論數學學習智慧

陳靜

【摘要】智慧是人腦最奇妙的產物，智慧的內核首先是道德，并指向于德行與能力完美結合至善至美的境地。數學學習智慧是個體在面臨復雜數學情境，解決實際問題過程中表現出來的綜合能力，是德行修養、聰明才智、意志品格、計策謀略的綜合呈現。因此，數學學習智慧也是數學核心素養的另一種表達。培養數學學習智慧，主要有以下三個途徑：一是以”思”提升覺知世界的智慧;二是以”悟”培養認知自我的智慧;三是以”達”形成融會貫通的智慧。

【關鍵詞】核心素養 學習智慧 數學學習

從古至今，人類從未停止過探索智慧的腳步。在東方古老的佛教文化中，智慧一詞譯為“般若”（梵語），指認知一切事物和萬物本源的終極智慧;在西方文化中，智慧則與哲學有關，哲學就是“愛智慧”;在眾多哲人眼中，智慧更有著不同的面孔，如蘇格拉底認為“德行就是智慧”，柏拉圖認為“智慧就是使人完善者”。現代科學則認為，智慧是生命所具有的基于生理和心理器官的一種高級創造思維能力，與個體先天的智力因素有關，但更多的是經過后天實踐習得，因此，學習是培養個體擁有智慧的必經之路，正如懷特海在《教育的目的》中所言：“智慧并不一定總是隨著知識的增長而增長，只有當我們學會了積極地創造和運用知識的時候，我們才最終擁有了智慧。”

學習智慧即關于學習的智慧，是個體在學習過程中所展現的綜合能力乃至創造能力。從數學學科的角度來說，數學學習智慧是學習者在面臨數學情境，解決復雜問題過程中表現出來的綜合能力，是個體德行修養、意志品格、聰明才智、決策能力等創新意識、創造能力的綜合呈現，不僅反映了個體品性與能力的完美結合，也從另一個角度詮釋了學科必備品格和關鍵能力的和諧統一，正如成尚榮先生所言：“核心素養是智慧的合金，智慧是核心素養的中國表達。”培養學生數學學習智慧，正是要求我們關注學習個體在學習過程中的方法、策略、意識等，用智慧的方式去獲取知識，培育能力，提升素養。

? 一、“思”——覺知世界的智慧

“教育的全部目的就是使人具有活躍的智慧。”（懷特海）學習將促進個體智慧的發展和生成，因此，不僅應該“智慧地教”，更要“智慧地學”。學習智慧是一種學習能力、學習策略甚至技巧，是個體面臨陌生情境時顯現出來的綜合素養，表現為個體對復雜情境做出的分析、判斷、選擇、評估，乃至解決問題的能力和創造。從這個層面上定義，學習智慧不僅是個體良好學習品質和關鍵能力的和諧統一，也是學習者自身核心素養的一種綜合表達。數學是一門思維性極強的學科，是一門通過思維覺知世界，把握事物之間的數量關系與空間形式的科學。因此，數學學習智慧就是思考的智慧、思維的智慧、思想的智慧，培養數學學習智慧就是要學會用“數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界”。

1.敏銳的洞察——尋找與世界的聯接

“三個蘋果”，改變了世界。夏娃因為好奇吃下第一個蘋果，從而創造了人類世界;牛頓被樹上掉下的第二個蘋果砸中，從而發現了萬有引力;而喬布斯發明的第三個蘋果更開啟了人類物質科技文明的新時代。縱觀歷史發展的腳步，每一個發明與創造都離不開人類敏銳的洞察力，通過觀察產生思考從而把握世界。教學同樣需要培養學生敏銳的洞察力，“學會用數學的眼光觀察世界”，通過智慧地觀察，把握數學與世界的聯系。

前不久，聽到一節很有意思的數學拓展課：《“肯德基”定價的秘密》。上課伊始，教師首先拋出一個話題：“假設有A、B、C三名同學，他們都想購買一個香辣雞腿堡，但他們愿意支付的最高價格卻各不相同。現在假定三人的最高出價分別是12元、11元、10元。同時，假定每個香辣雞腿堡的成本都是5元。為了追求利潤的最大化，老板該如何定價？”順勢引發討論交流：商品定價與什么因素有關？在學生熱烈的交流中，教師不失時機、循序漸進地介紹一些經濟學術語，如“雙贏策略” “最高心理價位”“價格歧視”“統一定價”“差異定價”等，幫助學生尋找商品定價背后的秘密，并鼓勵學生用數學知識剖析“第二杯半價”“清倉甩賣”“滿減滿贈”等商業現象，發現其中隱藏的數學奧秘。

這節課除了教學內容的創新，還有學習方式的轉變，非常突出的亮點就是用真實問題激起主動探究的欲望，促使學生用數學的眼光看待常見卻蘊含著豐富數學元素的生活現象，并通過合作、討論、匯報、交流等師生、生生互動的學習方式促進學生數學理解的不斷深入。一個“有價值”的問題，激發了兒童強烈的好奇心和旺盛的求知欲;一種“有意義”的學習，傳遞了一個聲音——數學教學，除了學習知識，更要培養讓兒童適應未來的學習智慧。作為有責任心的教師，我們必須在復雜多變的現實世界中努力培養學生的好奇心，激發求知欲，培養敏銳的洞察力，引導學生積極追尋有價值的數學學習。

2.深刻地把握——關系、結構與本質

數學是抽象性極強的一門學科，從理念層面上理解，數學學科所研究的對象都是抽象思維的產物，是一切存于“理念世界”中的概念，舉例來說，我們研究直線，但是在現實世界中并不存在真正的直線，因為除了“直”這個特征，“有長無寬無厚”和“無限延伸”的性質在現實世界中是無法呈現的。因此，完美的直線只存在于數學的理念世界中。但即使有了這樣的客觀認識，卻并不妨礙我們去研究它，我們依然可以通過畫出現實中“不完美的直線”來幫助我們研究并理解“理想的直線”的概念和性質，這便是數學思維的獨特性。鑒于此，數學學習智慧的重要內涵是學會思維——“會用數學的思維思考世界”。

現實世界變化萬千，然而擁有數學學習智慧的人，除了善于觀察事物本身，更善于把握事物之間的關系、結構和本質。例如，測量金字塔高度這么復雜的問題，在古希臘幾何學家泰勒斯看來，只需要在陽光照射下，找到人的身高與影長相等的這個時刻，便能通過測出金字塔的影長算出其高度;再如，著名的數學家歐拉，把百年未解的格尼斯堡“七橋問題”抽象成簡單的一筆畫問題，就輕而易舉地解決了。雖然，上述兩個例子列舉的都是舉世聞名的數學天才，但即使是普通學習者，只要在學習過程中注意培養，同樣可以擁有把握事物內在聯系的學習智慧。例如，在數學教學中，講授抽象概念總需要從一些典型的具體問題出發引入，否則缺少了感性經驗的支撐，理解抽象概念本身便會成為“空中樓閣”。然而，實例僅僅是理解抽象概念的基礎，真正掌握抽象概念還需要進一步擺脫感性認知經驗的局限和干擾，從理性的高度幫助學生構建掌握抽象思維的學習智慧，自覺實現在具體事物層面和理性抽象層面的自由轉化，從而培養學生善于把握事物內在關系、結構、本質的高層次抽象思維能力。

3.理性的表達——傾聽、對話與分享

數學學習智慧來源于學習過程中的實踐體驗，是個體運用知識、能力在解決實際問題中通過不斷嘗試、練習后獲得的一種高層次思維能力。這種能力是良好意志品質和能力素養的綜合統一體，是促使個體產生創新思想的思維能力，這種能力的形成不可能一蹴而就，而是一個循序漸進不斷發展的動態過程。

加德納的多元智力理論指出，人類個體智力具有多元性和差異性，正是這樣的多元差異讓每個學習者擁有各自的優勢智力和弱勢智力，正如一千個讀者就會感知一千個哈姆雷特一樣，每個學習者感知周圍事物和建構知識的方式、行為各不相同，就會形成個性化的學習智慧。因此，在教學過程中，教師要有意識地引導學生充分進行交流，通過傾聽與對話，充分分享彼此的數學理解、體驗感悟，進而促進學習智慧的提升。

前不久，看見華應龍老師執教的教學課例——《我不是笨小孩——以“師徒年齡問題為例”》，問題源自師徒倆的一段對話：“徒弟：師父您多大了？師父：我在你這年紀時，你才5歲;但是你到我這年紀后，我就71歲了！請問：徒弟幾歲？師父幾歲？”華老師通過兩個教學環節引導學生充分交流表達，探索不同的解題思路，嘗試不同的解決辦法，并充分引導學生思維的分享、碰撞和融合。環節一：“書讀百遍，其義自見”。此環節分三步走，第一步讓每個學生充分讀懂題目，第二步讓學生在讀懂的基礎上嘗試舉例說明自己如何理解題意，第三步注意傾聽并嘗試去理解別人的想法;環節二：“題試三回，定能生慧”。華老師提示學生，用“投石問路”的方式想辦法解決問題，在這個環節中，學生充分展示了不同的想法和思考，有的用磁珠擺一擺，用直觀圖的方式呈現;有的嘗試用線段圖抽象表示數量關系;還有的用假設法、嘗試法、列舉法展開思考，在相互交流中分享思考碰撞智慧。（如圖1）。

課堂中，華老師引導學生充分地表達、交流，不斷激起數學思維的碰撞與交鋒，課堂討論高潮迭起，學習智慧不斷閃現，真正體現用教學智慧點燃兒童數學學習智慧。數學學習本來就是不斷嘗試、實踐、體悟、提升的過程，讓兒童嘗試用符號、語言、數字、圖形、表格等不同的形式把握數量之間的復雜關系，通過對話、交流分享彼此的數學理解，這不正是促進數學學習智慧生長的最佳途徑嗎？

? 二、“悟”——認識自我的智慧

學習本身就是一種智慧。

“學，覺悟也”（《說文》），“學”的內涵，側重于“悟”，注重個體對學習內容和學習方法的領會、思考和體悟，學的過程即是個體自我覺悟、內省而獲取知識、經驗的自覺行為。中國儒家文化中，把智（慧）與“德”（仁道）緊密聯系，認為智慧是良好的道德品行與實踐行為的高度統一;現代認識心理學則把人對自我認知和了解能力，稱為“元認知”能力，元認知就是一種指向于自我的認識過程，具有較強元認知能力的人，往往具有較強的自我意識和自我監控能力。因此，學習智慧首先要培養人對自我的認識和覺悟，通過自我認知進行自我管理、自我監控和自我調節。

1.學會自我管理：從自覺到自律

雖然影響學習效果的因素有很多，但起決定性作用的因素往往是非智力因素，如興趣、習慣、態度等，這些優秀的學習品質交織在一起，就形成了學習者自覺、自律的自我約束能力，促使學習者在學習的過程中不斷認識自己，努力完善自己，提升學習智慧，并樂此不疲。

從小學階段開始，學習智慧的差異就已經形成，有的學生善于閱讀，從閱讀中享受到極大的樂趣，而有的學生卻沉溺于智能手機或平板電腦。殊不知，這樣潛移默化的習慣養成往往造成學生在自我管理上的巨大差別，自我管理能力強的學生具有較強的自覺性，有時間意識，能對自己的學習活動進行有效的規劃和安排，合理分配、統籌兼顧、提高效率，因此能較好地協調學習和休息的關系，從而進入學習的良性循環軌道，而正因為良性循環，讓這些學生品嘗自覺、自律的樂趣和甜頭，尋找最佳的學習方式、方法，愿意努力去嘗試更高層次的自我管理，這個過程中學習智慧便自然而然地產生了。

2.學會自我監控：從內省到反思

古希臘著名哲學家蘇格拉底曾運用“產婆術”引導學生產生認知矛盾，從而意識到自我的無知，促使學生通過內省引發新的認識，產生智慧。可見，內省與人的智慧相關，是學習者內心認識、省察、反觀自我的過程，儒家文化很注重這種內心的道德修養，現代心理學更是將“內省”作為基本研究方法，強調通過內省進行自我監控，從而使自身達到最佳狀態或最優效果，從數學角度看，內省更是一種智慧的學習方法和策略，從自我觀察到自我分析，從自我分析到自我監控，從自我監控走向自我反思，是一種學思結合的學習智慧之道。

數學學習的自我監控通常要經歷這樣幾個過程：

（1）計劃。面臨一項學習任務時，首先明確學習內容，獲取數學信息，調動已有知識儲備，規劃可能的解題路徑等。

（2）組織。學習過程中，用恰當的方式組織信息，用多元的方式表征數量關系，選擇合適的解決方法，明確解題步驟的意圖等。

（3）檢驗。用恰當的方法驗證學習過程和結果，回顧解題過程，歸納解題策略， 比較、優化、提煉最佳解題方案。

（4）評價。對學習過程進行自我評價，理性分析學習的質量和效果。

3.學會自我調節：選擇與決策

中國傳統文化中把認識并處理好人與世界萬物關系的能力看作智慧，例如：孔子推崇“中庸之道”，認為智慧的核心是平衡與選擇，可見智慧不僅是一種思維方式，也是為人處世、處理問題的方式，智慧本身就包含著選擇，這種選擇其實是一種自我調節能力，也表現為一種明智決策和合理選擇的能力，當個體在現實情境中面對真實問題的時候，能夠正確分析、合理判斷、正確選擇、靈活調節，展示出情感態度、意志品質、能力水平的完美統一，這便是從實踐中產生的學習智慧。例如：在遇到復雜數學問題時，及時調整解題思路，合理選擇解題策略，或嘗試利用具體事例幫助理解，或重新梳理已知、未知條件，分析數量關系;或從復雜問題往后退，退回到簡單情況再進行分析等，這些都是學習過程中善于自我調節的數學學習智慧。

? 三、“達”——融會貫通的智慧

“達”，本是形容詞，意指大道通行無阻，后引申為動詞，指相通、相匯之意。數學是一門智慧的學科，數學的學科特征決定了數學與思維的不解之緣。數學是思維的工具，思維是數學學習的基石。數學思維的發展是一個循序漸進的過程，需要持續培養，更要注意方式方法，所謂“一通百通”，唯有善于掌握結構，把握規律，溝通聯系，方能達到通達敞亮且融會貫通的境界。

1.舉一反三與舉三反一

數學學習離不開對關系和規律的把握，發展思維就是要培養學生善于舉例，善于類推，善于由此及彼，不僅能舉一反三還能舉三反一的學習智慧。以數學概念教學為例：概念本身具有一定抽象性，概念的建構過程通常要經歷從感性經驗積累形成表象，剝離非本質屬性，抽象本質屬性的過程，在此過程中，通過舉例建構學生自己的數學理解至關重要。儲冬生老師曾經執教過《認識負數》這節課，儲老師讓學生通過不同形式的舉例，不斷加深對負數概念的認識。

（1）“舉一反三”。課始，老師通過學生充分交流，了解到學生對負數已經有了一定的認識，于是老師拋出一個問題：“既然你們都在生活中看見過負數，那么，以‘-2為例，你能舉出一個生活中的例子說說‘-2是咋回事兒嗎？”

（2）“舉三反一”。課中，當學生對負數有了更深的認識后，老師又拋出一個問題：“我們以前認識的數，數字越大這個數就越大，如28比1大，但是負數怎么就是相反的呢？比如-2就大于-13，你能舉幾個不同的例子說明這個問題嗎？”

課中的兩次舉例都蘊含了豐富的學習智慧。第一次舉出生活中不同的事例，以豐富的生活原型來解釋“-2”這個抽象的數學模型，從一般到特殊，從具體到抽象，有助于學生對抽象的負數的理解;第二次用不同的例子來佐證-2>-13，從數學模型又回到生活原型，從特殊到一般，在舉三反一的類比中加深對抽象概念的理解和認識。

2.自由開放與多元并舉

數學學習就是要讓學生學會思維。因此，教師在課堂上的主要教學任務就是想方設法地制造認知沖突，激起思維碰撞，在不斷經歷思維挑戰的過程中，引領學生攀登思維的高峰。有高層次思維挑戰的課堂是生動的，因為有學生鮮活靈動的思考存在;也是開放的，因為有多種不同思想的碰撞與交鋒;也是自由的，這是一種思想上的自由，允許發出不同的聲音，更鼓勵思辨、質疑與批判。數學教學的視野也不能僅僅局限于一門學科的知識教學，更應該突破教學的圍墻，超越學科的邊界，引領學生看向更遠、更大、更廣闊的空間，注重培養學生的自由之思想和獨立之精神，在獲取知識的過程中，與師生思想的碰撞融合，學習中的喜怒哀樂，想象力、創造力、研究力等獨立學習能力之生發，進而學習觀、價值觀、人生觀的形成，這些都將超越知識的范疇，使數學學習的過程最終成為提升素養增長智慧的過程。

? 【參考文獻】

[1]【英】懷特海.教育的目的[M].徐汝舟譯.北京：三聯書店，2002.

[2]成尚榮.核心素養的中國表達[M].上海：華東師范大學出版社，2018.

[3]華應龍.我不是笨小孩——以“師徒年齡問題為例”[J].小學數學教師，2018（6）.