一類圓錐曲線問題的多種視角探究

☉江蘇省曲塘高級中學 萬海兵

在解答完一道題目后，嘗試從不同的視角探究問題的解答、從不同的角度對題目進行變式探究，是幫助學生鞏固知識、提升解題能力的有效方式.圓錐曲線問題是實施多解與多變的有效載體.本文以2018年一道拋物線試題為例說明.

引例 （2018年全國卷Ⅰ）設拋物線C：y2=2x，點A（2，0），B（-2，0），過點A的直線l與C交于M，N兩點.

（1）當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

（2）證明：∠ABM=∠ABN.

圓錐曲線既具有代數方程，又具有幾何特征，因此問題的求解常可從代數與幾何兩種視角入手.另外，由于圓錐曲線具有統一的定義、對稱性等，因此可對問題從橫向、縱向進行深入拓展，也可對相應曲線進行類比探究.本題雖然難度不大，卻是我們探究訓練的較好載體.本文對第（2）問加以探究.

一、解法探究

視角1：若∠ABM=∠ABN，則直線BM，BN的傾斜角互補，斜率和為0.

證法1：當直線l的斜率不存在時，易知結論成立.

當直線l的斜率存在時，設M（x1，y1），N（x2，y2），l：x=my+2.與拋物線方程聯立得消去x，得y2-2my-4=0.

又Δ=（-2m）2+16＞0，所以y1+y2=2m，y1y2=-4.

所以∠ABM=∠ABN.

問題得證.

視角2：如圖1所示，過點M，N作x軸的垂線，垂足分別為M′，N′.若∠ABM=∠ABN，

圖1

證法2：設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0.

以下同證法1，過程略.

評析：證法1從所證結論入手，找到兩條直線斜率之間的關系；證法2由∠ABM=∠ABN得到兩三角形相似.這兩種方法，均從幾何視角找到了M，N兩點坐標之間滿足的關系，從而將幾何問題代數化.

視角3：若∠ABM=∠ABN，則由平面向量的數量積公式可得，進而將幾何問題代數化.

證法3：設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0=（x1+2，y1）=（4，0）=（x2+2，y2），

由證法1得y1+y2=2m，y1y2=-4，

，問題得證.

評析：解析幾何中，如涉及夾角、垂直等有關的問題，常可借助平面向量數量積坐標公式，將幾何關系代數化.

二、變式探究

變式1：設拋物線C：y2=2x，點B（-2，0），斜率為k的直線l與C交于M，N兩點，與x軸交于點A.

（1）略.

（2）若∠ABM=∠ABN，則點A的橫坐標是否為定值？若是，求出該值；否則，說明理由.

解析：設M（x1，y1），N（x2，y2），l：y=kx+m，顯然k≠0.

消去y，

得k2x2+（2km-2）x+m2=0.

又Δ=4（km-1）2+4k2m2＞0，所以

解得m=-2k.

所以點A的橫坐標為定值2.

評析：本例將題目的結論與條件互換，即給出角相等的條件，判斷直線是否過定點.此類問題的處理策略是：設出直線方程y=kx+m，根據題目條件得出m，k的關系式，再將直線方程表示成“點斜式”，得出直線所過的定點.

變式2：設拋物線C：y2=2x，點A（2，0），斜率為k的直線l過點A且與拋物線C交于M，N兩點.

（1）略.

（2）在x軸上是否存在點B，使得∠ABM=∠ABN？若存在，求出點B的坐標；否則，說明理由.

解析：設B（t，0），M（x1，y1），N（x2，y2），l：x=my+2（m≠0），與拋物線方程聯立得消x得y2-2my-4=0.

又Δ=（-2m）2+16＞0，所以y1+y2=2m，y1y2=-4.

，且x1=my1+2，x2=my2+2，

所以t=-2，即點B的坐標為（-2，0）.

評析：本題將結論與條件互換，探究點B的存在性.此類探索性問題的求解，可先假設探究的定點存在，并用參數表示點的坐標，結合已知條件構建含參的方程，進而得出參數的值，即定點坐標.若構建的方程無解，或所得解與已知條件矛盾，則說明滿足條件的點不存在.

三、結論探究

結論：設F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，過點F的直線與C交于A，B兩點，點O為坐標原點，則∠AMO=∠BMO.

用以上幾種方法可證明此結論，過程略.

類似地，還可以將此結論推廣到橢圓和雙曲線：

下面用引例中的視角1，對此結論進行證明.

證明：設直線AB：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）.

（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0.

由根與系數的關系得由x1=my1+c，x2=my2+c，得

所以∠AMO=∠BMO.命題得證.

請讀者自行完成此命題的證明.

綜上所述，通過對一道題目從多種不同的視角進行解答、將背景變換進行探究，不僅得到了一般結論，促進了知識體系的形成，也拓展了我們的知識面，提升了解題能力.W