注重概念應用，培養抽象思維

☉南京師范大學第二附屬高級中學 朱 斌

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》一書在“課程基本理念”中創新性地提出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人的根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養.”進而根據數學學科特點，歸納總結出了高中階段數學的六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

數學抽象思維是指除去事物的一切物理屬性后得到的數學研究對象的思維過程，而數學概念恰是揭示相關事物之間的數量、結構、空間形式等關系的本質屬性，兩者之間具有一定的關聯.而數學概念應用成為培養與提升學生的數學抽象素養的重要環節之一.數學概念應用問題是貫穿整個數學學習的一條主要鏈條，如何在數學概念應用過程中培養與滲透學生的數學抽象思維呢？本文結合教學實踐，通過具體的教學案例來剖析學生數學抽象思維的培養與提升.

二、問題的解決

數學概念完全離不開數學抽象的思維過程，必須從具體事物中區分、抽象出研究對象的本質特征，進而加以抽象概括，從而得以認識和理解研究對象，結合相關數學知識來分析與處理.

1.借助參數引入，開展形式運算

在相應的數學概念應用中，往往借助參數引入，利用字母代替未知數進行運算與轉化，把抽象問題加以合理應用.借助形式運算，往往是鍛煉學生抽象思維的一種非常有效的方法，也能真正提高學生的核心素養.

例1已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）為單調函數，且滿足（fx）·f（ （fx）+）=1，則（f1）=______.

分析：引入參數，設（f1）=m≠0，通過單調函數的定義，并分別結合x=1，x=m+1進行形式運算，利用單調函數的性質建立相應的關系式來確定參數的值，進而得以求解（f1）的值.

解：設（f1）=m≠0，否則不滿足（fx）·f（ （f x） +）=1.

令x=1時，可得（f1）·（f（f1）+1）=1，即m（fm+1）=1，可得（fm+1）=；

思維剖析：涉及抽象函數及其函數值的求解，涉及函數的單調性、函數的解析式、函數值等問題.解題的關鍵是如何從抽象函數所滿足的關系式入手，通過賦值引入參數，結合形式運算，利用待定系數法、局部換元法、整體換元法等方法來解決，從而達到求解相應的函數值的目的.巧妙滲透數學抽象思維.

2.應用形象思維，認識本質規律

在相應的數學概念應用中，往往應用形象思維，借助形象思維的“踏板”作用，培養學生的抽象思維.形象思維借于抽象思維與本質規律的中間層面，富含有充分的心理活動，通過形象思維的巧妙應用與培養，可以有效認知學科知識，掌握本質屬性.

例2 （2018年北京卷文7）在平面直角坐標系中，A（B，C（D，E（F，G（H是圓x2+y2=1上的四段弧（如圖1），點P在其中一段上，角α以Ox為始邊，OP為終邊.若tanα＜cosα＜sinα，則點P所在的圓弧是（ ）.

圖1

分析：根據題目圖形加以形象思維，借助三角函數的概念應用，設出點P的坐標為（x，y），把對應的三角不等式tanα＜cosα＜sinα加以轉化，進而確定滿足條件的參數x，y的正負取值情況，從而得以正確解答.

解：設點P的坐標為（x，y）.

由題設條件tanα＜cosα＜sinα，利用三角函數的定義可得＜x＜y，解得x＜0，y＞0. （

所以點P所在的圓弧是EF，故選擇答案：C.

思維剖析：借助形象思維，并利用三角函數的概念把相應的三角不等式轉化為涉及相關點的坐標參數的不等式，結合相關不等式的分析與求解來確定對應參數的正負取值情況即可作出正確的判斷.形象思維角度正常切入，抽象思維得以充分展示，求解過程簡單有效，優化解題過程，節約解題時間，提升解題能力.

3.注重知識遷移，增強信息溝通

在相應的數學概念應用中，由于數學知識每一部分之間都存在著一定的關聯性，往往要注重知識遷移，將所學到的數學知識聯系在一起，加以合理遷移，建立信息溝通，加以正確轉化，得以知識的聯系以及深入探索.

例3（2019屆廣東省高三六校第一次聯考第10題）拋物線y=2x2上有一動弦AB，中點為M，弦AB的長度為3，則點M的縱坐標的最小值為（ ）.

分析：通過拋物線方程得到對應的焦點與準線方程，利用拋物線的定義和梯形的中位線定理，通過知識遷移，轉化中點M的縱坐標，并利用圖形的特征來確定最值問題.

解：由拋物線y=2x2，得其焦點為F（ 0，），準線方程為y=-.

根據拋物線的定義和梯形的中位線定理，

故選擇答案：A.

思維剖析：借助知識遷移，把解析幾何問題與平面幾何問題加以遷移與聯系，題目較為簡單，以拋物線為問題背景，巧妙設置定長線段的動態問題，進而來確定定長線段的中點的縱坐標的最小值.巧妙融合直線與曲線，交匯靜態與動態，轉化定值與最值，具有一定的創新性與應用性.

4.嘗試逐層深入，有效解決問題

在相應的數學概念應用中，可以利用抽象思維幫助學生發現真理，解決實際問題.特別是在數學概念應用中，需要一步一步加以合理引導，逐層深入，有效地幫助學生跨越形象思維，學會利用抽象思維來解決問題.

例4（2018屆江蘇省蘇錫常鎮二模第14題）若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在區間［1，2］上有兩個不同的零點，則的取值范圍為______.

分析：通過二次函數、零點的相關概念，從二次函數入手轉化為相應的零點式，再結合題目條件逐層深入，結合二次函數的圖像、不等式的性質等來處理與解決.

解：設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在區間［1，2］上的兩個不同的零點分別為x1，x2，其中1≤x1＜x2≤2，

則有f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

1）（x2-1）∈［0，1），由1≤x1＜x2≤2可得0≤x1-1＜x2-1≤1.

思維剖析：嘗試逐層深入，利用簡單問題逐漸向復雜問題的轉化，進而達到有效解決數學概念問題的目的.一般涉及二次函數已知零點的分布求解參系數的取值范圍問題時，可以使用二次函數的零點式，將參系數化歸為零點組合式的取值范圍問題，結合題目條件加以轉化與應用即可.

三、感悟與反思

其實，數學抽象思維與其他數學核心素養之間既相互獨立存在，直接利用于具體問題，又相互融合交匯，形成一個有機和諧的整體，共同用來解決相關問題，而數學抽象思維是其中的一條主線.不僅僅是中學階段，而是從小學一年級（或更早的學前教育階段）開始到大學階段，各個階段都離不開數學抽象思維的培養與提升，是一個系統不間斷的過程.在數學解題過程都可以有意識地加以培養與滲透.總之，在新課標標準指引下，如何在各層面培養與提升學生的數學抽象思維已經成為每一位數學教師的光榮使命，通過不同角度積極實踐，形成有效成果，共同交流，共同提高.