圓錐曲線教學的幾點策略

卜英俊

摘 要：以高中數學圓錐曲線教學內容為研究對象，結合圓錐曲線的特點，就目前高中生解圓錐曲線所面臨的問題，提出了幾點教學建議，旨在提高高中數學教學水平與教學質量。

關鍵詞：圓錐曲線；問題情境；自主探究；運算能力

為了了解學生對圓錐曲線的掌握情況，我分別從本校實驗班及普通班隨機挑選15名學生作為實驗對象，發現這兩類學生都存在兩個問題：（1）不會將幾何問題代數化，造成解題毫無頭緒；（2）計算不出結果。如何才能改變學生的這種狀況呢？下面結合我的教學實踐對高中圓錐曲線的教學提出幾點策略。

一、聯系生活實際，巧設問題情境

數學來源于生活，又服務于生活，與數學相關的問題取之不盡，如果把數學知識放在一個生動、活潑、愉悅的情境中去，利用生活的素材，巧妙設疑，更容易激發學生的學習興趣和求知欲望。例如在學習橢圓的定義時，讓學生舉出生活中有關橢圓圖形的例子，然后我拿出裝有水的圓柱形的杯子，隨著不同的放置提問學生水面的形狀是什么，最后通過多媒體展示一個圓錐，通過動畫提問平行于底面和不平行于底面的平面去截圓錐所得的截面是什么圖形？問題一出，立即引起學生的高度關注。同時，我們也對某些內容有意制造懸念，或者提出一些必須學習新知識才能解決的問題，以刺激學生的好奇心，激發學生的學習興趣，使學生在自主探索的過程中掌握數學知識。例如，“雙曲線標準方程”這一節，可以這樣創設問題情境：我們知道與兩個定點的距離之和為非零常數（大于兩定點間的距離）的點的軌跡是橢圓。那么，請同學們想一想，與兩個定點的距離之差為非零常數的點的軌跡是什么？通過設疑，讓學生思考、猜想，然后探究結果，進而得到新的知識。

二、引導探究，發展學生的數學素養

發展學生的數學素養是數學教學的主要目標之一。教師通過在課堂上對學生施以良性刺激而逐步激發學生的思維興奮度，掀起“頭腦風暴”，產生強烈的求知沖動。《普通高中數學課程標準》指出，數學學習不是被動地接受和模仿，應主張學生自己動手操作、合作學習的模式，培養其創新意識。下面是我上“用定義法求動點軌跡”的教學片段：利用多媒體演示例1：“已知圓M：x2+y2+6x+8=0與圓N：x2+y2-6x+8=0，動圓P與圓M外切，與圓N內切，求動圓的圓心P的軌跡方程”。經過一段時間的思考，大家都得到相同的結論：雙曲線的一支所對應的方程。此時，學生A提出問題：“動圓P都與兩定圓相外切或相內切，那軌跡是怎樣？”教室一片嘩然，然后大家積極地思考，個別同學說軌跡是雙曲線的一支，更多的同學得出的軌跡是MN的垂直平分線，最后由學生B在黑板上證明后者是正確的。這時學生C舉手發言：“若兩定圓半徑不相等且相離又怎樣？”這樣我在黑板上演示例2：“已知圓M：x2+y2+6x+8=0與圓N：x2+y2-6x=0，動圓P分別滿足下列條件，求圓心P的軌跡方程：（1）動圓P與圓M外切，與圓N內切；（2）動圓P與圓M內切，與圓N外切；（3）動圓P都與兩定圓相外切；（4）動圓P都與兩定圓相內切。”經過思考研究，大家又一致得出結論：都是雙曲線的軌跡，但各自的方程不同而已。學生D舉手要求在黑板上更改題目：“已知圓M：x2+y2+6x+8=0與圓N：x2+y2-6x=55，動圓P與圓M、圓N都相切，求動圓的圓心P的軌跡方程。”我順水推舟，提出問題：“圓N方程改變，有何不同？”問題一出，很多同學就確定兩定圓的位置是內含關系，因此很快求出軌跡是橢圓。在這個例子中，學生的質疑得到了教師的重視，通過引導學生自主探究，培養了學生的探究與合作的能力。

三、精心設計，強化通式通法

高中數學每章內容都有相應的基本題型和通俗解法，圓錐曲線的內容也一樣。在平常的教學活動中，教師應精心設計好典型的例題及練習，把常見的解題方法介紹給學生。我把圓錐曲線的題型分為五類：求值問題、求參數范圍或求最值問題、定值問題、定點問題、探索性問題，其中求值問題包含求參數、直線方程、圓錐曲線方程、式子、弦長、多邊形的面積等。這些題型都有基本的解題方法，例如求最值問題就有數形結合法、不等式法、函數法；證明定點問題要揭示動曲線所對應的方程恒成立所具備的條件，或者先通過特殊找到定點，然后再證明此點在動曲線上；求解或證明定值問題意味從變到定就伴隨著消參過程，體現出異化同的解題思想；求軌跡方程有直接法、定義法、待定系數法、代入法、參數法、交軌法等。因此，在有限的課堂時間里引導學生掌握基本題型的通俗解法，才能讓學生有信心面對難題，把握解決難題的方向。

四、學會放手，提高綜合運算能力

對學生來說，圓錐曲線的運算復雜，難以逾越。如何才能提高學生的綜合計算能力，我認為：（1）教師的知識結構要全面。在解題時，教師不要看參考答案，要獨立思考，只有這樣強迫性的學習才能更快豐富自己的知識，對圓錐曲線問題的解決才更有體會。（2）板書要詳細。在課堂上教師要把一些基本的運算過程寫出來，這點不能用多媒體代替，在黑板上通過推導的過程引導學生學會觀察思考數的特點、式子的特征、參數之間的關系、條件與目標之間的關系等。（3）要放手讓學生練習，并引導他們進行總結。學生不斷嘗試錯誤，才能達到知行合一。在實際的教學中，還要引導學生總結解題方法，同時，還可以讓學生自己編題，把學生所學過的知識點融入題目中，自己解決，從而達到綜合訓練的目的。例如學完橢圓的對稱問題后，可以讓學生進一步想象雙曲線和拋物線的對稱問題的題目和解決方法，布置學生改編一些題目，從而讓知識得到升華。（4）教師和每一位學生都應當有記錄本。教師平常解題時通過記錄本分類整理，把每一類題的解題方法、心得或碰到的困難都記錄下來，這樣既可以提升自己的專業水平，也可以為今后的教學提供經驗。同時教師應在批改作業時，將學生的運算錯誤分類及時記錄下來，從中發現共性的錯誤并找出典型的錯例，然后有針對性地設計一定數量的練習，有目的地進行“治療”。學生也應該準備記錄本，把作業、練習題、試卷中的運算錯誤或解題的技巧方法等簡要及時地記錄下來，并認真地歸類整理，從審題、題目歸類、重現知識和找出答案四個環節來分析，發現問題并提醒自己下次碰到類似的情況應注意些什么，只有不斷地積累消化，才能不斷地進步。（5）教學過程中多與學生交流，誘導學生克服畏難心理。圓錐曲線的運算比較難，根據調查顯示學生普遍對這章內容的運算存在恐懼心理，容易產生挫折感。因此教師應做好心理輔導，多站在學生的角度看問題，激勵學生敢于向困難挑戰，并與學生一同感受失敗，一同感受成功，一同感受學習的過程。

五、利用信息技術，化抽象為具體

在圓錐曲線中有很多的圖象，根據教學需要既可實現靜態演示，也可以實現動態演示。例如在“圓錐曲線與方程”的教學中運用幾何畫板教學，把幾何圖形生動地展現在學生面前，使學生直觀地看到點的軌跡的變化過程，能形象地培養學生利用數形結合來解決圓錐曲線問題的能力。幾何畫板強大的動態教學演示功能，把抽象的數學概念、知識，形象地呈現在學生的面前，使學生充分參與教學過程，真正成為學習的主人。課堂上適當地展示多媒體有利于提高學生學習數學的興趣，有利于增強學生的空間想象力，有利于提高課堂效率，營造良好的學習氛圍。

以上是我根據實際的教學實踐對圓錐曲線這章內容的教學提出的幾點建議。總之，作為一線教師只有積極投入新課程的改革，不斷地探索，鉆研新理念的內涵，才能更好地挑戰新教材的實施。

參考文獻：

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[2]郭蕤.素質教育背景下高中數學創新意識的培養[J].教育教學論壇，2011（25）.

編輯 謝尾合