微分概念的微課程教學設計

秦丹丹 黃文竹

【摘要】本文探討了如何設計適合本科生教育的微分概念的微課程，主旨是激發學生的學習興趣；提高學習效率；引導學生深入理解微分的本質；運用信息技術，提升學生自主學；解決學生時間碎片化的問題。

【關鍵詞】微分 高等數學 微課程 教學設計

【基金項目】貴州醫科大學教學工程項目。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）47-0124-02

高等數學具有知識點多、內容嚴謹且邏輯性強的特點；是后續課程學習的理論基礎；對培養學生提出、分析，解決問題的能力和邏輯思維鍛煉有重要作用。因此，教育工作者一直致力于研究高等數學的教學模式改革與教學方法創新。目前，越來越多的教師參與到了微課程的設計與研究中，積極推動了高等數學的教學模式改革，高校也興起了微課程設計熱潮。在高等數學教學設計微分的微課程時，筆者采取了下面的思路：

一、情景設計，趣味引入

引例：擺鐘的鐘擺受溫度變化會發生熱脹冷縮現象，從而影響擺鐘的精確程度。問鐘擺的擺長在冬季縮短0.01cm，這樣將使擺鐘產生多大的誤差？

以熱脹冷縮現象為背景，提出一個日常生活中的問題，這樣的引入方式能夠吸引學生的注意力，增加趣味性，激發學生的學習興趣并深入探索，更能體現高等數學中很多概念來源于實際的本質，糾正高等數學脫離實際的錯誤認識。熱脹冷縮現象是常識性知識，隨著氣溫的變化，計算結果會受到影響，內容相對容易理解。

二、概念剖析，嚴謹解讀

微分是微積分學中的概念之一，該知識點與前后內容有重要聯系。目前，筆者使用的教材為同濟大學數學系主編的《高等數學（第七版）》。該教材已經經歷多次修訂，內容嚴謹，但學生自學時受知識面的限制，難以從本質上理解微分的概念。如果按照正常順序陳述的方式，學生經常死記硬背定義，甚至不知道如何應用。

考慮以上原因，筆者在講授時，以定義式Δy=AΔx+ο（Δx）為出發點，即函數值增量等于自變量增量的線性形式加上自變量的高階無窮小。由定義式可知，f（x0）和f（x0+Δx）需都有意義。所以，微分的定義要求函數y=f（x）要在x0的某個領域內有定義。還要強調：線性主部中的常數A與自變量增量無關，否則就不是線性形式。

本微課程旨在教會學生學習概念性知識點的方法——先記憶定義式，再分析前提條件。定義式的記憶難度遠遠小于直接背誦教材上的定義。由定義式分析出所有條件，可以實現理解記憶的目的。此外，只有熟記定義式，學生才能夠分析明確微分與其它概念之間的聯系。

三、引導思考，詳細推理

問題：在一元函數中，導數與微分是什么關系？

方法：問題式教學法。

提示： 從導數和微分的本質出發，在PPT中呈現導數定義式與微分定義式。

結論：對于一元函數，可導與可微等價，且dy=f′（x0）dx，導數 =f′（x0）稱為微商。

四、概念回歸，注重應用

高等數學來源于實際，反過來又應用到實際生產生活。將概念回歸到引例，可以幫助學生深化對概念的理解。同時，用微分解決實際問題，也體現了微分在生產實際與科學研究方面的重要應用，例如近似計算Δy≈f′（x0）Δx。

由于時鐘擺動的周期是1秒鐘，一個周期的誤差為

ΔT≈dT=T′（l0）·Δl= ·Δl= ×（-0.0001）≈-0.0002（s）

那么，一天的誤差就是60×60×24×0.0002=17.28（s）

微課程具有時間短、內容精煉的特點。受時間限制，課堂僅介紹函數值增量的近似計算，提醒學生微分還可以用來近似計算x0點附近的函數值。

最后需要指出微分近似計算的優缺點，微分的應用是線性近似計算，也就是用一次函數近似代替函數值或者函數值的增量，而線性近似的程度有時并不能夠滿足問題的精確度要求，所以學生后續還會學習用高次多項式做近似計算的問題——泰勒公式，以此激發學生對后續內容的探索興趣。

五、梳理內容，歸納小結

在微課程的設計中，小結部分可以起到進一步鞏固知識點、總結規律的作用。這部分以板書形式給出，通過粉筆字突出重難點，讓學生一目了然。布置微分這節課的典型題目，包括微分計算、近似計算，所有題目在PPT上給出。

思考題：導數與微分的幾何意義的區別是什么？

結語

本次微課程設計，借助信息技術手段錄制內容豐富、節奏緊湊的短視頻。視頻中用到了PPT與板書，沒有完全拋棄傳統的教學手段。多媒體教學能夠節省教學時間，加大信息量；板書呈現知識點可以給學生更加直觀的感受，容易記住重難點。該微課程涉及到“情境引入，概念講解，嚴謹推演，現實應用，內容歸納”五個環節，內容承上啟下；能夠實現引導學生思考，提升自主學習能力的目標。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系. 高等數學[M]. 高等教育出版社，2007年4月.

作者簡介：

秦丹丹（1982—），女，漢族，黑龍江省齊齊哈爾人，空軍航空大學，講師，碩士，主要從事微分方程數值解研究。

黃文竹（1983—），女，漢族，黑龍江省哈爾濱人，貴州醫科大學，副教授，博士，主要從事微分方程數值解研究。