“商不變的規(guī)律”教學(xué)斷想

朱勇

摘要：“商不變的規(guī)律”要注重研究被除數(shù)和除數(shù)在怎樣的情況下商不變的本質(zhì)聯(lián)系。一般來說，科學(xué)研究過程有四個步驟，即提出問題一做出猜測一尋找證據(jù)一得出結(jié)論。“商不變的規(guī)律”教學(xué)，根據(jù)實際情況將規(guī)律的探究過程細化為疑問、猜想、驗證、歸納、完善、應(yīng)用、新疑問，打造一個不斷螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。

關(guān)鍵詞：商不變的規(guī)律 教學(xué) 數(shù)學(xué)思維

執(zhí)教蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《商不變的規(guī)律》，我認(rèn)真思考了這樣三個問題：其一，什么是商不變的規(guī)律？其二，為什么有商不變的規(guī)律？其三，商不變的規(guī)律該怎樣教學(xué)？以下是針對這三個問題的相關(guān)思考及實踐應(yīng)答。

一、什么是“商不變的規(guī)律”

教材中關(guān)于“商不變的規(guī)律”這樣寫道：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。我們都知道商不變的規(guī)律有兩個好伙伴——分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)內(nèi)容是分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變；而比的基本性質(zhì)說的是比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。讓我感興趣的是，為什么三者本質(zhì)相同，商不變叫規(guī)律，而分?jǐn)?shù)和比卻叫性質(zhì)？

關(guān)于規(guī)律和性質(zhì)，《現(xiàn)代漢語詞典》是這樣注釋的——“規(guī)律”：（1）名詞。事物之間的內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系。這種聯(lián)系不斷重復(fù)出現(xiàn)，在一定條件下經(jīng)常起作用，并且決定著事物必然向著某種趨向發(fā)展。也叫法則。（2）形容詞。有規(guī)律。“性質(zhì)”：名詞。一種事物區(qū)別于其他事物的根本屬性。我理解為“規(guī)律”的核心詞是本質(zhì)聯(lián)系，“性質(zhì)”的核心詞是根本屬性。聯(lián)系教學(xué)的內(nèi)容，也就是說“商不變的規(guī)律”要注重研究被除數(shù)、除數(shù)在怎樣的情況下商不變的本質(zhì)聯(lián)系。所以，我這樣教學(xué)——

（出示例7的題干與空表格，逐步出示：

100÷20=5，200÷40=5。）

師 你能猜到下一道算式嗎？

（在學(xué)生說出不少算式后，選兩道算式接

著出示：300÷60=5，400÷80=5。）

師 大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生 商沒有變。

師 那么商在被除數(shù)和除數(shù)怎么變化的情況下是不變的？

（學(xué)生觀察思考，通過將第一道算式和下面幾道算式逐一對比，得出被除數(shù)和除數(shù)乘2、乘3、乘4時商都不會變，見圖1。）

生 被除數(shù)和除數(shù)乘一個數(shù)，商不變。

師 還有什么情況下商不變呢？再看一組算式。（出示：100÷20=5，50÷10=5，25÷5=5，10÷2=5。）

師 你能也做出一個猜想嗎？

生 被除數(shù)和除數(shù)除以一個數(shù)，商也不變。

師 （重復(fù)剛才兩個猜想的內(nèi)容）誰能將這兩個猜想合成一句話？

生 被除數(shù)和除數(shù)乘也可以除以一個數(shù)，商不變。

生 被除數(shù)和除數(shù)乘或者除以相同的數(shù)，商不變。

師 我們來看看書上是怎么說的，對比一下，找找有什么不同？

教材上的例題以表格的形式（見圖2）呈現(xiàn)了幾個算式，較明顯地暗示了通過對被除數(shù)、除數(shù)的比較來揭示規(guī)律。所舉算式相較于第一道算式，乘或除的數(shù)全是偶數(shù)，容易讓學(xué)生產(chǎn)生誤會。表格中的數(shù)據(jù)較多、較亂，不利于學(xué)生分類逐步思考，處理不好反而不容易突出探究重點。因此，我在把握了商不變規(guī)律的實質(zhì)的基礎(chǔ)上，舍輕就重，通過設(shè)計兩組口算展開教學(xué)，聯(lián)系學(xué)生已有知識，完善探究材料，明確探究方向，引導(dǎo)學(xué)生對商不變的規(guī)律深入探究，追根溯源，突出了“被除數(shù)、除數(shù)在什么情況下商才不會變”這一教學(xué)重點。

二、為什么有“商不變的規(guī)律”

對四年級學(xué)生而言，通過幾個實例得出商不變的規(guī)律并非難事，但是僅僅依靠幾道算式就得到的規(guī)律真的可靠嗎？是否值得信賴？如果不把這個問題當(dāng)作問題，不僅會讓學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解趨于膚淺，也可能給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖躺峁┩寥溃蚨炞C成為必然。

怎樣驗證呢？教材是這樣要求的：“自己再找一些例子，算一算，比一比，看商有沒有變化。”顯然，這是符合學(xué)生實際的。合情推理是第二學(xué)段對學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一般要求。在大量例子面前，剛剛得出的猜想能不能夠通過考驗，能則說明猜想的正確性，反之則錯誤。但是商不變的規(guī)律僅靠舉例子讓學(xué)生通過合情推理的方式驗證就可以了嗎？還可不可以有其他方式？

四年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維已經(jīng)具有了一定的發(fā)展水平，適度提高要求，讓他們用更加理性的思考解決問題，既具備了可能的前提，也具備了實踐的可行性。因此，教學(xué)時我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生再往前探一探——

師 同學(xué)們，你能驗證商不變的猜想嗎？可以先舉些例子，再想想不舉例的話，有沒有其他辦法來驗證？（學(xué)生驗證，教師巡視，尋覓一些可以展示的素材。指名使用其他方法的學(xué)生展示他們的方法。）

生 20×5=100，100÷20=5，40×5=200，200÷40=5，…。（解釋）乘法中一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，積就乘幾。乘法反過來就是除法，乘數(shù)不變就是商不變。

生 被除數(shù)和除數(shù)同時乘同一個數(shù)，乘的那個數(shù)會互相抵消，所以商不變。比如，被除數(shù)和除數(shù)同時乘2，兩個2就互相抵消了，所以商不變。

（教師配合板書，如圖3，幫助學(xué)生理解。）

驗證是理性思維培養(yǎng)的極佳手段。雖然合情推理能夠得到結(jié)論，但是并不應(yīng)滿足于此，可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用多種方式，尤其是暗含演繹推理的方式（如連除的計算規(guī)律）進行證明，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加縝密、嚴(yán)謹(jǐn)。這樣的教學(xué)，不僅讓學(xué)生明晰知識間的緊密聯(lián)系，了解彼此間的互相轉(zhuǎn)化，還能從知道商不變的規(guī)律邁向理解為什么有商不變的規(guī)律，不僅知其然而且知其所以然。其實，其他版本教材中就有類似的設(shè)計：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在出示商不變的規(guī)律之前先向?qū)W生展示了除數(shù)不變和被除數(shù)不變的規(guī)律，便于學(xué)生了解這些規(guī)律之間的聯(lián)系；滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材出現(xiàn)了除法中連除的性質(zhì)，并用字母表示了出來，以幫助學(xué)生驗證商不變的規(guī)律。

三、“商不變的規(guī)律”該怎樣教學(xué)

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，研究過程應(yīng)當(dāng)與科學(xué)的研究相一致。一般來說，科學(xué)研究過程有四個步驟，即提出問題一做出猜測一尋找證據(jù)一得出結(jié)論。本節(jié)課，我根據(jù)實際情況將規(guī)律的探究過程細化為疑問、猜想、驗證、歸納、完善、應(yīng)用、新疑問，意在打造一個螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。為了給學(xué)生這樣的認(rèn)識，我嘗試這樣教學(xué)——

（出示口算題：80÷20，320÷80，450÷90，140÷7。）

師 你們怎么算得這么快，能以一道題為例說一說嗎？

生 算320÷80時，我想32÷8=4，所以320÷80=4。

師 我產(chǎn)生了一個疑問，真的可以這樣算嗎？（板書：疑問。接下來，沿著“猜想、驗證、歸納、完善、應(yīng)用”的路徑帶領(lǐng)學(xué)生一起研究，一起學(xué)習(xí)。課堂尾聲，教師和學(xué)生展開回顧總結(jié)，適時在關(guān)鍵詞之間連上箭頭，形成封閉圖形的板書，如圖4。）

師 同學(xué)們，本節(jié)課我們學(xué)了商不變的規(guī)律，你還有沒有疑問？

生 其他運算中有沒有這樣的規(guī)律？

師 帶著這些疑問，我們又可以開始新一輪的猜想、驗證、歸納、完善的循環(huán)，這就是科學(xué)家、數(shù)學(xué)家研究問題的常用過程。

圖4既是板書，也呈現(xiàn)了科學(xué)研究的一般過程，目的是讓學(xué)生通過本課的學(xué)習(xí)，達到學(xué)習(xí)其他規(guī)律或者知識時能主動使用這樣的研究路徑，學(xué)會學(xué)習(xí)，做學(xué)習(xí)的主人。規(guī)律的認(rèn)知不僅僅是規(guī)律本身，更要讓學(xué)生經(jīng)歷探究規(guī)律的過程，學(xué)生只有全程參與，才能積累研究經(jīng)驗，獲得真實的知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。