數學解題的幾種轉化方法

陳淑琴 吳博

【摘要】在數學解題中運用轉化思想，可使問題由復雜變簡單。本文通過總結中學數學常用的轉化方法，結合經典例題說明，讓學生體會，并能運用數學轉化的思想方法，優化解題思路，達到事半功倍的效果。

【關鍵詞】數學思想；轉化思想；解題思路

數學思想方法是數學中的理性認識，是數學知識的本質。轉化思想是最基本、最重要、應用最廣泛的數學思想。轉化思想是指在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉化，變為已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解的思想。

轉化是解決問題的一種重要方法。人們在解決問題遇到障礙時，常常把原來復雜生疏難解的問題轉化為另一個簡單熟悉的問題來進行思考，使解題思路暢通，從而簡化解決問題的過程。為人熟知的司馬光砸缸、曹沖稱象等故事，都顯示出轉化思想在解決問題時的妙用。

一、中學數學解題中常用的轉化方法

整個中學數學內容，始終貫穿著數學知識和數學方法這兩條線。中學數學問題的解決過程常常表現為不斷發現問題、分析問題直到歸結轉化為熟悉的或已能解決的問題的過程，轉化方法是中學數學中的重要數學方法之一。以下總結了中學數學中常用的轉化方法。

方法一：化繁為簡

此方法顧名思義，即將較復雜的問題轉化為較簡單的問題，化繁為簡的方法運用廣泛，掌握后可以減少不必要的麻煩，提高解題效率。

眾所周知，復雜形式與簡單形式總是相對而言的，以二次方程為例，相對于一次方程來說，它是復雜形式，一次方程是簡單形式；而相對于高次方程來說，它又屬于簡單形式了。

例：若函數的最大

值為，試確定常數的值。

本道例題所給出的函數是個較復雜的三角函數式，用常規方法無法解決。通常遇到三角函數式時，往往要運用三角公式，將已知的復雜式轉化為較簡單的式子來解決問題。

方法二：將陌生轉化為熟悉

數學題型多變，做題常會遇到陌生的問題，此時學生會手足無措，不知如何去解。這種情況下，我們就需要將陌生問題轉化為我們所熟悉的問題，或將未知的問題轉化為已知的問題，這是數學解題的一條重要原則和策略。

方法三：特殊與一般互化

一般化與特殊化是人們認識事物的兩個重要側面，也是解題的兩種基本策略。在解決數學問題時，我們可靈活地將特殊問題與一般問題互換，當一般問題比特殊問題易解決時，可先解決一般問題，進而得出特殊問題的解決方法；反之，當一般問題無從下手，可先退到其特殊的情況去考慮，從而找到一般問題的解題思路。

方法四：高維向低維轉化

事物的空間形式總是表示為不同維數，將高維問題轉化為低維問題，可以更清晰，更直觀的解決問題。立體幾何是平面幾何的延伸與拓展，兩者在轉化中實現內容的補充和問題的解決. 把立體問題化歸為平面問題是解決立體幾何問題的基本策略。

方法五：類比猜想轉化

類比方法是一種在不同的對象之間，或者在事物與事物之間，根據它們某些方面（如特征、屬性、關系）的相似之處進行比較，從而建立猜想的方法。類比是數學發現與數學解題的重要手段之一。

二、轉化思想在教學中的滲透

數學思想是對數學知識的本質認識，而轉化思想是數學研究問題的一種基本思想。在實際生活中，人們為了節省物力、精力、財力等總是將復雜問題簡單化，實際問題科學化。

1.提高滲透的意識性

決定一個學生的數學素質高低，最重要的是看他能否運用數學思想解題。轉化思想總是隱含在知識中，只能從相關教學內容中體現出來。我們知道，新知識往往和舊知識有著內在的聯系，教師則需要引導學生發現這其中所蘊含的數學思想。

2.增強滲透的靈活性

在新知識的學習過程中，教師不能只是一味地向學生灌輸新的內容，即不能為了教知識而教知識，在此過程中教師要重視學生的學習過程，引導學生用已有的知識，積極主動地運用數學轉化思想去認識新知識。

其次，數學思想方法存在于問題解決的過程中，數學問題的解決過程可以看作是用不變的數學思想方法去解決變換的數學問題的過程，且這一過程實際上就是考驗學生的知識運用能力，在這一過程中，教師要充分發揮自己的主導作用，引導學生跟隨自己的解題思路，從題目中捕獲有用信息，轉化為自己已學過的知識。

三、 滲透轉化思想需注意的問題

數學教師在教學中僅僅做到“授之以魚”或“授之以漁”是遠遠不夠的，更重要的是讓學生“悟其漁識”，即在引導學生理解掌握數學知識技能的同時，更要注重數學思想方法的滲透，要讓學生學會運用轉化思想解決各類數學的問題，需要教師善于運用科學有效的方法進行滲透，而由于中學生的思維水平及認知能力的限制，教師在滲透轉化思想的過程中需注意以下問題。

（1）注意新舊知識的聯系。 轉化思想是一種學習策略， 要求學生有一定的基礎知識和解決相似問題的經驗，基礎知識越多，經驗越豐富，就越容易總結新舊知識間的聯系。因此教師在教學過程中，要深入鉆研教材，挖掘出新舊知識的內在聯系，并根據實際情況向學生介紹易于掌握的轉化方法。

（2）注意在教學過程中滲透。 教學實踐表明，利用轉化的思想方法學習數學，不僅更容易理解，同時更容易記憶。 利用轉化的思想方法學習數學，可幫助學生更好地理解數學知識的形成過程，因此，教師在教學過程中，要讓轉化成為學生在解決問題時內在的迫切需要，從而讓學生的思想及操作都處于主動狀態。

（3）注意練習題的代表性。 哈爾莫斯說：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟。” 解題是數學學習中不可缺少的實踐環節，教師在選擇練習題時要注意題目的目的性、代表性，力求學生在做完每一道題后能夠舉一反三，讓每一個題目都發揮最大的效益，從而提高學生的解題效率。

數學解題不在于量，而在于質。 題海戰術耗費時間精力，同時還會讓學生喪失學習興趣。 因此，學習數學思想很有必要。

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