中，學會對基礎知識的歸納整理，巧妙運用平面幾何的解題技巧，理清解題思路，學會對相關知識的融會貫通，使復雜的函數或者不規律的數列能夠在平面幾何的處理下簡單化，極大程度上提高解題的能力及水平。

參考文獻：

[1]張林杰.幾何畫板在高中數學教學中的應用[J].江蘇教育研究，2012，（26）.

[2]常琳.高中幾何教學方式及教學重點的探究[J].科教資訊，2013

[3]王素霞.平面幾何入門概念教學的五步措施[J].學周刊，2012，（23）.

[4]占北淮.淺談高中數學的平面幾何教學[J].教學方法，2016（11）：70.

[5]鄭保財.高中數學中的平面幾何例解與分析[J].高中數學，2013（10）：36.

[6]孫嵐，王紅芳.巧用平面幾何解決高中數學問題[J].教材研究，2014（6）：53.

[7]羅雙.高中數學中幾何知識的應用分析[J].中學生數理化，2016（3）：46.

（作者單位：郴州市永興縣第一中學）