學科核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學概念教學案例與啟發(fā)

摘 要：本文以《函數(shù)的奇偶性》的教學為例，探討高中數(shù)學概念教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的做法.認為促進學科核心素養(yǎng)落地可從以下四個方面入手：創(chuàng)設情境，注重概念的引入，在問題情境中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)；深入探究，注重概念的抽象，在探究構(gòu)建中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)；策略得當，注重概念的生成，在概念的生成中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)；學以致用，注重概念的升華，在概念的運用中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

關鍵詞：函數(shù)的奇偶性；核心素養(yǎng)；概念教學；教學啟發(fā)

作者簡介：彭永婷（1983- ），女，福建廈門人，本科，中學二級教師，研究方向：中學數(shù)學教學研究.

一、核心素養(yǎng)視角下的概念教學

數(shù)學概念作為一種判斷與推理的思維方式，以定理、法則、公式等方式呈現(xiàn)概念.它反映了人腦對現(xiàn)實的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)特征.靈活運用數(shù)學概念，不僅有利于掌握數(shù)學基礎知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力，也可以培養(yǎng)學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).數(shù)學概念教學是引導學生體驗數(shù)學家概括數(shù)學概念的心路歷程，領悟數(shù)學家用數(shù)學的眼光看待和認識世界的思想真諦的重要載體[1].

從概念、原理的教學層面看，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的落地可從以下多維視角入手.具體如下：創(chuàng)設問題情境、依托核心概念、核心知識；提出核心問題、研究核心問題、形成核心概念或核心知識；理解數(shù)學思想方法、訓練數(shù)學基本能力.在課堂教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)要貫穿情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思的全過程.以《函數(shù)的奇偶性》的教學為例梳理核心素養(yǎng)視角下的概念教學的案例設計和教學啟發(fā)，以期為新課標背景下概念教學的課堂實施提供參考.

二、教學案例實施——以《函數(shù)的奇偶性》的教學為例

人教A版必修一《奇偶性》屬于概念課.涉及“函數(shù)奇偶性的概念” “奇偶性的判斷與簡單應用”等核心內(nèi)容.圍繞“概念”這一主題，集中體現(xiàn)數(shù)學抽象和邏輯推理兩大核心素養(yǎng).本節(jié)內(nèi)容運用數(shù)學基本推理方法——歸納推理，在歸納推理的基礎上形成數(shù)學抽象得到函數(shù)的奇偶性.基于培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，本節(jié)課的關鍵是通過學習奇偶性初步學習歸納推理常見的思維步驟：特殊——一般——證明，并運用歸納推理進一步對數(shù)學知識和結(jié)論進行探究.奇偶性是函數(shù)三種基本性質(zhì)之一，是函數(shù)單調(diào)性教學的延續(xù).從數(shù)學結(jié)構(gòu)化框架角度看，概念教學需保持其“延續(xù)”性，讓學生體會從生活到幾何直觀，再從幾何直觀到數(shù)學符號語言精確定義的整個過程.

活動一 創(chuàng)設情境，引入概念

問題情境：美麗的蝴蝶、盛開的鮮花和中國的古建筑都具有對稱的美.諸如此類“對稱美”的例子在數(shù)學學科教學中不勝枚舉.讓我們開啟知識的大門，進入更精彩紛呈的函數(shù)奇偶性的學習.

設計意圖：在上課的當天，筆者特地穿了一件有兩只漂亮蝴蝶的衣服，一下吸引了學生的眼球.從學生感興趣的東西出發(fā)，既活躍了課堂氣氛，拉近了師生距離又連接了生活與數(shù)學，讓學生體會到數(shù)學是源于生活的.

活動二 深入探究，生成概念

探究1 偶函數(shù)的概念

問題1 觀察下列函數(shù)圖象（圖1、圖2、圖3），歸納共同特征.

問題2 關于y軸對稱的點的坐標有什么特點？

問題3 怎樣說明函數(shù)f（x）=x2的圖象關于y軸對稱？

問題4 若函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱，則此函數(shù)是偶函數(shù).如何利用函數(shù)解析式描述偶函數(shù)？

問題5 通過前面的探究，你能得出偶函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性嗎？

設計意圖 以問題引導，帶著學生從發(fā)現(xiàn)生活中的對稱美，過渡到發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的對稱美，圍繞偶函數(shù)的概念，不斷設問、不斷變式，把對稱這一概念從直觀過渡到準確的幾何描述，實現(xiàn)學生從“圖形語言”到“文字語言”到“符號語言”認識函數(shù)的奇偶性，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換.呈現(xiàn)完整的偶函數(shù)概念的形成過程，讓學生對概念形成程序步驟化，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數(shù)學研究方法，發(fā)展自身的直觀想象、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).

例1 下列函數(shù)哪些是偶函數(shù)？

（1）f（x）=x2；

（2）f（x）=x2，x∈[-1，3]；

（3）f（x）=x3-x2x-1；

（4）f（x）=1.

小結(jié)

（1）偶函數(shù)的定義；

（2）偶函數(shù)定義域具有的特征：關于原點對稱；

（3）偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；

（4）判斷偶函數(shù)的方法：①圖象法；②定義法.

設計意圖 通過具體問題的分析、解決，提升對偶函數(shù)概念的理解與運用.在判斷奇偶性問題中，學生最容易忽略的是定義域關于原點對稱這個前提，故設置了例1的第（2）、（3）題.通過對學生誤解的分析，強調(diào)概念的易錯點和關鍵點，從而進一步加深學生對奇偶性概念的理解.題后的反思小結(jié)，旨在養(yǎng)成學生良好的數(shù)學學習習慣，學有所思，思有所得.

探究2 奇函數(shù)的概念

問題1 觀察函數(shù)f（x）=x和f（x）=1x的圖象（圖4、圖5），歸納兩個圖象的共同特征.

問題2 類比偶函數(shù)圖象的對稱性，探究奇函數(shù)圖象的對稱性.

例2 試判斷函數(shù)f（x）=x3-2x是奇函數(shù)嗎？

小結(jié)

（1）奇函數(shù)的定義；

（2）奇函數(shù)定義域具有的特征：關于原點對稱；

（3）奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；

（4）判斷奇函數(shù)的方法：①圖象法；②定義法；

（5）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說該函數(shù)具有奇偶性.

設計意圖 讓學生類比偶函數(shù)概念的形成過程，自己動手探索奇函數(shù)概念.數(shù)學思維有時就產(chǎn)生于模仿，特別是以思維步驟形成呈現(xiàn)的數(shù)學思維，所以大膽留時間給學生動手模仿數(shù)學知識的整個形成過程，通過不斷的重現(xiàn)知識形成數(shù)學思維.但模仿只是開始，大膽鼓勵學生利用已掌握的數(shù)學基本思想去提出問題、分析問題、解決問題，通過探究未知的數(shù)學問題，形成數(shù)學核心素養(yǎng).

問題3 辨析體會定義.

觀察下列函數(shù)圖像（圖6、圖7），這兩個函數(shù)具有奇偶性嗎？

例3 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=-3x2+1；

（2）f（x）=x（x+1）；

（3）f（x）=0；

（4）f（x）=x；

（5）f（x）=x+1，x>0，1，x=0，-x+1，x<0

小結(jié) 判斷函數(shù)奇偶性的方法步驟

（1）用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟；

（2）對于一個函數(shù)來說，它的奇偶性有4種可能.

設計意圖 在得出函數(shù)的奇偶性定義之后，通過具體問題分析、解決提升對奇偶性概念的理解和運用；另外通過對學生錯解進行分析處理，強調(diào)關鍵點和易錯點，從另一角度加深對奇偶性概念的理解.

活動三 學以致用，升華概念

訓練1 若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（2）=3，則f（-2）=；若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且f（-1）=3，則f（1）=.

訓練2 根據(jù)下面函數(shù)的奇偶性，補充完整函數(shù)圖像（圖8、圖9）：

（1）f（x）為奇函數(shù)，定義域是（-1，1）；

（2）f（x）為偶函數(shù)，定義域是R.

訓練3 如圖10，給出了奇函數(shù)y=f（x）的局部圖象，則f（-4）=.

收獲與體會 從知識和方法層面梳理本節(jié)課的收獲.

設計意圖 在教學過程中圍繞特殊到一般這一推理主線，從淺到深，從體會到應用，培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學抽象兩大核心素養(yǎng).培養(yǎng)學生勇于探究精神，當堂檢測為模仿—探究教學畫上句號.教學中除了知識和技能的傳授，不忘穿插學法指導（反思整理）.

三、核心素養(yǎng)視角下的概念教學的思考

有學者認為數(shù)學教學活動應當：把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設合適的教學情境，提出合理的問題；啟發(fā)學生獨立思考，鼓勵學生與他人交流；讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學的本質(zhì)；讓學生積累數(shù)學思維的經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)[2].數(shù)學概念教學再現(xiàn)了數(shù)學家的創(chuàng)造過程.我們要擇其要領，創(chuàng)設有利于發(fā)展學生核心素養(yǎng)的教學情境，將數(shù)學家的發(fā)現(xiàn)過程還原給學生，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，啟發(fā)學生探究，體會其中蘊含的數(shù)學思想，教會學生“數(shù)學地思考”，引導學生把握數(shù)學概念的本質(zhì).數(shù)學核心素養(yǎng)視角下的概念教學可從以下四個方面入手：

1創(chuàng)設情境，注重概念的引入，在問題情境中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

從無到有，學生必須有一個契合處，以緩解新概念對思維產(chǎn)生的“碰撞”.要使新概念變?yōu)閷W生自己的知識，必須建立新概念和學生已有認知的聯(lián)系.在概念和模型教學中，應根據(jù)學生的生活、學習經(jīng)驗，創(chuàng)設真實有趣的問題情境.引導學生自己去建構(gòu)概念，提煉模型，發(fā)現(xiàn)計算法[3].概念教學中，要變抽象枯燥的概念為生動有趣，要想方設法借助學生熟悉的生活經(jīng)驗，從創(chuàng)設生動合理的問題情境入手.例如，在《函數(shù)的奇偶性》的教學中可從學生所熟悉的生活中具有對稱性圖形（蝴蝶、花朵甚至汽車標志等）引入，學生熟悉而且能讓學生獲得直觀感知.

2深入探究，注重概念的抽象，在探究構(gòu)建中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

對數(shù)學概念的理解需經(jīng)歷從特殊（具體函數(shù)）到一般（抽象函數(shù)）、從具體（運算）到

抽象（概括）的思維過程，經(jīng)由直觀分析到演繹證明、從自然語言到符號表示.數(shù)學研究是一條從感性走向理性、從粗糙走向精細的發(fā)展之路.因而，在概念教學過程中，我們不只要讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，更要注重概念的定性把握、定量刻畫、抽象概括、準確表達，進而形成精確的數(shù)學概念.例如，在探究函數(shù)奇偶性概念時，可從學生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的圖象入手，以問題引導，帶著學生從生活中的對稱美，過渡到數(shù)學圖象中的對稱美，圍繞偶函數(shù)的概念，不斷設問、不斷變式，把對稱這一概念從直觀過渡到準確的幾何描述，實現(xiàn)學生從“圖形語言”到“文字語言”到“符號語言”認識函數(shù)的奇偶性，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換.呈現(xiàn)完整的偶函數(shù)概念的形成過程，既讓學生對概念形成程序步驟化，又讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數(shù)學研究方法，并在研究的過程中不斷發(fā)展自身的直觀想象、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).

3策略得當，注重概念的生成，在概念的生成中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

在探究過程中教師不能越位，為了更好地幫助學生理解概念，為更好體現(xiàn)和培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，教師可采取適當?shù)慕虒W策略，如“問題—引導”教學策略.對教材進行適當?shù)募庸ず驮鰷p，圍繞概念、問題（例題）不斷設問、不斷變式，引導學生從歸納推理、概念識別兩個大方向去理解認識概念，有利于突破教學難點.亦可采用“模仿—探究”教學策略.數(shù)學思維有時產(chǎn)生于模仿，特別是以思維步驟形成呈現(xiàn)的數(shù)學思維，大膽留時間讓學生動手模仿數(shù)學知識的整個形成過程，通過不斷的重現(xiàn)知識形成達到形成與訓練數(shù)學思維.例如，在老師的引導下，研究了偶函數(shù)的概念之后，奇函數(shù)概念的生成與偶函數(shù)完全一致，可以放手讓學生自主探究.

4學以致用，注重概念的升華，在概念的運用中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

數(shù)學概念的教學不能只靠記憶，背會數(shù)學定義并不等于掌握了數(shù)學概念，更重要的是理解與感悟.讓學生在教師的教學過程中理性理解數(shù)學概念的本質(zhì)，只有將所學的概念，運用到具體問題中，才能使概念得以鞏固提升，進而提高學生對數(shù)學概念的運用能力，提升數(shù)學思維，在概念的運用過程中發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).例如，在探究函數(shù)奇偶性的概念之后，從奇偶性的代數(shù)定義和圖象性質(zhì)加以綜合解題.同時，逆向應用給出函數(shù)部分圖象，畫出定義域內(nèi)的完整圖象.理性理解概念，有效解決問題，在概念的綜合運用中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]許興震定位教學目標，實現(xiàn)數(shù)學育人——以一節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”的教學為例[J].中國數(shù)學教育，2015（3）：2-4.

[2]史寧中學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學——以數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學管理，2017（1）：35-37.

[3]洪曉鴿高中數(shù)學概率新舊教材比較及教學研究[D]. 蘇州大學， 2010.