初中數學典型幾何模型

趙麗紅

[摘???要]中考數學試題一般以典型代數模型、幾何模型為依托，熟悉和掌握初中數學的一些代數與幾何模型的使用方法，對解答中高難度的試題將有很大的幫助.“一線三等角”模型是典型的幾何模型.此模型又可分為銳角一線三等角、直角一線三等角和鈍角一線三等角.“一線三等角”模型一般不單獨出現，它通常與其他特殊圖形結合，如等腰三角形、等邊三角形、矩形、正方形，以及與翻折、坐標系結合等，從而考查這些圖形的性質.

[關鍵詞]一線三等角模型;幾何模型;初中數學

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0037-02

“一線三等角”是指三個相等的角的頂點在同一直線上，其中兩個角的一邊與該直線重合，第三個角的兩邊均不與直線重合，這樣會形成一組全等或相似三角形.根據等角的度數，此模型又可分為銳角一線三等角、直角一線三等角和鈍角一線三等角，其基本圖形如圖1所示，它們均有△ACP∽△BPD.

“一線三等角”模型一般不單獨出現，它通常與其他特殊圖形結合，如等腰三角形、等邊三角形、矩形、正方形，以及與翻折、坐標系結合等，從而考查這些圖形的性質.以下就是考試中常出現的試題形式.

一、等腰三角形中的“一線三等角”

因為等腰三角形有“兩底角相等”的性質，所以“一線三等角”在等腰三角形中出現頻率最高，通常利用三角形外角的性質得到另一組等角，然后利用“有兩個角分別對應相等的兩個三角形相似”得證相似三角形.

[例1]如圖2，在△ABC中，AC=BC，點D是線段AB上一動點，∠EDF繞點D旋轉，在旋轉過程中始終保持∠A=∠EDF，射線DE與邊AC交于點M，射線DF與邊BC交于點N，連接MN.

（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明你的結論;

（2）如圖3，在上述條件下，當點D運動到AB的中點時，求證：在∠EDF繞點D旋轉過程中，點D到線段MN的距離為定值.

解析：（1）[△ADM∽△BND].理由：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠AMD?=∠EDF+∠BDN，∵∠A=∠EDF，?∴∠AMD=∠BDN，∴△ADM∽△BND;

（2）如圖4，作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，由（1）得，△ADM?∽△BND，∴[AMBD=DMDN]，∵AD?=?BD，∴[AMAD=DMDN]，又∠A∠EDF，∴△ADM∽△DNM，∴∠AMD=∠NMD，又∵DG⊥MN，DH⊥AM，∴DG=DH，即在∠EDF繞點D旋轉過程中，點D到線段MN的距離為定值.

評注：對于等腰三角形中的“一線三等角”，當第三個角的頂點恰好在底邊中點時，圖中中間的三角形與兩邊的兩個三角形也相似，可稱之為“中點型一線三等角”.

二、等邊三角形中的“一線三等角”

等邊三角形的“一線三等角中，更多關注的是全等三角形，且第三等角位置變化時，研究有關線段不變的數量與位置關系.

[例2]如圖5所示，已知：△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一點，以AD為邊作等邊△ADE.

（1）當點D在線段BC上時，求證：BD=CE，AB∥CE;

（2）若點D在CB的延長線上，上述結論是否成立？若成立，補畫圖形并證明，若不成立，說明理由.

解析：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC?=?BC，AD?=?AE，∠BAC?=∠DAE?=?60°.∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，[AB=AC?，∠BAD=∠CAEAD=AE?，]，

∴△ABD?≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，∴∠ECF=60°，∴∠ECF=∠B，∴AB∥CE;

（2）補畫圖形如圖6所示.上述結論成立.理由如下：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB?=?AC?=?BC，?AD?=?AE，∠BAC?=∠DAE?=?60°.∴∠BAC+∠CAD?=?∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，[AB=AC?，∠BAD=∠CAEAD=AE?，]，

∴△ABD?≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE?=∠B?=?60°，∴∠ECF?=?60°，∴∠ECF=∠B，∴AB∥CE?.

評注：本題第（2）小題是“一線三等角”的變形，但證明的方法仍與前面相同，甚至第（2）小題證明過程字母都沒改變，可見證明思路完全相同，這是拓展延伸問題慣用的手法.

三、矩形折疊中的“一線三等角”

矩形折疊中的“一線三等角”常表現為“直角一線三等角”，因為矩形的每個角都是直角，把矩形的一個角折疊，當它的直角頂點落在矩形一邊上時，就會形成“一線三等角”的模型，得到兩個相似三角形，然后利用對應邊成比例求得有關線段的長.

[例3]如圖7，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，點E在邊BC上，且BE=[35a].連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為????????????????.

解析：①?當點B′落在AD邊上時，如圖8.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD?=?∠B?=?90°，∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在AD邊上，∴∠BAE?=?∠B′AE?=?[12]∠BAD?=?45°，∴AB?=?BE，∴[35]?a=1，∴a?=?[53];

②當點B′落在CD邊上時，如圖9.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a.∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在CD邊上，∴∠B=∠AB′E=90°，AB=AB′=1，EB=EB′=?[35]?a，∴DB′=[B′A2-AD2]=[1-a2]，EC=BC-BE=a-[35]?a=[25]?a.在△ADB′與△B′CE中，[∠B′AD=∠EB′C=90°-∠AB′D，∠D=∠C=90°，]∴△ADB′∽△B′CE，∴[DB'CE]=[AB'B'E]，即[1-a225a]=[135a]，解得a1=[53]，a2=0（舍去）.綜上，所求a的值為[53]或[53].

綜上可知，在解題時，要學會從復雜圖形中提取出基本圖形，靈活地運用基本結論思考拓展，通過知識間的串聯，找出一些通性通法，從而有效解決問題.

（特約編輯????安???平）