圍繞核心概念 突出通性通法

童衛華

[摘? 要] 數學好題要有利于學習，幫助學生不僅掌握知識的運用，又洞悉知識的產生;有利于溝通知識之間的聯系，完成知識重組，完善知識體系;有利于優化思維品質，提升理解層次，優化知識結構.

[關鍵詞] 通性通法;解題方法;試題賞析;核心概念

試題呈現

（2018年杭州卷第22題）設二次函數y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常數，a≠0）.

（1）判斷該二次函數圖像與x軸交點的個數，說明理由.

（2）若該二次函數的圖像經過A（-1， 4），B（0，-1），C（1，1）三個點中的其中兩個點，求該二次函數的表達式.

（3）若a+b<0，點P（2，m）（m>0）在該二次函數圖像上，求證：a>0.

解法賞析

1. 關于第（1）問的解題方法

解法1：公式法（常規方法）. 當y=0時，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），因為Δ=b2-4a[-（a+b）]=（b+2a）2，所以當b+2a=0時，即Δ=0，函數圖像與x軸只有一個交點;當b+2a≠0時，即Δ>0，函數圖像與x軸有兩個不同的交點.

解法2：因式分解法（十字相乘法）. 當y=0時，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），將方程利用十字相乘法分解得（x-1）（ax+a+b）=0，所以x=1，x=-. 當b=-2a時，x=1，此時x=x=1，函數圖像與x軸只有一個交點;當b≠-2a時，x≠1，此時x≠x，函數圖像與x軸有兩個不同的交點.

解法3：因式分解法（分組分解法）. 當y=0時，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），將方程左邊拆解，分組ax2+bx-（a+b）=（ax2-a）+（bx-b）=（x-1）（ax+a+b），所以（x-1）·（ax+a+b）=0，方程的解為x=1，x=-. 接下來同解法2.

解法4：觀察函數解析式的系數特點，常數項是-（a+b），與二次項系數a，一次項系數b的和恰好互為相反數，所以猜測函數圖像經過某一定點，當把x=1代入函數解析式時，發現y=a+b-（a+b）=0，即不論a，b取何值，函數都經過定點E（1，0）. 然后根據二次函數圖像的對稱性，當對稱軸直線x=-≠1，即b+2a≠0時，函數圖像與x軸有兩個不同的交點;當對稱軸直線x=-=1，即b+2a=0時，函數圖像與x軸只有一個交點.

2. 關于第（2）問的解題方法

解法1：由（1）問的解法2，3，4可知，函數圖像經過定點E（1，0），所以函數圖像不可能經過點C（1，1），因此函數圖像經過A（-1，4），B（0，-1）兩點，從而a-b-（a+b）=4，

-（a+b）=-1， 解方程組得a=3，

b=-2， 所以函數解析式為y=3x2-2x-1.

解法2：當學生沒有發現函數圖像經過定點（1，0），就不能直接排除點C（1，1），這樣學生只能分類討論，分別把點A與點B、點A與點C、點B與點C這三組點分別代入二次函數求解析式. 在解方程組時，發現a+b-a-b=1即0=1不合理，檢查后發現原因， C點在函數圖像上這個假設不成立，應舍去. 所以只有將點A（1，4）和B（0，-1）代入時能求解，接下來同解法1.

3. 關于第（3）問的解題方法

點P（2，m）（m>0）在圖像上，所以m=a×22+b×2-（a+b）=3a+b>0①，結合條件a+b<0②，有以下解法.

解法1：①-②得（3a+b）-（a+b）>0，所以a>0.

解法2：利用字母b“中轉”，分別由①②可得3a>-b，a<-b，利用不等式傳遞性可得3a>-b>a，可得2a>0，所以a>0.

解法3：利用字母m“換元”，由①得b=m-3a③，把③代入②可得a+（m-3a）<0，從而2a>m>0，所以a>0.

解法4：結合函數圖像，利用函數單調性判斷. 由第（1）小題的解法2，3，4可知函數圖像經過定點E（1，0），點P（2，m）（m>0），將條件a+b<0，轉化為圖像與縱軸的交點D（0，-a-b），這三個點分別在x軸的正半軸上，第一象限，y軸的正半軸上，大致位置如圖1所示.

假設當a<0時，拋物線經過D（0，-a-b），E（1，0）兩點時，如圖2，圖像不經過P點，因為根據二次函數的性質，當自變量x增大時，函數值變小，即當x=2，函數值為負數，所以不可能經過P點. 同理，當拋物線經過E（1，0），P（2，m）兩點時，如圖3，圖像不經過D點. 當拋物線經過D（0，-a-b），P（2，m）兩點時，如圖4，圖像不經過定點E，綜上所述，當a<0時，拋物線不可能同時經過這三點，以退為進，排除可能性. 而當a>0時，拋物線可以同時經過這三點，如圖5，所以a>0成立.

個性解讀

1. 聚焦重點內容，核心素養的考查

試題設計聚焦初中數學的重點內容“二次函數”，考查了函數研究的基本方面：求解函數解析式，函數圖像，涉及圖像與坐標軸的交點（圖像上的特殊點），圖像的位置與函數解析式中系數的關系，函數的性質. 在問題解決的過程中，考查了運算能力，推理能力，模型思想. 其中試題第（1）問側重運算素養的考查，具體解決方法為兩種方案，方案一：定性分析，計算Δ，然后比較Δ與0的大小關系. 方案二：定量刻畫，直接求解方程，不僅回答了交點的個數，還解決交點在哪里. 試題的第（2）問，在考查運算素養的同時，蘊含了邏輯推理能力的考查，C（1，1）這個點不在函數圖像上，要求學生對“不合理的等式”能做出正確的判斷. 第（3）問側重邏輯推理能力的考查，在條件“a+b<0”和“點P（2，m）（m>0）在該二次函數圖像上”的靈活處理中，嘗試用不同的方法表述論證的過程，掌握數學模型進行數學推理.

2. 突出通性通法，思維層次的表達

試題中每一小問的解決反映了數學問題解決的通性通法，如第（1）問求二次函數與x軸的交點個數，只需轉化成求一元二次方程解的個數來解決;第（2）題求二次函數的解析式中待定系數a，b，只需將圖像上的兩個已知點代入列方程組求解;第（3）題要求證“a>0”，可以借助不等式求解. 在具體的解答過程中，解法的多樣性、靈活性和創造性適合不同層次、不同思維品質的學生需求. 如第（1）小題的解法2、解法3、解法4就體現了創新性，利用系數特點，結合函數的對稱性，開創性地解決了問題，體現了創新意識. 第（2）題中的解法1和解法2實際上是同一種方法，但用解法1更能體現學生的整體意識. 第（3）題中的解法1、解法2、解法3都用到了不等式的知識，但是解法1用到了“a+b<0”這個整體，體現整體思想;解法2利用“b”中轉，運用不等式的傳遞性，得到3a>-b>a;解法3利用“m”換元，結合“m>0”這個隱含條件，得到了2a>m>0，使不同學生的不同思維方式得以展示，不同的數學思想（整體思想、換元思想、類比思想）得以體現.

3. 關注問題結構，整體思想的把握

試題中有三小問，表面上看第（1）問，函數圖像與x軸的交點個數，第（2）問，求函數解析式，第（3）問，證明a>0. 這三小問，分屬于函數研究的三個方面，每個方面都對應著各自的通法. 但是這三個方面都是函數圖像的一個方面，是函數圖像的一個局部，因此我們可以將這三個問題當成一個整體，嘗試利用圖像法來解決問題. 有了這個想法后，再審視題干，二次函數y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常數，a≠0），只能從系數特點出發，發現它的不變性：過定點E（1，0）. 所以在解決本題的三個小問時都可以從這個隱含條件出發，于是第（1）題就有了解法4：利用函數經過定點，結合函數圖像的對稱性. 在第（2）題的解題過程中，既然發現過定點（1，0），就排除過點（1，1），直接用解法1. 在第（3）題的解題過程中，因為發現了過定點（1，0）這個隱含條件，結合題目中的兩個條件：經過點P（2，m）（m>0）和a+b<0，就可以利用圖像法，數形結合，直觀地解決問題. 使學生深深體會到“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”以及“數形結合真奇妙”.

教學啟示

1. 課堂教學時要注重數學素養的落實

初中數學素養可以理解成由以下“十個核心概念”組成：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識.

在課堂教學時不僅要加強常規形代數式的化簡、變形教學，使同學們掌握計算原理，同時更應加強關于x的代數式的化簡、變形，如將代數式ax2+bx-（a+b）因式分解. 關于x的方程的求解，如ax2+bx-（a+b）=0（a≠0）（方程的解是一個代數式），字母x可以是一個數，如x=1，可以是整式，如x=a，也可以是代數式，如x=-，x=能促使學生較深刻地理解代數式，理解方程的解，實現從數字到字母，從算術到代數，從具體到抽象的跨越，讓不同的學生在數學上得到不同的發展.

2. 習題講解時要注重解題思路的提煉

習題的講解不僅要解決問題，更應關注解法的由來. 你是怎么想到的？除了這種想法外還有別的想法嗎？這些想法的區別和聯系又是什么？能運用到別的問題中嗎？關注習題中各小問之間的內在邏輯關系，它們之間的區別和聯系在哪里？如文中的第（2）問與第（3）問，第（2）問解決的是方程求解問題，它通常的解題思路是什么？是消元，變二元為一元. 依據是什么？是等式的性質. 在解題時，通常還要用到整體思想，那么根據此想法，結合第（2）問分析第（3）問，我們會發現第（3）問的解法就會顯得“順理成章”，解二元一次方程的思路、解法、思想方法，就會順勢遷移到解二元一次不等式組上來.

3. 單元復習時要注重整體觀念的把握

數學素養是通過單元教學來落實的，單元的復習教學對數學基礎知識的夯實、解題方法的提煉、數學思想的體會起著重大作用. 因此在復習時，要引導學生從整體出發，分析該單元的核心內容和核心方法，以形成知識的網絡化、結構化，防止知識的碎片化.

如“二次函數”這一章，我們更應把函數的圖像看成一個載體，利用這個載體將二次函數的核心內容整合在一起. 本題中的（3）小問，既可以單獨利用通法求解，也可以利用挖掘出的共性，利用圖像法“一解到底”. 用一題多解的方式，從不同的角度復習相關知識，注重知識間的聯系與區別，方法的類比和遷移，從多角度比較解題方法，能提升學生的整體觀念，并在新情境下得到新的體驗，學到新的解題方法，形成新的知識結構.