數(shù)形結(jié)合思想方法在初高中過渡期的有效運(yùn)用

宮海靜

摘 要：“數(shù)形結(jié)合”這一貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)始終的解題思想方法，其本質(zhì)是“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換。對(duì)于高一學(xué)生而言，在教學(xué)中有效運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”方法不僅能幫助學(xué)生用幾何直觀來詮釋代數(shù)問題、突破思維障礙，還有利于數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，更能夠使學(xué)生樹立信心、增強(qiáng)興趣，從而實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好過渡。以高中數(shù)學(xué)人教A版必修四第一章第四節(jié)《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》為例，簡單介紹了新課程標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)形結(jié)合思想在初高中過渡期的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用

一、問題提出

對(duì)于高一數(shù)學(xué)教師而言，實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性又非常重要的工作。初中教材一般都是由與生產(chǎn)、生活相關(guān)的實(shí)際背景引入問題，讓學(xué)生通過具體觀察、形象思維，來分析、總結(jié)、歸納出簡單的數(shù)學(xué)定理、公式以及如何進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備形象思維，因此知識(shí)難度較小，易于學(xué)生所接受，而高中數(shù)學(xué)知識(shí)概念表述詳細(xì)抽象，定理表達(dá)具體嚴(yán)謹(jǐn)，思維要求邏輯性強(qiáng)，明顯提高了學(xué)生抽象思維的水平。由于學(xué)習(xí)方法和思維習(xí)慣以及認(rèn)知特點(diǎn)不同，很多高一新生在入學(xué)初期出現(xiàn)不適現(xiàn)象，甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒，進(jìn)而影響整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。如何在教學(xué)中采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，使得學(xué)生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，既完成高中數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo)又提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣是很多一線教師思考和探索的課題。

徐斌艷說：“數(shù)形結(jié)合就是使抽象思維和形象思維相互作用，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題”[1]。張同軍認(rèn)為數(shù)形結(jié)合就是“將數(shù)量關(guān)系的精確刻畫和空間形式的形象直觀密切結(jié)合”[2]。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為“數(shù)”和“形”兩大部分，數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用大致可分為兩種情形：一是助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，二是助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系。因此，“數(shù)形結(jié)合”就是人們?cè)谘芯磕承﹩栴}時(shí)，同時(shí)對(duì)其幾何和代數(shù)意義進(jìn)行分析，使“數(shù)”與“形”兩者之間能夠優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、相輔相成，達(dá)到邏輯思維和形象思維完美統(tǒng)一的一種數(shù)學(xué)思想方法[3]。

筆者認(rèn)為，在教學(xué)中合理地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想方法，有利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的過渡和銜接，幫助學(xué)生順利完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效過渡。現(xiàn)以人教A版必修四第一章《三角函數(shù)》的第4節(jié)1.4.2《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》為例，淺析新課程標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)形結(jié)合思想在初高中過渡期的簡單應(yīng)用。本節(jié)課是人教A版必修四第一章《三角函數(shù)》的第4節(jié)1.4.2《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》要求用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對(duì)稱性）、單調(diào)性和最大（小）值等性質(zhì)，能夠理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值，了解函數(shù)的奇偶性、周期性重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

二、課例展示

（一）學(xué)情分析

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.“四基”目標(biāo)

2.“核心素養(yǎng)”目標(biāo)及生長點(diǎn)確定

（三）課堂框架

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)中充分地考慮“將課堂還給學(xué)生”“實(shí)現(xiàn)教師的引領(lǐng)者角色而非主導(dǎo)者”，依托學(xué)生的思維主線來建構(gòu)課堂，形成靈活多變的課堂生成模式，關(guān)注核心素養(yǎng)目標(biāo)在教學(xué)中的實(shí)現(xiàn)性，以教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的具體方式為載體，在情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思幾個(gè)方面來體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其課堂框架流程圖，如下圖。

課堂框架流程圖

（四）課例分析

本節(jié)課基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點(diǎn)和生長點(diǎn)，在教學(xué)設(shè)計(jì)中充分考慮了高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平，充分使用數(shù)形結(jié)合的方法，從以下幾個(gè)方面突破了教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，既達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，又使得學(xué)生生成了濃厚的學(xué)習(xí)興趣及良好的學(xué)習(xí)情緒。

1.搭建認(rèn)知習(xí)慣和思維習(xí)慣的腳手架

本節(jié)課首先從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)入手，回顧了研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)——利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)。其次從生活實(shí)踐出發(fā)，引入學(xué)生熟悉的摩天輪每一個(gè)位置的運(yùn)行軌跡問題、鐘擺的擺動(dòng)問題、電磁波和地震波等問題，并提出“三角函數(shù)具有怎樣的性質(zhì)使得它在研究這些問題中發(fā)揮作用？”的問題。大量的圖片、熟悉的場(chǎng)景既符合初中生的認(rèn)知習(xí)慣和思維習(xí)慣，又有利于激發(fā)他們的學(xué)習(xí)欲望，為學(xué)生理解概念與提出問題創(chuàng)設(shè)情境。

本節(jié)課還回顧了正弦函數(shù)圖像的生成過程，通過動(dòng)畫演示，讓學(xué)生體會(huì)周而復(fù)始的變化過程既為后面突破難點(diǎn)——周期性的研究埋下伏筆，又為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路。

本節(jié)課在研究函數(shù)的每一個(gè)性質(zhì)時(shí)均通過PPT演示的方式來呈現(xiàn)，既為學(xué)生解決問題提供直觀，又幫助學(xué)生把握本質(zhì)，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。

2.創(chuàng)設(shè)問題情境，提升思維品質(zhì)

本節(jié)課一方面通過數(shù)形結(jié)合的方法搭建了認(rèn)知習(xí)慣和思維習(xí)慣的腳手架，另一方面根據(jù)圖形特點(diǎn)適時(shí)創(chuàng)設(shè)問題情景，通過問題串的形式層層深入，抽象概括出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。例如對(duì)函數(shù)周期性的探究，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)值呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律時(shí)，教師不忘追問呈現(xiàn)這種變化規(guī)律的根本原因是什么？進(jìn)而使得學(xué)生的思維水平由感性認(rèn)識(shí)上升到理性探索，使得學(xué)生對(duì)“形”的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變到對(duì)“數(shù)”的挖掘;當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到其根本原因是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等（誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）=sinx）時(shí)教師進(jìn)一步追問，如果令f（x）=sinx那么這個(gè)關(guān)系式可以用f（x）如何改寫？通過不斷地追問、不斷抽象概括得出周期函數(shù)的概念。這種問題情景的創(chuàng)設(shè)不僅達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，更實(shí)現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，為初高中思維過渡打下基礎(chǔ)。

3.整體把握教學(xué)內(nèi)容，還課堂于學(xué)生

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體，本節(jié)課通過教師的引導(dǎo)，采用合作探究、小組匯報(bào)、集體討論的方式對(duì)正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探討，教學(xué)中依據(jù)學(xué)生探究結(jié)果靈活設(shè)計(jì)課堂環(huán)節(jié)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和合作交流意識(shí)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生類比正弦函數(shù)性質(zhì)的研究過程獲得余弦函數(shù)的性質(zhì)，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣。

三、結(jié)語

實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效銜接是高一教學(xué)過程中大家關(guān)注和亟待解決的問題，當(dāng)然其解決方式和方法也是多種多樣的。如果在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，教師能夠適時(shí)采用數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法，對(duì)于邏輯性和抽象性思維并不成熟的高一學(xué)生而言，無疑是一種很好的方法，當(dāng)然更重要的是通過數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，學(xué)生的形象思維與理性思維的碰撞一定能生出“愛數(shù)學(xué)”的火花，樹立“學(xué)數(shù)學(xué)”的信心和決心，這無疑為“人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”提供更大的可能。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐斌艷.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論[M].杭州：浙江教育出版社，2003.

[2]張同君.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2002.

[3]武俊英.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究[D].西安：陜西師范大學(xué)，2014.

注：本文系吉林省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題（GH150823）資助項(xiàng)目。

責(zé)任編輯 郝二軍