巧用多方法，妙解拋物線
——以2018年全國卷Ⅰ文科第20題為例

☉江蘇省常州市金壇區第一中學 宮雞明

著名數學家、教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串生長.找到一個以后，我們應該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而，當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.

題目 （2018年全國卷Ⅰ文20）設拋物線C：y2=2x，點 A（2，0），B（-2，0），過點A的直線l與C交于M，N兩點.

（1）當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

（2）證明：∠ABM=∠ABN.

分析：本題涉及拋物線的方程與幾何性質、直線與拋物線的位置關系、直線的方程與斜率、考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想等.關鍵是證明∠ABM=∠ABN時所切入的角度，可以利用直線的斜率和為零，也可以利用角平分線的性質，還可以利用幾何法、參數方程法等來轉化.不同的切入點有不同的解法，多點思維，多面開花.

解法1：（官方標準答案）（1）當l與x軸垂直時，l的方程為x=2，可得M的坐標為（2，2）或（2，-2）.

（2）證明：當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN.

當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k（x-2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

直線BM，BN的斜率之和為

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM=∠ABN.

綜上，∠ABM=∠ABN.

解法2：（官方標準答案的改進）通過改進，巧設直線l的方程為x=my+2（m∈R），省去對直線l的斜率是否存在的分類討論，從而結合kBM+kBN=0的證明來確定直線BM，BN的傾斜角互補，得以證明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設直線l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

直線BM，BN的斜率之和為

將x1=my1+2，x2=my2+2及y1+y2，y1y2的表達式代入①式分子，可得x2y1+x1y2+2（y1+y2）=2my1y2+4（y1+y2）=-8m+8m=0.

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM=∠ABN.

解法3：（角平分線性質法1）通過改進，巧設直線l的方程為x=my+2（m∈R），結合∠MBN的角平分線上的點A到兩直線BM、BN的距離相等的性質，進而確定x軸為∠MBN的平分線，得以證明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設直線l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

所以x軸為∠MBN的平分線，故∠ABM=∠ABN.

解法4：（角平分線性質法2）通過改進，巧設直線l的方程為x=my+2（m∈R），通過分析，結合角平分線的性質，若有∠ABM=∠ABN，則有成立，利用兩點間的距離公式的轉化，以及比值的應用得到關系式成立，得以證明∠ABM=∠ABN.

法律制度的制定與修改，其背后都蘊含著社會現實生活對某一特定問題的關注和期待。然而并非所有的社會問題都會通過國家專項立法的方式予以明確性規定。以兒童健康權保護為例，我國目前并未就兒童健康權保護問題作出單獨立法，而有關于專項保護未成年人健康成長的法律規范，主要規定在了《中華人民共和國未成年人保護法》等法律當中。

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設直線l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

由得y2-2my-4=0，可知y1+y2=2m，y1y2=-4.

而A（2，0），B（-2，0），

可得|MA|2=m2y12+y12，|NA|2=m2y22+y22，|MB|2=（my1+4）2+y12，|NB|2=（my2+4）2+y22.

亦即（1+m2）［（my1+4）2y22-（my2+4）2y12］=0成立.

而（my1+4）2y22-（my2+4）2y12=［2my1y2+4（y1+y2）］·4（y2-y1）=（-8m+8m）·4（y2-y1）=0，

所以∠ABM=∠ABN.

解法5：（幾何法）通過改進，巧設直線l的方程為x=my+2（m∈R），通過分析，利用平面幾何方法，根據∠ABM=∠ABN的等價條件Rt△BFN∽Rt△BEM的轉化，結合平面幾何中對應直角三角形相應邊的比值的關系式的建立與轉化來分析，得以證明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設直線l：x=my+2 （m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），結合圖1可知，y1＞0，x1＞0，x2＞0，y2＜0.

分別過點M，N作x軸的垂線，垂足分別為E，F.

要證∠ABM=∠ABN，即證Rt△BFN∽Rt△BEM，即即證（my2+4）y1+（my1+4）y2=0.

而（my2+4）y1+（my1+4）y2=2my1y2+4（y1+y2）=-8m+8m=0，所以∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

代入y2=2x得t2sin2θ-2tcosθ-4=0，可知

直線BM，BN的斜率之和為

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM=∠ABN.

通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”W