拋物線中面積模型的構建與應用

☉江蘇省南京市上元中學 徐 蕓

拋物線的面積問題是中考數學的重點問題，該類問題一般以拋物線為載體，以圖形的面積作為條件或問題進行命題.求解時可以借助特定的面積模型，建立幾何面積與拋物線上點的坐標的關系.本文將從教材公式衍生面積模型，然后結合考題具體講解面積模型的應用方法，以期對師生的備考有所幫助.

一、教材解讀，公式探知

三角形的面積計算公式是數學幾何常用的公式，但大多數一般三角形難以直接利用公式求解，十分有必要探究任意三角形面積與邊長的關系，下面進行詳細探究.

探究：圖1所示為任意的△ABC，如何表示其面積？又可以怎樣理解？

分析：△ABC為任意三角形，根據三角形的面積等于底乘高的二分之一，過點A

圖1

二、延伸拓展，模型構建

求解一般三角形面積的問題形式很多，其中以直角坐標系為背景的面積求值題是較為特殊的一類，對于該類題的模型構建，我們同樣可以借助上述對面積計算公式的割補方式.

問題：圖2所示為直角坐標系中一任意三角形ADE，已知三個頂點的坐標，試求△ADE的面積.

模型：對于△ADE的面積模型的構建有以下兩種方式：

方式1：過點A作x軸的平行線AF，交DE于點F，再作EH⊥AF于點H，DG⊥AF于點G，則EH+DG=yD-yE.

參考上述分割方式，△ADE可分割為有共同底AF的△ADF和△AEF，兩個三角形具有共同底AF，則S△ADE=AF·（DG+EH）=

圖2

圖3

方式2：如圖3，過點E作y軸的平行線EF，交AD于點F，再作AH⊥EF于點H，DG⊥EF于點G，則AH+DG=xD-xA.

病原菌可以在病殘體上越冬，也可以附著在種子表面在土壤中越冬，成為次年初侵染來源，一旦環境條件適宜病原菌便形成分生孢子。白菜白斑病的分生孢子具有黏著性干燥的氣候條件并不適宜分生孢子的傳播，適當的降雨非常有助于分生孢子的傳播擴散，這也是秋季高濕的氣候條件下白菜白斑病發病嚴重的主要原因。分生孢子還可以借助風力傳播，通過植物的氣孔等自然空口進入到植株內部，環境條件適宜的情況下引起植物病害并形成新的分生孢子繼續多次侵染。

上面分別通過作x軸和y軸的平行線對一般三角形ADE進行了分割，然后利用共底線段的長和關鍵點的坐標完成了面積模型的構建，其中最為顯著的區別在于點的坐標的利用，這是由對應的條件所決定的，也是后續利用模型解題時需要處理的關鍵點.

三、應用模型，例題探析

在歷年的中考函數壓軸題中，都有涉及曲線上三角形面積求值的題.對于該類問題，可以通過圖形分割的方式，采用上述兩種方式構建面積模型，從而將問題轉化為求解關鍵點的坐標，下面將結合考題分別探析.

例1（2018年黃岡市中考卷第22題）已知直線l：y=kx+1與拋物線y=x2-4x.

（1）求證：直線l與該拋物線總有兩個交點；

（2）設直線l與該拋物線的兩個交點為A、B，O為原點，當k=-2時，求△OAB的面積.

解析：第一問求證交點的個數只需要聯立直線與拋物線的方程，根據判別式的正負判斷證明.下面主要分析第二問利用上述構建的模型求三角形面積的具體過程.

當k=-2時，可得直線l的表達式為y=-2x+1.聯立y=-2x+1與拋物線y=x2-4x，可求得點A和B的坐標，分別為A（1-，2-1）、B（1+，-1-2）.采用上述面積模型構建的方式1，以x軸為圖形分割線，對△OAB進行面積割補，設AB與x軸的交點為C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC.

圖4

如圖4，過點A作x軸的垂線，垂足為點F，過點B作x軸的垂線，垂足為點E，則BE，所以·（AF+BE）.而AF+BE等于點A和點B縱坐標的差值，即AF+BE=|yA-yB|，從而完成了△OAB的面積模型的構建只需要將具體點的坐標代入即可.

例2（2018年江蘇省鹽城市中考卷第27題）如圖5①所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸交于點C.

（1）試求拋物線的表達式.

圖5

（2）如圖5②所示，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，沿著x軸進行左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于點P、Q（點P位于點Q的左側），連接PQ，在線段PQ上方有一動點D，連接DP、DQ.

（II）在直尺平移過程中，△DPQ的面積是否會取得最大值？如果會，請求出面積的最大值；如果不會，請說明理由.

解析：第一問利用待定系數法即可求得拋物線的表達式，下面主要分析第二問的面積模型求解.

對于第（I）問，雖然是求△DPQ面積最大時點D的坐標，但考慮到可以利用點D的坐標來構建△DPQ的面積模型，則依然可以利用上述模型構建方式.考慮到求點D的坐標可以采用方式2，過點D作y軸的平行線，交PQ于點E，如圖6所示，DE將△DPQ分割為△DEP和△DEQ，且兩個三角形可以視為擁有共同底PE，則S△PDQ=S△DEP+S△DEQ，根據模型可進一步表示為DE·|x-x|.則只需QP要設出點D的坐標進行參數表示即可.由于尺寬為4，則點P和點Q的橫坐標有如下關系：xQ-xP=4，則只需要表示出DE的長即可.可設點D的坐標為（m，-m2+2m+3），則點，所以DE=yD-yE=-m2+3m+.代入上式，可得，可得面積最大時，進而可得點D的坐標為

圖6

對于第（Ⅱ）問，同樣采用上一問的面積模型.S△DPQ=點P、D的坐標不確定，可分別將其設出.設點P（m，-m2+2m+3），則點Q（m+4，-m2-6m-5）.設點D（t，-t2+2t+3），則點E（t，m2+4m+3-2mt-2t），進而可得DE=-t2+2t+3-m2-4m-3+2mt+2t.代入面積模型，可得S△DPQ=-2（t-m-2）2+8≤8，顯然t=m+2時，S△DPQ有最大值8.

評析：上述兩道考題均為拋物線問題，求解過程分別采用了引文中的面積模型，從本質上講依然是對三角形面積計算公式的變形使用，所不同的是，在選取模型構建方式時存在差異，這是由于題干條件的不同造成的.如例2需要求解點D的坐標，則選取分割方式時必然要結合點D，這也是面積模型的另類解題應用.另外，在利用面積模型求解以曲線為背景的幾何面積問題時可以遵循以下策略：首先確定分割方式，然后建立一般圖形的割補模型，最后基于點的坐標參數建立完整的面積模型.實際應用時需靈活變通，因題而變，巧用模型.

四、解題思考，教學建議

1.傳達模型意識，掌握解題策略

從上述考題的求解可以看出，利用數學模型分析問題往往可以獲得良好的解題效果，模型是構建解題思路的重要工具，以其為出發點開展問題探究，不僅可以簡化思路，而且模型是對問題本質的解釋，在應用過程中可以幫助理解問題內涵，形成問題求解的基本策略.“授人以魚不如授人以漁”，在平時的教學中，教師要向學生傳達模型意識，以掌握問題的解法為考題研究的出發點.如教學面積模型時，首先需要基于面積計算公式，通過適當的變形構建面積問題的解題模型，然后結合實際問題引導學生掌握利用模型求解的具體方法，形成完善的解題思路.這樣由“數學公式、定理”出發，構建“數學解題模型”，最后“結合模型解題”的教學模式更有利于學生理解模型本質，形成深刻的策略認識.

2.滲透模型思想，提升核心素養

上述利用面積模型求解相關問題，其背后所隱含的是模型思想的應用體現.思想方法作為解決問題的指導思想和解題策略，雖然在具體解題中沒有明確指明，但是最能體現學生學科素養的靈魂所在.從思想方法層面強化學生的解題能力，不但可以顯著提高解題效率，更能提升學生的解題思維，而后者才是中學教學的意義所在.例如，上述講解的面積模型背后的模型思想，通過圖形割補的方式對面積進行轉化，從而構建出利用點的坐標求解圖形面積的思路，這個過程中涉及圖形分割、面積轉化、坐標分析等內容，是數學定理完美融于基本圖形的體現.在實際教學中，十分有必要進行模型思想的滲透，讓學生經歷模型構建的過程，充分感受思想方法指導解題的便利性，從中積累經驗，在潛移默化中獲得思想的提升.

五、寫在最后

對現今中考問題的研究可知，每道優秀的考題都不是簡單的知識點拼合，其背后必然隱含著特定的數學思想，有著一定的解題模型，遵循正確的構建策略必然可以巧妙突破考題.因此深入挖掘考題，透析結構與模型應作為考題學習的重點.雖然不同地區的考題風格存在差異，但解題模型均來自于數學教材，以教材定理、公式作為模型研究的出發點，才能真正理解模型，理解考題，提升解題能力.