整合數學：讓兒童暢飲數學的源頭活水

湯衛紅

【摘 要】“整合數學”旨在進一步體現數學的內在統一性，打通數學與現實世界的聯系，探索多學科的融合。倡導通過生活世界與數學世界的融通與互化、數學教材中單元內容的整體優化、數學與科學基于核心概念、工具與方法的有機整合、超越數學的綜合實踐應用等途徑，讓兒童暢飲數學的源頭活水，以促進其核心素養的整體發展。

【關鍵詞】整合數學;統一;聯系;融合;核心素養

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）17-0046-04

教師首先是教育者，其次才是學科教師。作為數學教師，我們當然要教人學數學，但更要以數學育人，跳出數學看學生和學習。教育部《關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》中指出：“進一步提升數學、科學、技術等課程的育人價值。同時加強學科間的相互配合，發揮綜合育人功能，不斷提高學生綜合運用知識解決實際問題的能力。”《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也指出：“要通過義務教育階段的數學學習，使學生體會到數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系。”學校在確保國家基礎課程實施質量的同時，注重學科內、學科間及超學科的整合，既是落實國家立德樹人根本任務、執行課程標準的需要，也是實現課程整體育人價值的必然路徑。

一、“整合數學”的內涵和價值

“整合數學”是基于課程整體育人，通過統整、重組、優化、開發、融合適合學生的課程資源，以探究數量關系和空間形式為核心，以問題解決為載體，以滲透、融合、消弭等為整合方式，構建具有整體性、序列性、系統性、關聯性的課程群，以提升學生的思維能力、創新意識、實踐能力等核心素養為最終追求的課程實踐模式。“整合數學”的提出，并不意味著要“去學科化”，也不是要用整體性思維去完全取代學科性思維，而是要讓我們更加清楚地認識和處理好整體教育與學科教育之間的辯證關系。數學要發揮育人價值，并不意味著只突出強調教育的視角，而忽視從學科分類的角度去更為深入地分析思考。恰恰相反，當我們從整體、系統的角度來考察數學教育時，更應該思考并實現數學對落實整體性教育目標的獨特價值。

1.“整合”是為了更好地體現數學的內在統一性。就數學本身而言，盡管存在著多個不同的分支，而且隨著研究的深入，這種多元化的趨勢表現出不斷加強的跡象，但正如法國數學家讓·迪多內在《論數學的進展》一文中認為的那樣：“數學中始終存在著強大的統一的趨勢。”我們不應簡單地對數學不同分支上的內容進行形式上的組合，而應對小學數學的相關內容進行深入的分析、研究和適當的抽象，揭示相關對象事實上具有共同的本質。

2.“整合”是為了更好地打通數學與現實世界的聯系。聯系的觀點在數學領域有著特殊的重要性。而事實上，數學教育在加強與外部聯系方面仍然有很長的路要走。“整合數學”既強調生活經驗的合理引入，又重視前數學生活的合理建構;既強調突出內部多元表征方法的內在統一，又強調模型的應用、延伸和拓展，以期讓經驗的世界、數學的世界、現實的世界之間形成貫通的聯系。

3.“整合”是為了更好地探索數學與科學、技術、工程等的關聯與融合。“整合數學”在強調全面落實國家基礎課程的同時，積極地拓展開去，探索與實施具有整合性的課程形態，將科學、技術、工程、人文等有目的、有方法地融合起來，利用學科知識來支持相關聯的學習經驗，在不同領域運用其他領域的知識與技能實現融會貫通。如此，數學就有了更豐富的背景和資源，也有利于它在更廣闊的天地發揮作用。同時，其他學科的一體化融入，更有利于學生用普遍聯系的思維方式認識、理解現實世界，也更能用多元的、貫通的視角解釋、解決現實世界中的問題。

二、“整合數學”的實施路徑

實施“整合數學”，一方面，要回到數學學習應有的聯系的、變化的、融通的樣態;另一方面，要拓展、應用、深化多元背景下多種課程形態的關聯式學習，這也正符合動態的、辯證的、模式論的數學觀。

1.生活世界與數學世界的融通與互化。

要實現“用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界”，首先要將數學根植于兒童的生活經驗，并使其成為兒童經驗生長的基礎。當然，這種生長應當在教師的引導下實現“數學化”生長。對兒童來說，數學之于生活才有活力，數學之于經驗才有生長力。把生活融入兒童的數學世界是“整合數學”要夯實的基礎路徑。

以北師大版四上“路程、時間與速度”的教學為例，筆者首先呈現班上兩位學生真實的上學時間和路程的數據和地圖路線，讓學生體會路程與距離的區別，并引導他們提問：誰走得更快？接著由生活視角轉向數學視角：怎樣理解誰走得更快？從而得出速度需要用兩種量關聯刻畫的本質屬性。然后通過線段圖的抽象在數學化的道路上邁進，自然引出v=s÷t的基本模型。通過比較劉翔跨欄速度和蝸牛爬行速度，了解速度、時間、路程之間的數量關系。接著，通過比較不同年份火車的運行速度體會社會的發展。然后，以公路上如何測定汽車是否超速、為什么“電閃雷鳴”是先看到閃電后聽到雷聲等問題的討論貫通生活問題、科學問題，讓學生對速度有更為清晰的認識。課末，則把“速度×時間=路程”這樣的基本數量關系與“單價×數量=總價”“每天修路米數×天數=總米數”等概括起來，生成一種乘法模型：每份數×份數=總數。這也是“整合數學”突出學科本質、體現數學內在統一性的價值所在。

2.數學教材中單元內容的整體優化。

“整合數學”強調要突破數學教材中單元線性推進的教學思路，主張整體設計，板塊式、結構化推進，從而讓學生先概知全貌再逐步深化，關聯式探究。例如：教學北師大版二上“測量”單元，我們主張在測量中學習測量，用真實的實踐活動貫穿單元學習，讓測量因需要而生，讓度量單位因測量需要而被“創造”。引導學生在積累活動經驗的過程中完成長度單位“厘米”“米”的構建，理解標準參照物，會根據需要選擇適切的單位。本單元的實施流程如圖1所示。

3.數學與科學基于核心概念、工具與方法等的有機整合。

很多版本的小學數學教材與科學教材都有交集。科學為數學提供了極有價值的背景材料、問題情境、研究素材等，數學又為科學提供了語言和工具。但兩者在分科教學中有時會存在不同步的情形，導致科學教師要提前教學數學相關知識和方法，數學教師要提前安排相關科學觀察、實驗或補充相關科學知識和背景材料。教師應不斷尋找數學與科學育人的契合點，使之發揮“1+1>2”的效應。

教科版五下科學教材設有“生物與環境”這一單元，旨在讓學生建立食物鏈、食物網、生態系統等概念，并討論如何維護生態平衡，增強保護地球環境意識。而在北師大版五下數學教材中，有關于動物種群動態變化的折線統計圖的觀察和思考，旨在讓學生體會數據描述與分析對科學研究的價值。顯然，這兩者的一體化設計對學生來說更具價值性、周期性、挑戰性和融合性。我們將兩個單元同步教學，并把兩個學科的最后一節內容融合，開發出以“山貓（捕食者）—雪足兔（被捕食者）”問題為主題的數科整合課，將科學的生物捕食問題與數學的統計領域結合起來，引導學生用統計表記錄生物種群的數量，用復式折線統計圖描述生物種群的數量變化等，并通過觀察、分析、比較等獲得種群變化的科學規律。

4.超越數學的綜合實踐應用。

超越一般意義上的綜合實踐活動課程，我們以數學為整合的核心，從數學學科內容、學生自身生活和社會實際出發，以“主題”為引領，以小課題研究為載體，以研究性實踐與創造為主要方式，以培養學生的應用意識、實踐能力和創新精神為目標，開發了“3C”（即Care關心、關愛、關注，Connection聯系、連接，Creation創造、創新）課程，以期激發學生關注生活、關注社會的心向，從而讓他們從現實世界主動發現值得研究的問題，并將其上升為小課題，然后引導學生將數學、科學、技術、工程等方面的知識與問題建立聯系，進行課題研究，形成自己獨具創造性的問題解決方案。

例如：2017年是蘇軾誕辰980周年，我們把學校年度研究課程主題確定為“逆境中的堅持”。在學生大量閱讀、積累、考察的基礎上，學生生發出很多有價值的研究課題，如“大數據幫你進一步認識蘇軾”“蘇軾所用詞牌名及詞受喜愛程度調查研究”“蘇軾被貶路線研究”“蘇軾的朋友圈”“蘇軾的心情曲線”“蘇軾親民十大證據”“蘇軾為全國哪些景點代言”“蘇堤考察研究報告”……學生的學習也從文本世界走向實踐世界的真實場域。我們通過開啟課、方案課、實踐課、答辯課，讓學生完整地經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程，并通過與專家建立聯系，引導學生持續、深入地完成研究。在研究中，學生不斷學習人文與藝術、統計與科學、工程與技術方面的知識，并不斷解決問題，同時，感受到蘇軾的豐富與偉大及其愛生活、愛人民、愛祖國的豁達、智慧與擔當，汲取了生活的智慧、面對困難的勇氣和堅持理想的執著。

通過調查，我們發現，自2011年“整合數學”課程實施以來，我校學生的數學觀、數學學習觀良好而積極，核心素養獲得感普遍提高;學生在課堂上彰顯出“活潑但理智，個性但認同，聰明但不偏頗”的樣態;在區域學習水平質量監測中表現優異，且穩步前進，體現出“整合數學”課程給學生帶來的素養的整體顯著高水平。