高中數學中解析幾何綜合題的解題思路分析

賴永力

【摘 要】高中數學中的解析幾何綜合題將幾何的知識作為載體，還綜合了數列、函數、三角、不等式各方面的知識，涉及到非常多的知識點。本文結合了一些高中數學解析幾何相關的例題，對其進行分析、討論和總結，得出相關解題思路，希望可以在一定程度上起到有助于提高高中生解題效率和準確率的作用。

【關鍵詞】高中數學；解析幾何；解題思路；分析

高中數學中的解析幾何綜合題對解題能力的要求比一般題目高很多。程度一般的同學遇到這種題型大多不知道該從哪里突破，或者在解題過程中半途而廢。造成這種現象的原因有：題目運算量很大；對解題技巧認知不足；日常習題訓練不夠。根據日常的解題經驗來看，攻克此類題型的關鍵在于：保持思維的整體性，從局部入手。也就是在掌握了眾多題目通性的同時，不能在解題過程中不加分析，只生搬硬套一般的解題方法，而是應該從整體上來審視和把握題目，在局部上尋找突破口，從而正確解答題目[1]。需要著重注意的是：解題的方法套路要有，但是也一定要學會靈活的使用。

解析幾何將坐標法作為基礎，利用代數的方法來研究和解決幾何問題。其中深刻地體現出了各種與數學相關的方法與思想，因此在解決此類問題時要結合多個基本定義與公式，運用多種手段，才能迅速、準確地完成。此外，還需要掌握一些其他的技巧。比如“數形結合”、“整體代入”、“設而不求”、“結合向量”、適時運用平面幾何知識等。

一、判別式

例1 現有雙曲線C： - =1，直線l經過點P（√2，0），其斜率為k。當k∈（0，1）時，該雙曲線上支有且僅有一個點O與l之間的距離為√2，求k的值以及點O的坐標。

[分析]

（1）“數形結合”是研究解析幾何綜合題所需要的非常重要的一個手段。首先畫出草圖，從題目中的“有且僅有”這幾個關鍵字眼不難得出：過點O作一條平行于l的直線，這條直線一定和雙曲線相切，相切在數學中的代數表現也就是方程中Δ=0。因此可以設計出以下的解題思路：

l：y=k（x-√2），k∈（0，1）

l′：y= +k- ；

→解得k的值。

（2）如果換一個思考的角度，從代數推理來切入題目，應該把題目中的“距離”用代數式來表達。也就是“有且僅有一個點O與l之間的距離為√2”說明了方程只有唯一解。由此設計出了以下的解題思路：

由題意得出，關于x 的方程有唯一解；

→轉化成一元二次方程的求根問題；

→最終求得k的值以及點O的坐標。

上述的解題思路在扣準解題目標的同時，連續地轉換問題，體現出了思維的整體性與全局觀念，十分有利于降低解析幾何綜合題的考察難度，提高答題準確率。

二、判別式、韋達定理二者聯用

例2 現有橢圓C： + = 8，點P（4，1），過點P作一條斜率為k的直線，與橢圓相交于M、N兩點。在線段MN上取一點Q，使得 =- 。求點Q運動軌跡所在的曲線的方程。

[分析] 多動點是軌跡問題的困難所在，在很大程度上提高了綜合題的難度。這類問題可以使用參數法來求解，首先選定參數，然后用參數來表示點Q的坐標，最后再將參數消除[2]。

因為點Q的坐標變化是直線AB引起的，所以可以順勢將MN的斜率k作為參數。利用以下兩方面把點Q（x，y）和斜率k聯系起來：一是點Q位于直線MN上；二是題目中的條件“ =- ”。又因為P、Q、M、N四點共線，所以可以得出 x= ，只需要將直線MN的方程代入到橢圓的方程中，就可以利用韋達定理建立起x和k的關系。

通過以上的分析，可以看出我們對于如何解答題目，心中已經有了解題思路。

=- ；

→ x= ；

→把直線MN的方程代入到橢圓的方程中，利用韋達定理建立起x和k的關系；→x=f（k）；

→點Q在直線MN上，則消除參數k；

→最終得出點Q的軌跡方程。

“消除參數”指的就是，使得到的關于x和y的方程中不含有斜率k，因此由y=k（x-4）+1可以得出k的關系式，再將k的關系式直接代入方程x=f（k）中，就可以簡化“消除參數”的復雜過程，得到最終的軌跡方程[3]。從解題思路我們可以學習到，通過列方程組進行消元，從而得出一個一元二次方程。在此過程中，最難又最重要的是如何引出參數、應用參數和消除參數，這也是解答解析幾何綜合題的一個快速有效的方法。

三、求根公式

例3 直線l過點O（0，3），與橢圓C： + =1 相交于P、Q兩點，求 的取值范圍。

[分析] 本題目要求同學從整體上來把握題意，實際上要求取值范圍有以下兩個方法：一是利用相應的思想建立所求的變量關于某個參數的方程式；二是建立與所求變量相關的不等式。

（1）從第一個方法入手，在等式 = 中有兩個變量 、 ，而且其范圍都不好控制，所以我們需要將斜率k作為第三個變量。這樣一來問題就變成了如何用斜率k來表示 、 。把直線方程代入到橢圓方程中，消去y，得到一元二次方程，其求根公式就很容易得出來了[4]。

把y=kx+3代入到橢圓方程中，消去y，得到一元二次方程；

→由求根公式可得 =f（k）， =g（k）；

→由 = 可得所求變量的與k相關的函數關系式；

→由Δ≥0求得k的取值范圍；

→最終求得所求變量的取值范圍。

（2）因為判別式是產生不等關系的根源，所以由Δ≥0可以快速得出k的取值范圍，這樣一來問題就轉變成如何把k和所求量聯系起來。但是在本題中沒有辦法直接利用韋達定理，所以我們需要建立關于 、 的對稱關系式[4]。

把y=kx+3代入到橢圓方程中，消去y，得到一元二次方程；

→由韋達定理可得 + =f（k）， =g（k）；

→由 = 可以建立所求變量和k之間的關系式；

→由Δ≥0求得k的取值范圍；

→建立所求變量的不等式；

→最終求得所求變量的取值范圍。

在求變量范圍的問題中，建立不等關系的方法有很多，比如：利用判別式，利用均值不等式、數形結合、利用函數的性質等。本題也可以利用數形結合的方法來解答，在此就不再贅述。

四、結語

解題是一個非常理性、有序的過程，不可以一開始就忙著答題，攻克局部問題說明不了什么，而且還很有可能被局部的問題所困擾，從而亂了陣腳，看不到問題的關鍵所在。只有注重題目的整體性，時刻從全局來考慮，有條有理地解答問題，才能保證在解決解析幾何綜合題的過程中不出差錯，完美攻克。

參考文獻：

[1]顧勤琴，高中數學解析幾何大題常見的解題思路[J]，高中教育，2018.

[2]葉李君，淺談解析幾何綜合題的一些解題技巧[J]，2012.

[3]安振平，梁麗平，解析幾何綜合題解題思路案例分析[J]，高三數學專題，2018.

[4]吳玉常，解析幾何綜合題解題思路案例分析[J]，解析幾何解答題專講，2018.

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）