一道高考題的改編題之初中解法

☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

這是2008年江蘇省高考數學試卷第13題，時下最值問題是中考的熱門題型，于是有熱心的網友在某初中數學教師教研群里曬出了由它簡單改變的一道題：

題2：△ABC中，AB=4，AC=2BC，求△ABC的面積的最大值.

作為一名初中數學教師，筆者看到了一些高中解法，總覺得不夠簡潔，此題能用初中知識求解嗎？筆者饒有興趣地作了研究，竟有一些意外收獲，撰寫此文與大家分享.

解法1：如圖1，設BC=x，AC=2x.

評注：此解法依據海倫公式，直接利用配方法求解，方法自然.

解法2：如圖2，作CD⊥AB，垂足為D.

設AD=x，BD=|x-4|，CD=y.

根據勾股定理，得AC2=x2+y2，BC2=（4-x）2+y2.

因為AC=2BC，所以x2+y2=4［（4-x）2+y2］，解得y2=-x2+

評注：△ABC中，AB為定值，故只需求AB邊上的高的最大值即可，此解法利用勾股定理建立關系，借助配方法確定y的最大值解決問題.

解法3：如圖3，作CD⊥AB，垂足為D.

評注：此解法與解法2類似，不同點在于利用勾股定理得到面積與x的關系，再借助一元二次方程根的判別式直接求得最大值.

解法4：如圖4，分別作∠ACB及其外角的角平分線，交AB及AB的延長線于點D、E，則∠DCE=90°，且=2.

因為∠DCE=90°，所以點C在以DE為直徑的圓上.

評注：△ABC中，AB為定值，故只需求AB邊上的高的最大值即可，此解法巧作兩條角平分線，獲知點C在一個定圓上，從而確定高的最大值，問題得解.

解法5：如圖5，在AC上取點D，使得∠DBC=∠BAC.又因為∠BCD=∠ACB，所以△BCD △ACB.

由于AB=4，BD=2，所以當DB⊥AB時，△ABD的面積最大，最大值為

評注：此解法巧構相似三角形，轉化為求△ABD的面積的最大值.而△ABD有兩條邊的大小確定，故當其夾角為直角時面積最大，問題輕松得解，令人拍案叫絕.

解法6：如圖6，在AB的延長線上取點D，使得∠DCB=∠DAC.又因為∠BDC=∠CDA，所以△BDC△CDA.

設BD=x，則 CD=2x，AD=4+x.

可得（2x）2=x（x+4），解得，所以

評注：△ABC中，AB為定值，故只需求AB邊上的高的最大值即可，此解法巧構相似三角形求出CD，進而解決問題，解法獨具匠心.

學習在于思考，解題更要勤于思考、善于思考.盡管受初中數學知識的局限，能用來求解的高考題稀少，但如果題目僅僅涉及平面幾何知識，大可讓學生挑戰自我，放手一試，一旦成功，必將增強他們解題的自信心，提升學習數學的興趣，起到意想不到的教學效果.令人欣慰的是，筆者從2018年江蘇省數學考高試卷又斬獲一例：

題3：（2018年江蘇省高考數學Ⅰ第13題）在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

解：如圖6，作DE∥AB交BC于點E.

則∠EDB=∠ABD=∠EBD=60°.所以△BDE為等邊三角形.

從而BE=DE=BD=1，CE=a-1（a＞1）.

令y=4a+c.

由Δ=（y+3）2-16y≥0，解得y≥9，故4a+c的最小值為9.