淺談初中幾何定理探究過程的有效性途徑

葉伸章

【摘 要】幾何定理是初中數學的主要內容，定理探究是得出幾何定理的必要手段。定理探究的步驟如下：從圖形中發現問題;分析結構關系和探究內容、根據探究需求，規劃探究方案，歸納結論，掌握數學思想方法;總結方法和步驟，形成基本活動經驗。同一堂課經過多遍的教學，但每次教學都能發現很多問題，總感覺有那么多的“遺憾”。幾何定理在教學中的探究實踐研究，既迫切又重要，是幾何教學的一個重要過程。

【關鍵詞】發現;探究;幾何定理;出發點;科學設計;引導

《數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”，初中幾何定理探究式教學設計一般要遵循下面五原則：課題性、過程性、自主性、開放性和創造性。但在實際教學中往往存在諸多問題：探究形式上搞花樣式探究，形式花樣但內容空洞，探究效率得不到有效發揮;探究過程趕場式，重過程但效果差，學生深入探究的效程度不夠，得不到全面發掘;探究組織熱烈式，課堂上很是熱鬧，注重氛圍但課堂缺失探究深度，限制了學生的思維發展;探究內容偏離太遠、探究指導不到位等。這些都會導致學生缺乏足夠的熱情，得不到有效發展。各種因素都會影響到課堂探究的有效性，所以，要想提高定理探究的有效性，在教學、過程設計與教學引導上都要研究深入。本文通過兩個探究教學課例探討幾何定理探究教學有效性策略及面臨的問題。

案例一：“含30°角的直角三角形的性質”

教材特點：本節課是八年級上“13.3.2等邊三角形——含30°角的直角三角形的性質”，本節課主要是“含30°角的直角三角形”概念、性質定理的證明和定理的應用，所以本節課是一節幾何性質定理探究課。

復習提問：1.等邊三角形的性質有哪些？2.如何判定一個三角形是等邊三角形？

學生小學對等邊三角形有了初步認知，能輕松說出性質，但判定“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這條知識是學生不大掌握的，但這條卻是本節課用得最多的判定定理，所以在學這個判定定理時，需要透徹探究，才能理解掌握。

第一次活動：

第二次活動：

教學預設：從學生感興趣的折紙入手，拿一個等邊三角形，思考如何折疊？折痕是什么？折疊后成什么圖形？圖形有什么特點？

學生：折痕（底邊上的高、頂角平分線、底邊上的中線）所在的直線;“三線合一”。

得到一個含30°角的直角三角形。

教師：在Rt△ABC中∠A=30°，猜想∠A所對的直角邊BC和斜邊AB的大小關系。

學生：因為Rt△ABC是從等邊三角形ABD折疊得到的，△ABC和△ACD重合且全等，所以得到BC是BD的一半，從而猜想BC也是AB的一半。

學生在拼接三角形或折疊等邊三角形的過程中，自然地由特殊30°角的直角三角形引導到邊的關系;學生通過動手操作，使得對于一個知識點的理解更加直觀。

證明猜想：（本節課的重難點，也是重要的教學探究過程）

得到結論：含30°角的直角三角形的性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

這個定理的探究過程方法較多，需要用到之前學過的定理也很多，所以孩子在做探究的前提是要掌握定理。絕大部分孩子都能夠掌握第一、二種的輔助線添加法，三、四種比較困難，涉及到輔助線添加方法（通常有倍長法、截取法、作高、角平分線等方法），構造等邊三角形或者全等三角形進行證明。幾何定理跟幾何圖形是緊密聯系的，添輔助線的方法通常是憑借經驗和規律，緊抓題意（比如：角平分、高、取長補短等），將基本圖形補充完整的方法，因此“添加輔助線”也可以稱為“補圖”，根據題目的條件和圖形的特點，結合要證明的結果，都有一定得引導思路，防止亂添線。

案例二：探究三角形中邊與角之間的不等關系（“大邊對大角”“大角對大邊”）

通過觀察圖形，猜想性質。在△ABC中，邊AC對∠B，邊AB對∠C，同學們通過肉眼觀察可得到∠C大于∠B，故猜想大邊對大角。

驗證猜想：我們通過折紙和添加輔助線驗證了猜想是否正確，并能否用學過的知識來證明你的猜想？

探究：“大邊對大角”，將邊、角大小進行比較，通過折疊轉移的方法。

（1）沿角平分線折疊：作∠BAC的角平分線AD，將△ADC沿AD翻折（或將△ADB沿AD翻折）（圖5、6）;（2）沿高翻折：作BC邊的高AD，將△ADC沿AD翻折（或將△ADB沿AD翻折）（圖7）。

探究：“大角對大邊”，讓學生模仿“大邊對大角”的探究方法，說明：“在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角對大邊”（圖8）。

從對“大邊對大角”“大角對大邊”的探索過程中，你有何收獲？（1）折紙對我們添加輔助線的啟發;（2）利用等腰三角形和軸對稱的性質（截長補短）構造全等，將角進行轉移，轉化為“一個角為另一個角所在三角形的外角”。將邊進行轉移，轉化為“兩邊之和大于第三邊”。

對兩次課堂的實際探究教學效果比較，可以肯定幾何定理的探究必須以學生為教學的主要對象，努力激發學生探索的欲望，使其積極參與整個探究過程，并能從發現中總結規律，發表探究意見。要取得這樣的較好的效果，重點在于學生有效地感知知識的生成過程。

幾何定理探究教學的有效性，在實施教學中要注意以下幾個方面：

1.找準探究的出發點，符合學生探究的認知水平，是有效探究的前提

學生所面臨的學習環境和新的學習任務不是在零碎的空間里開始的，而是從他們現在的特定行動傾向和獨特的經驗開始。這明確地揭示了學生現在的知識、經驗、興趣等基礎是探索的起點。正確理解學生的認知水平要求，并滿足他們的要求才是有效授課的前提。以現有的知識和經驗、信息為基礎，通過簡單的思考整理得出自己的解釋和結論。

2.掌握要點，科學設計教學是有效探究幾何定理的要求

一節課也就是45分鐘，涉及講評、復習、新課、練習、布置作業、總結等多個教學環節，要想在有限的時間里取得最大的教學效益，就必須對教學進行科學、合理的設計。從復習引入，到活動方案，再到定理探究和證明，每一個步驟都要設計好，把握探究的難點，理清教學程序，避免無效的教學環節。對于一個知識點，有時需要設置兩三個教學活動，一個教學活動，有時也需要設計兩三個探究。因此，找到探索的關鍵，簡化和避免無效環節是一個重要的策略。

3.有效的引導方法是學生體驗學習的重點

教師的指導行為在學生的探究中起關鍵作用，教師是學生研究的支持者。不僅要對課程進行科學合理的預測，而且要有效地規范和指導正在進行的探究。此外，學生也必須事先準備好課堂所需的材料。學生的思維各有差異，好的學生很快就可以進入分析和解答，但很大一部分學生是沒辦法的，特別是對于缺乏學習興趣或基礎較薄弱的，這時就需要教師用更加精確的語言營造課堂氛圍，用更加合理的點播方式啟發學生學習數學，語言是教師指導思想的主要載體，語言的精確性直接影響到教師的指導力量。課堂中，要注意適當地指出學生的不足之處，也要及時肯定學生的閃光點。

筆者在近幾年的幾何定理探究教學過程中，取得了很多成效，所任教的兩個班級學生在學習幾何時，在圖形建模、問題情境、邏輯能力、創新思維等方面都有很大提升。在初中數學幾何定理教學中實施探究教學符合現在的學情，也是有效提升課堂教學效率的重要途徑。在新課標的大環境下，讓我們做一個課堂探究引路者，讓我們的學子走得更好更遠，也讓幾何課堂變得高效、合理。

【參考文獻】

[1]余美霞.“初中數學幾何概念和定理教學探討”[J].快樂閱讀，2015（10）