Ms.Excel在復變函數教學中的應用

艾合買提?卡斯木 熱娜?阿斯哈爾

摘要：簡要介紹了Ms.Excel自帶的與復變函數有關的內置函數。通過Ms.Excel的畫圖功能演示復變函數確定的映射，詳細展示了Ms.Excel教學模板的設計和制作全過程與方法，初步討論Ms.Excel在復變函數中的應用。為復變函數教學輔助工具提供了一種簡單、直觀、高效的方法。

關鍵詞：復變函數；Ms.Excel；映射；教學模板

一、 引言

復變函數作為數學各專業的必修課，不僅對數學專業學生，而且對理工類專業學生來說都是十分必要的。復變函數的許多理論都可以通過它的幾何解釋深入的理解，然而，有時候由于自身的復雜性很多內容不能夠完美地表示它們的幾何解釋。此時，如果與多媒體教學結合的話，可以得到較好的教學效果。雖然有許多功能強大、界面友好的數學軟件幫助我們得到想要的結果（如matlab，Mathematica，Maple等），但是這些數學軟件對使用者的要求較高，需要進行專門培訓、學習才能掌握。當前普遍性較高、入門容易、操作簡單的Ms.Excel軟件的基本操作已為廣大師生熟悉而且功能直觀、數據輸入界面簡便，使用者易于接受、便于掌握其功能。此外，它不僅可以作為日常文檔使用，更重要的是它具有較強的繪制圖像可視化功能，合理正確地使用Ms.Excel的這些功能可以提高復變函數的教學質量并可以直觀、形象、生動地闡述復變函數中那些抽象、深奧、難懂的概念及其相應的幾何解釋。本文首先簡單介紹Ms.Excel中自帶的與復變函數有關的內置函數，然后以復變函數的幾何解釋—映照為例詳細展示Ms.Excel在復變函數以及教學中的應用。

二、 在Excel中復數的表示及運算有關的命令

在Ms.Excel中復數z=x+yi的表示格

式為：COMPLEX（x，y）；比如在Ms.Excel中輸入復數z=3+2i。

方法一：在單元格D2中輸入3，單元格E2中輸入2，然后單元格F2中輸入=COMPLEX（D2，E2）確認就可以。如圖1（a）所示。

方法二：選擇空單元格輸入：=COMPLEX（3，2）確認就可以，如圖1（b）所示。

（a）（b）

設z=x+yi是一個復數，在Ms.Excel中常用的復數運算有關的內置函數的命令格式如下：

IMREAL（z），返回復數的實部；

IMAGINARY（z），返回復數的實部；

IMCONJUGATE（z），返回復數的共軛；

IMCONJUGATE（z），返回以弧度表示的輻角；

ISUM（z1，z2），返回兩個復數的和；

IMSUB（z1，z2），返回兩個復數的差；

IMPRODUCT（z1，z2），返回兩個復數的乘積；

IMDIV（z1，z2），返回兩個復數的商；

IMSQRT（z），返回復數的平方根；

IMEXP（z），返回復數的指數值；

IMPOWER（z，n），返回復數的n次方整數冪；

IMSIN（z），返回復數的正玄值；

IMCOS（z），返回兩個復數的余弦值；

IMLN（z），返回兩個復數的自然對數；

三、 Ms.Excel在復變函數教學中的應用

我們常用幾何圖形來表示函數，為了表述復變函數的幾何意義，取兩張復平面，分別稱為ω平面和z平面；如果在z平面上函數ω=f（z）的定義域E內取一點z0，通過ω=f（z）在ω平面上有相應的點ω0與之對應，當z取遍點集E時，在ω平面上就有相應的點集F與之對應。因此，從幾何上來講，復變函數ω=f（z）代表的是z平面上點集E到ω平面上的點集F之間的一種變換，即一種映照。

下面舉一個實例用Excel演示這種z平面到ω平面的映射。

復變函數ω=z+1z將z平面上的圓周|z|=R映照成ω平面上的什么圖形。

（一） 函數關系說明

首先我們用復變函數知識說明復變函數ω=z+1z將z平面上的圓周|z|=R映照成ω平面上的什么圖形。圓周|z|=R，可表示成z=Reiθ，則

ω=Reiθ+1Reiθ

=（R+1R）cosθ+i（R-1R）sinθ

若設ω=u+iv，u=acosθ，u=acosθ，

其中a=（R+1R），b=（R-1R）。顯然，當R≠1時，u2a2+v2b2=1。這說明映照ω=z+1z將z平面上的圓周|z|=R（R≠1），映照成ω平面上長軸為2a，短軸為2|b|的橢圓線。當R=1時，ω=2cosθ，即上述映照將單位圓映照成ω平面上實軸的一段-2≤u≤0。

（二） Ms.Excel演示

用Excel演示這種z平面到ω平面的映射關系。

1. 復數z的計算

z平面上的圓周z=Reiθ在直角坐標內可寫成

x=Rcosθ

y=Rsinθ0≤θ≤2π。

第一步，打開Ms.Excel工作做窗口，輸入訂制半徑R=3，即選單元格B1輸入3；

第二步，創建θ的值為0°至360°，以10°為增量；即先A4單元格內輸入0，A5單元格內輸入=A4+10，得值20。確保選中A5后將鼠標指針移動到填充柄（單元格右下角的粗加號）上，單擊并向下拖動，直到顯示從A4到A40的單元格。

第三步，利用A4和B1的值，單擊B4單元格，輸入=$B$1*COS（$A$4*PI（）/180）返回復數的實部x，然后將填充柄向下拖動到B40為止。

第四步，在C4單元格中輸入=$B$1*SIN（$A$3*PI（）/180）返回復數的虛部y，同上步驟將填充柄向下拖動到C40為止。

第五步，用B4和C4的值生成復數，在單元格D4中輸入=COMPLEX（B3，C3），再將填充柄向下拖動到D40為止，如圖2所示。

2. 復數ω的計算

第一步，利用ω=z+1z公式來找出

另一個復數ω=u+iv，即首先利用單元格D4的值，單擊E4，E4單元格內輸入函數=IMSUM（D3，IMDIV（COMPLEX（1，0），D3））按確定按鈕，將填充柄向下拖動到E40為止。

第二步，在F4中輸入=IMREAL（E4），在G4中輸入=IMAGINARY（E3）分別得到復數ω的實部u與虛部v，然后確保選中F4和G4將填充柄向下拖動到F40與G40。

3. z平面與ω平面的可視化

在Excel2016中選擇“插入”∣“圖表”組中單擊∣“插入散點圖（X，Y）或氣泡圖”∣在“散點圖”選項中選擇“帶平劃線和數據標記的散點圖”，之后出現空圖表區域內單擊鼠標的右鍵，選擇“選擇數據”出現的對話框內單擊“添加”選項，會出現“編輯數據系列”表，圖表的每一個空格內一一添加相應的格式，即“系列名稱”內填寫“z平面”，“x軸數據系列值”內填寫選擇的數據區域（$B$4：$B$40），同樣“y軸數據系列值”內填寫選擇的數據區域（$C$4：$C$40），按“確定”按鈕。最后在任意圖形上單擊鼠標右鍵選擇“設置數據系列格式”對圖表進行修飾即可。按同樣的步驟畫出“ω平面”。

當B1的值R=3時，z平面映射到ω平面形成長軸為3.33，短軸為2.88的橢圓，如圖3所示。

4. 模板使用說明

（1） 圓是非單位圓時，z平面的圓映射到ω平面的橢圓，比如當B1的值為2時，映射成長軸為3.33，短軸為1.66的橢圓，如圖4所示。

（2） 圓是單位圓時，z平面的單位圓映射到ω平面實軸上的線段，即B1的值為1時，映射成ω平面端點為u=-2和u=2的線段，如圖5所示。

（3） 當映射函數改成ω=ez（在E4單元格內輸入函數=IMEXP（D4）即可）時，將圓|z|=3映射成如圖6所示的圖像。

總之在這個模板上映射函數改成任何一個函數可以觀察到圓映射成什么樣的圖像，有很好的擴展性。

四、 結語

從上面的實例看出，用Ms.Excel很容易展示較復雜的復變函數的幾何意義。此外，由于操作的簡單性和直觀性，可以激發學生親自動手操作的欲望、加深學生對理論知識的理解、調動學生的學習興趣，對于提高實變函數教學質量具有積極意義。當然Ms.Excel在復變函數教學方面除了以上用途外，還有很多用處。

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[4]John Walkenbach.中文版Excel 2016 寶典[M].趙利通/衛琳譯.北京：清華大學出版社，2016.

作者簡介：

艾合買提·卡斯木，熱娜·阿斯哈爾，新疆維吾爾自治區烏魯木齊市，新疆大學數學與系統科學學院。