一節(jié)會(huì)生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課

李國(guó)良

【摘要】復(fù)習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的三大課型之一，是讓學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化過程，對(duì)復(fù)習(xí)課的教學(xué)必須要把握好知識(shí)梳理與能力提升兩個(gè)維度。復(fù)習(xí)不僅可以是一個(gè)單元的復(fù)習(xí)，也可以是相同知識(shí)點(diǎn)的整體復(fù)習(xí)。本文通過對(duì)三年級(jí)下冊(cè)中兩位數(shù)乘兩位數(shù)單元與面積單元的深入分析與思考，認(rèn)為兩個(gè)單元可以借助于類似的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行溝通與聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)整合性復(fù)習(xí)，以提高復(fù)習(xí)效率與學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)課的興趣。

【關(guān)鍵詞】整合 復(fù)習(xí) 生長(zhǎng)性

復(fù)習(xí)課，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性不言而喻，它不僅能鞏固知識(shí)、提升能力，還能幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，形成體系。但是，在實(shí)際教學(xué)中復(fù)習(xí)課卻成了燙手的山芋。究其原因，一是參考資料少，各類教研活動(dòng)等大都回避這一課型，教師缺乏動(dòng)因；二是復(fù)習(xí)與考試往往“捆綁”在一起，大量的時(shí)間花在了單調(diào)、枯燥的做題上，學(xué)生缺乏興趣。久而久之復(fù)習(xí)課就失去了生命力。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)；要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延生點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。這給復(fù)習(xí)教學(xué)提供了一個(gè)啟示，復(fù)習(xí)課不僅可以是一個(gè)單元的整體復(fù)習(xí)，還可以是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，也可以是相關(guān)聯(lián)知識(shí)間的整合復(fù)習(xí)。人教版三年級(jí)下冊(cè)第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與第五單元“面積”這兩個(gè)單元，筆者認(rèn)為單元可以獨(dú)立復(fù)習(xí)，也可以把這兩單元進(jìn)行整合復(fù)習(xí)，上一節(jié)會(huì)生長(zhǎng)的復(fù)習(xí)課。

一、教材知識(shí)點(diǎn)的梳理

要實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的最優(yōu)化，就必須實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程最優(yōu)化，而教材的分析是實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程最優(yōu)化的重要內(nèi)容之一，它強(qiáng)調(diào)從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循他們的認(rèn)知規(guī)律，幫助學(xué)生有效建構(gòu)系統(tǒng)性的知識(shí)。

（一）“兩位數(shù)乘兩位數(shù)單元”知識(shí)點(diǎn)分析

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元在整個(gè)小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。該單元主要讓學(xué)生掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算與筆算的算理與算法，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用這一知識(shí)進(jìn)行“解決問題”的教學(xué)，即“連乘、連除問題”的學(xué)習(xí)，其核心內(nèi)容是在掌握算理的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)筆算的方法。在人教版“教師教學(xué)用書”中這樣建議：讓學(xué)生經(jīng)歷探索計(jì)算方法的過程，培養(yǎng)幾何直觀；注重運(yùn)算規(guī)律的探索，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。因此，該單元不僅讓學(xué)生掌握筆算的方法和筆算的算理，還應(yīng)發(fā)展學(xué)生的計(jì)算能力，提高學(xué)習(xí)計(jì)算類題目的興趣。

筆者在翻閱教材中發(fā)現(xiàn)，教材第59頁(yè)練習(xí)十三第3題：

比較每組算式得數(shù)的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（1）30×30= 31×29= 32×28= 33×27=

（2）50×50= 51×49= 52×48= 53×47=

細(xì)細(xì)分析這題可以發(fā)現(xiàn)，這兩題中兩個(gè)因數(shù)它們的和是一定的（60和100）；而兩個(gè)因數(shù)的差是不等的，它們的差越大乘積越小；差變成0時(shí)，乘積最大。同時(shí)在省編的配套練習(xí)中也有這一類型的變式題目：

選擇下面的數(shù)字5、6、7、8，組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，使他們的乘積最大和乘積最小，可以怎么組？

筆者認(rèn)為，可以抓住教材這樣細(xì)小的點(diǎn)進(jìn)行深入的分析，與學(xué)生一起開展教學(xué)研究，從而發(fā)展學(xué)生的思維甄別力。

（二）“面積”單元知識(shí)點(diǎn)分析

“面積”單元的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知上的一次飛躍，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)從一維空間發(fā)展到二維空間。該單元主要涉及面積意義的理解和面積單位，長(zhǎng)方形與正方形面積的計(jì)算，面積單位之間的進(jìn)率和用所學(xué)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，其核心內(nèi)容是對(duì)面積概念和長(zhǎng)方形面積計(jì)算的深入理解。筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)這兩個(gè)核心內(nèi)容時(shí)，必須要強(qiáng)化面積與周長(zhǎng)的辨析，明確圖形的周長(zhǎng)與面積在描述圖形中的不同作用。

同樣，在教材中我們發(fā)現(xiàn)了3個(gè)密切相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，一是第65頁(yè)練習(xí)十四第7題：畫幾個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，使它們周長(zhǎng)相等，然后比較面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？二是第75頁(yè)練習(xí)十六第10題：兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形長(zhǎng)36厘米，寬18厘米，拼成長(zhǎng)方形和正方形，它們的周長(zhǎng)是多少？面積是多少？三是第75頁(yè)練習(xí)十六第11題：畫出面積是16平方厘米的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)寬是整厘米數(shù)），并計(jì)算出這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。仔細(xì)比較這3題，其實(shí)是對(duì)面積與周長(zhǎng)意義的辨別，讓學(xué)生更加清楚地理解兩個(gè)意義。同時(shí)讓學(xué)生知道，有時(shí)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不等而面積相等，有時(shí)它們周長(zhǎng)相等但面積不等。

（三）尋找兩個(gè)單元之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)

通過對(duì)兩個(gè)單元的分析和部分典型題目梳理、解讀后，我們發(fā)現(xiàn)上述這些題目既是本單元的重點(diǎn)知識(shí)，都圍繞著單元目標(biāo)開展的一些基本練習(xí)。又是對(duì)核心知識(shí)的提升，能充分發(fā)展學(xué)生的思維能力和動(dòng)態(tài)想象力。它們之間還存在著一種聯(lián)系，周長(zhǎng)相等就是兩個(gè)數(shù)的和相等，面積不等就是這兩個(gè)數(shù)的乘積不等。當(dāng)長(zhǎng)方形變成正方形時(shí)長(zhǎng)和寬的差就是0，它們的面積最大也就是乘積最大；反之，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬差變大，它們的面積就變小也就是乘積變小。

筆者認(rèn)為，圍繞上述知識(shí)點(diǎn)把這兩個(gè)單元進(jìn)行整合的復(fù)習(xí)，一是有利于加深對(duì)筆算乘法單元知識(shí)的鞏固，借助于圖形的直觀來(lái)揭示“和一定積發(fā)生變化”的規(guī)律性知識(shí)的道理；二是能鞏固面積與周長(zhǎng)的計(jì)算方法，知道面積與周長(zhǎng)的辯證關(guān)系，懂得圖形背后有著計(jì)算作為支撐的秘密。

二、教學(xué)實(shí)踐與思考

基于對(duì)教材的分析與思考，筆者覺得，可以從由4個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)兩位數(shù)乘積最大和乘積最小開始進(jìn)行復(fù)習(xí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材進(jìn)行梳理與思考，尋找與此知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，體會(huì)到知識(shí)之間的聯(lián)系與生長(zhǎng)點(diǎn)。

（一）自主計(jì)算，復(fù)習(xí)算理與算法，尋找知識(shí)內(nèi)部之間的規(guī)律

課始，筆者出示“1、2、3、4”四個(gè)數(shù)字，要求組成兩個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，其中乘積最小是□□×□□，乘積最大是□□×□□。學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)很快組出乘積最大是42×31或41×32，組出乘積最小為13×24或14×23。隨后，組織學(xué)生獨(dú)立計(jì)算4個(gè)題目，選擇一題進(jìn)行兩位數(shù)筆算方法的回憶以及對(duì)算理的解釋。

接著，組織學(xué)生一組一組仔細(xì)觀察：42×31和41×32，13×24和14×23，質(zhì)疑有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：42×31與41×32中41×32乘積較大，13×24和14×23中13×24的乘積較小；

生2：42×31與41×32中，兩個(gè)因數(shù)的和都是73，但它們的乘積不一樣；而13×24和14×23中，兩個(gè)因數(shù)的和都是37，但它們的乘積也不一樣；

生3：42×31與41×32中，兩個(gè)因數(shù)的差分別是11和9，差是9的兩個(gè)因數(shù)乘積較大，同樣13×24和14×23中，兩個(gè)因數(shù)的差也是11和9，差是9的兩個(gè)因數(shù)乘積較大，兩組算式中，差是11的兩個(gè)因數(shù)的乘積較小。

通過思考并討論，發(fā)現(xiàn)在這樣的計(jì)算中有一定的規(guī)律存在，是否在其他這樣類似的題目中還有著相同的規(guī)律？于是，教師再次出示“1、2、3、5”四個(gè)數(shù)字，組織學(xué)生列出乘積大的一組算式51×32和52×31、乘積小的一組算式15×23和13×25進(jìn)行比對(duì)，由男生與女生分別計(jì)算。通過匯報(bào)得出這組算式的規(guī)律：乘積大的一組算式中兩個(gè)因數(shù)的和均為83，差分別是19和21，差是19的算式乘積較大，而乘積小的一組算式中兩個(gè)因數(shù)的和都是38，差分別是8和12，差是8的乘積較大，差是12的乘積較小。經(jīng)過驗(yàn)證后可以得出一個(gè)普遍性的規(guī)律：兩個(gè)因數(shù)的和一樣，差較小的乘積較大，差較大的乘積較小。

這一環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過組數(shù)、計(jì)算，進(jìn)一步熟練掌握筆算兩位數(shù)乘法的計(jì)算方法和算理，逐漸發(fā)現(xiàn)計(jì)算教學(xué)中在特定的規(guī)則下存在著一種規(guī)律。當(dāng)然，這一規(guī)律還只是停留在計(jì)算層面上，要讓學(xué)生更加直觀地感受到還需要借助于圖形的分析來(lái)支撐，這為整合復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（二）合作探究，復(fù)習(xí)周長(zhǎng)與面積，尋求知識(shí)外部之間的聯(lián)系

在完成第一個(gè)環(huán)節(jié)后，筆者設(shè)疑：在其他單元的知識(shí)點(diǎn)中是否也存在著這樣的現(xiàn)象，它們的和一樣，但它們的乘積不一樣。帶著疑問組織學(xué)生翻閱書本，4人小組討論尋找類似的知識(shí)點(diǎn)，勾起學(xué)生的記憶。

生4：我們小組認(rèn)為在面積單元也存在著這樣的規(guī)律，周長(zhǎng)相等，正方形面積大。

生5：我們小組覺得周長(zhǎng)相等時(shí)，長(zhǎng)方形與正方形面積相比，正方形大長(zhǎng)方形小。也就是長(zhǎng)+寬的和是不變的，但是長(zhǎng)×寬的積在發(fā)生變化，越扁的長(zhǎng)方形面積越小，越接近正方形面積越大。

師：請(qǐng)這組同學(xué)到黑板上來(lái)畫出草圖，其他同學(xué)看看他剛才表述的和畫出來(lái)的圖是不是一致（如下圖）。

師：這位同學(xué)畫了長(zhǎng)是5厘米，寬是3厘米的長(zhǎng)方形和一個(gè)邊長(zhǎng)是4厘米的正方形，能說明剛才他的意思嗎？

生6：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（5+3）×2=16厘米，面積是5×3=15平方厘米，正方形的周長(zhǎng)是4×4=16厘米，面積是4×4=16平方厘米。周長(zhǎng)都是16，相等；面積是正方形大。

在反饋與討論過程中，不僅復(fù)習(xí)了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積的計(jì)算方法，而且學(xué)生慢慢地發(fā)現(xiàn)面積單元中周長(zhǎng)與面積之間確實(shí)存在著和不變、積發(fā)生變化的情況。接著，全體學(xué)生獨(dú)立研究教師提供的素材，讓學(xué)生自己量并計(jì)算周長(zhǎng)和面積（數(shù)據(jù)如下圖）。匯報(bào)后得出周長(zhǎng)均是20厘米，面積分別是（9、21、25）平方厘米，也就是“長(zhǎng)+寬”的和不變，“長(zhǎng)×寬”的積發(fā)生變化，當(dāng)長(zhǎng)與寬的差是0時(shí)面積最大，長(zhǎng)與寬的差越大，面積越小。

學(xué)生借助于自己尋找相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，動(dòng)手量圖形進(jìn)行驗(yàn)證，從筆算乘法中規(guī)律性的知識(shí)慢慢地與圖形相結(jié)合，樹立起周長(zhǎng)守恒觀念和周長(zhǎng)、面積之間的辯證關(guān)系。

接著，筆者出示長(zhǎng)23厘米、寬14厘米的長(zhǎng)方形，面積是322平方厘米；再出示一個(gè)長(zhǎng)24厘米、寬13厘米的長(zhǎng)方形，面積是312平方厘米（如上圖）。把筆算乘法13×24與14×23用圖的形式進(jìn)行了解釋，學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)23厘米寬14厘米更加接近于正方形，因此這兩個(gè)數(shù)的乘積相對(duì)于24×13要大一些。在圖形的表征下，學(xué)生明確了13×24與14×23乘積的差就是23×（14-13）與13×（24-23）的差，較好地滲透了數(shù)形結(jié)合的思想與方法。

完成上述兩個(gè)教學(xué)過程后，需要對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行一定的梳理，讓學(xué)生更加清楚地明白看似不相關(guān)的知識(shí)是如何緊密地結(jié)合在一起的。教師設(shè)問：一個(gè)是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，一個(gè)是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積，它們之間有何種聯(lián)系？經(jīng)過學(xué)生的匯報(bào)與小結(jié)，進(jìn)一步明確了：兩個(gè)數(shù)的和不變，差越小乘積越大；長(zhǎng)方形中周長(zhǎng)不變，越接近正方形面積越大。隨后，組織學(xué)生獨(dú)立完成：一根長(zhǎng)36cm的鐵絲，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形（如果邊是整厘米數(shù)），有幾種方法？怎樣圍面積最大？此時(shí)，學(xué)生能較快地知道“長(zhǎng)+寬”的和是18厘米，圍成正方形（邊長(zhǎng)為9厘米）面積最大是81平方厘米。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”這一環(huán)節(jié)通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方法使抽象思維與形象思維緊密地結(jié)合：乘法中隱藏的規(guī)律用圖的形式直觀地表現(xiàn)出來(lái)，而長(zhǎng)方形中周長(zhǎng)與面積的關(guān)系又通過算式給抽象出來(lái)，真正把兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了有機(jī)的溝通，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，達(dá)到了整合復(fù)習(xí)的目的。

（三）借助微課，拓展課堂的空間，尋味數(shù)學(xué)知識(shí)之間的魅力

筆者認(rèn)為，一節(jié)好的復(fù)習(xí)課猶如一篇好的文章，需要有豹頭和鳳尾。因此，課堂結(jié)束前需要對(duì)這節(jié)課整體設(shè)計(jì)的思路與背后的思考讓學(xué)生能觸摸到，不僅感知“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元與“面積”單元有著一定的關(guān)聯(lián)，也能感受到數(shù)學(xué)中其他的知識(shí)點(diǎn)也存在著密切的聯(lián)系。

完成上述兩個(gè)主要環(huán)節(jié)后，筆者談話引入微課，旨在借助于微課的形式拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，呈現(xiàn)另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)圖。多媒體視頻依次出示下圖并解釋，從3+4=7這一基本算式出發(fā)，一年級(jí)是怎么運(yùn)用3+4=7，三、四、五年級(jí)甚至更高的年級(jí)如何運(yùn)用這個(gè)算式的，這樣學(xué)生就能明白原來(lái)一個(gè)簡(jiǎn)單的加法算式有如此強(qiáng)大的功能，能串聯(lián)起不同年級(jí)的知識(shí)。充分地感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是緊密地聯(lián)系在一起的，可以從一個(gè)知識(shí)延伸拓展到另一個(gè)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的生長(zhǎng)性。

筆者以為：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。它反映的是數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，以及學(xué)生在解決復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題過程中表現(xiàn)出來(lái)的綜合性運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力。在教學(xué)中不僅要關(guān)注教材本身所賦予的知識(shí)，更要關(guān)注教材之外的能力體系。對(duì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“面積”兩個(gè)單元的整合復(fù)習(xí)，正是基于這樣的考慮而設(shè)計(jì)與實(shí)踐的，它有利于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生形成綜合性、整體性和持久性的學(xué)習(xí)能力。因此，復(fù)習(xí)課要“面向未來(lái)”，有知識(shí)增量，有技能提升，有思維深度，充滿活力。