變常態之法 收出奇之效

王炎萍 錢科英

【摘要】小學生在理解知識和解決問題時，往往習慣于注重局部而缺乏整體思考，從而影響了學生思維的廣度和深度，這就需要教師在原有知識的基礎上，突破定式思維，適當改變，及時引導，幫助學生感悟和接受整體思想，從而達到觸類旁通、舉一反三的功效。在尊重教材的基礎上，從改變習題條件、改變教學定式、改變思維角度出發，滲透整體分析意識，內化策略思想方法，提升宏觀理解能力，以期學生獲得最大發展。

【關鍵詞】思維定式 數學思想 整體把握 課堂轉變

一、改變習題條件，滲透整體分析意識

從問題的整體出發，克服思維定式，不把注意力僅僅停留在細枝末節上，而是把某些圖形或式子看成一個整體，進行有目的、有意識的整體處理。

練習題：如圖，大正方形的邊長是10厘米，求圓的面積。

雖然班級很少有人做錯，但是在教學時，筆者稍稍做了改變：

（1）大正方形的邊長是10厘米，求圓里小正方形的面積。

（2）大正方形的面積是32平方厘米，求這個圓的面積。

第一個問題學生通過連接小正方形的四個端點，發現小正方形的面積等于大正方形面積的一半，讓學生初步感受整體思考問題的價值。在解決第二個問題時學生有點束手無策，那是因為長期求圓的面積時，習慣要先知道半徑才能算，這時引導學生如何用含有半徑的式子表示圖中小正方形的面積，發現可以用r×r表示，得到了r×r=8平方厘米，這樣圓的面積S=π×8=25.12平方厘米。引導學生反思：已知半徑只是求圓面積的一種情況，運用整體思想，圓的面積是以半徑為邊長的正方形面積的π倍。

同樣，在教學“已知棱長為6厘米的正方體，把它削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米”時，筆者將其條件改編形成例題：“正方體的體積是360立方厘米，把它削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米？”圓錐的底面直徑和高正好是正方體的棱長，但棱長無法求得。那么，圓錐的體積與正方體的體積有什么關系呢？有了上一題的活動經驗，很多學生發現，如果正方體的棱長是a，那么它的體積就是a3，而圓錐的體積是 [1] [3]×π×[a] [2]×[a] [2]×a=[1] [12]πa3。因此，圓錐的體積=[1] [12]×3.14×360=94.2立方厘米。

通過改變例題條件中的一個數據，打破學生原來思維分析的定式，讓學生能夠體會整體分析的優勢，形成了舉一反三的思維模式，同時，多樣化方法的分析也讓課堂練習豐盈厚實起來，更好地體現習題教學的價值和課堂效益的提升。這一切都需要教師根據學生的實際情況課前精心構思，課上精彩演繹。

二、改變教學定式，內化策略思想方法

小學數學教材體系貫穿著兩條線索：一條數學知識（這是明線），一條是數學思想方法（這是暗線）。由于教材呈現形式的局限，往往難以明確地展現內在的思想和方法，所以教師要深入分析教材，明確概念，把握例題的本質是什么，從怎樣的材料出發，經過怎樣的過程概括出來，最終要形成怎樣的數學結構，領悟怎樣的數學思想方法。

如：“4支球隊，每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？”因為剛剛學過列舉策略，大部分學生通過列表或畫圖給出的列式是“3+2+1”，這時有一個學生舉手發言，給出“1+2+3”，看上去一樣，但我還是想知道他的想法，于是有了下面的教學片段：

生：我先想兩支球隊，比賽一場，三支球隊就是比賽3場，也就是“1+2”，這樣四支球隊比賽6場也就是“1+2+3”。

師：是的，先研究簡單的情況，發現規律后就能解決復雜的問題。

師：那么和列舉的方法有什么不同呢？

生：列舉時首先要確定第一個數是幾。

師：比如5支球隊？

生：首先是第一支球隊和其他四支球隊各比賽一場就是4場，然后分別是3場、2場、1場，最后結果就是4+3+2+1。

師：那找規律時要注意什么呢？

生：列式的最后一個數字比足球隊總數少1。

師：看來，你們已經掌握這兩種方法的精髓，誰能說說“50支球隊”應該怎樣列式？

生：列舉法：49+48+47+…+1，找規律：1+2+3+…+49。

師：這兩種方法除了適用“足球比賽”這類問題，還能解決哪些問題呢？

生1：比如平面上有10個點，任意3個點不在一條直線上，過其中兩點畫一條直線，最多可以畫多少條直線。

生2：班上50個人，每兩個人握一次手，一共要以握多少次？

生3：4個人，每兩個人相互寄一張賀卡，一共要寄多少張？

生4：不對，“寄賀卡”是在原來“比賽”或“握手”的基礎上乘2，也就是（3+2+1）×2=12（張）。

生5：我覺得不要那么麻煩，寄賀卡時每個人寄3張，共4個人也就是3×4=12（張）。

師：你們說得真好，“寄賀卡”的問題可以轉化成“握手”問題然后乘2，當然也可以整體考慮每個人寄了幾張，有幾個人，求一共寄多少張就是用乘法。還有想表達想法的嗎？

生：“握手”的問題同樣也可以轉化成“寄賀卡”的問題再除以2。

師：你有什么想法嗎？

生：我可以把剛才50支球隊“比賽”的問題看成是“寄賀卡”，每個人寄49張，一共50個人，也就是49×50，因為它不是寄賀卡的問題，有重復，最后還要除以2，最后的結果就是49×50÷2=1225（場）。（全班鼓掌）

師：看來，我們從簡單的問題入手，發現規律后可以去解決復雜的問題，這是一種重要的數學思想方法。

數學教學不應只是結果的教學，更應注重過程的教學，以學生的已有經驗為基礎，善于捕捉課堂中別樣的聲音，探尋學生這些聲音中的深層含義和思維方式。關注教學設計之外的課堂即時思考，并將之放大、挖深，與常規方法深入比較，結合具體內容讓學生在數學活動中“經歷過程”，運用策略的同時感悟數學思想。

三、改變思維角度，提升宏觀理解能力

教學“復習平面圖形的周長和公式”時，學生雖對平面圖形的面積計算公式記得很牢靠，公式的推導也大致能掌握，這樣的復習課若是將新課重新教學一遍，教師教得無味，學生學得也枯燥。這時不妨換個角度，著眼整個數學知識領域，引入“軌跡”和“積分”思想，延伸原有知識的深度和廣度，用運動的眼光重新“審視”平面圖形的面積計算公式，提升思維品質，整體把握數學本質。

1.引導學生感悟長方形的形成過程

師生談話：剛剛，我們用靜止的眼光看平面圖形，如果用運動的眼光看一個長方形，它是由一條運動的線段，從AB沿垂直于這條線段的方向平移到CD，留下的軌跡。在運動過程中可以看出，這個長方形的大小（面積）由兩個因素決定：第一是運動線段的長度也就是長方形的長，第二是線段運動的距離也就是長方形的寬，兩者的乘積就是長方形的面積：S=ab。

2.小組討論研究平行四邊形的形成過程

討論發現，平行四邊形運動的距離不是另一邊的長度，而是平移前后兩條線段間的垂直距離也就是平行四邊形的高，所以它的面積S=ah。

3.全班交流梯形、三角形的形成過程

探究發現，與長方形和平行四邊形不同的是，形成梯形的運動線段其長度在連續、均勻地變化（均勻變化指的是線段上升距離一樣時線段變化的長度也相同，類似于等差數列的變化規律）。這時運動線段的長度可以用變化的平均值[a+b] [2]代替。這樣就得到了梯形的面積計算公式S=[a+b] [2]×h=[1] [2]（a+b）h。

三角形則是線段繼續運動，且長度變為0的特殊情況，這樣三角形的面積S=[a+0] [2]×h=[1] [2]ah。

4.教師引導感悟圓的形成過程

細心感悟，圓是由一條曲線也就是圓周線，由外向里垂直運動的過程中，其長度縮短為一個點O（圓心）時停止了運動。因為圓周長C=2πr，曲線的長度均勻地減少，所以平均值可以用（2πr+0）÷2來代替，這樣圓的面積S=[C+0] [2]×r=πr2。在這個過程中，其實我們還能得到環形的面積公式S=[C1+C2] [2]×（r1-r2）。

換個角度，圓還可以看作是由半徑旋轉一周得到的，運動線段的長度r從頭到尾沒有變化，而半徑上每一個點的垂直運動距離發生著變化，且是均勻地減少，如圓心位置的運動距離就是0，端點處的運動距離就是2πr，所以平均值用（2πr+0）÷2來代替，這樣圓的面積S=r×[C+0] [2]=πr2。

這樣平面圖形的面積計算公式就可以用S=a×b（a表示運動線段的平均值，b表示運動中垂直距離的平均值）。

從運動角度了解“線動成面”，整體把握平面圖形的形成及面積的推導過程，為高學段的學習奠定了思想基礎。以上四個過程的學習，教學內容和教學方法高度整合，改變了學生的思維角度，讓學生嘗試著從現有的割裂的知識點跳出來，站在更高的層次來反觀問題，提升了他們從宏觀上來分析一類問題的能力，這對于數學的更高層次的學習和數學素養的提升將起到影響深遠的作用。

上述三點充分說明，教師要把眼光從長期“定式”的教學模式中抽離出來，盡可能地將知識技能、數學思考、問題解決、情感態度進行有機結合，發掘知識的“生長點”和“延伸點”，通過長期的誘與思、導與學，發現新的迷人的通道或風景，讓學生真正喜歡數學，肯鉆研數學，發現數學真的很好玩，最終達到最佳的課堂學習效果。