揭示數學本質 培養核心素養

劉久成

【摘要】小學數學中“平行線”未涉及“平行公理”，這對教材編制和教學都帶來挑戰。然而平行線的認識是培養學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理的重要載體。為此，教師應依托學生實際，把握概念本質，深度理解教材，為培育學生的數學核心素養創造有利條件。

【關鍵詞】平行線 教學理解 核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力，以及情感態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。具體包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析?，F行數學課程標準雖未明確核心素養的內涵和要素，但應與高中數學核心素養一脈相承。數學教材是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源，也是培育學生數學核心素養的重要載體。如何深度理解教材，揭示數學本質，挖掘教材中的核心素養要素，并以發展學生核心素養為導向創造性地運用教材，是擺在一線教師面前的一項任務。

“平行”是社會生活中普遍存在的現象，“平行”一詞在日常生活中有多種解釋?，F代漢語詞典解釋為：等級相同，沒有隸屬關系（如平行機關）;同時進行的（如平行作業）;還有就是數學所說的“平行”，數學上的“平行”包括線線平行、線面平行、面面平行等。小學數學教材中只討論平面內的“線線平行”，即“平行線”，內容主要包括：平行線的概念、平行線的畫法、平行線的性質和平行線的判定。這些內容可為進一步認識平行四邊形、梯形等有關知識奠定基礎。

由于小學生抽象思維的局限性，認識圖形主要以生活經驗為基礎，而非建立在公理體系之上，因此，小學數學中“平行線”的認識，未涉及“平行公理”，這對教材內容編制的系統性和邏輯性都帶來了挑戰。同時由于“平行線”以直線、平面概念為基礎，而這兩個概念都具有無限延伸性特征，這也給學生理解和教師教學帶來了困難。我們看到，平行線的認識是培養學生數學抽象、直觀想象能力和訓練學生邏輯思維的重要載體，有助于促進學生核心素養的發展。為此，我們需要依托兒童實際，通過把握平行線本質，深度理解教材內容，為培育學生的數學核心素養創造有利條件。

? 一、從有限到無限，激發直觀想象

平行線的認識一般都安排在小學四年級進行教學，現行不同版本的小學數學教材，通常都是利用日常生活中的平行現象，如鐵軌、雙杠，經抽象概括，或通過讓學生任意畫兩條直線進行分類討論，形成“平行線”的概念。可是，這些事物對象都是有限的，都不是“平行線”的真實原型或狀態，僅僅是平行線上的兩條線段。每條線段都要分別向兩方無限延長，才能成為平行線。這就需要借助想象，把有限拓展到無限。為此，我們認為，讓學生從研究同一平面內兩條線段的三種位置關系開始：

然后，讓學生想象每幅圖中的兩條線段向兩方無限延長，成為兩條直線后的情況，從而認識同一平面內的兩條直線只有以下兩種位置關系：

這時給出“平行線”的定義水到渠成。讓學生從觀察“有限”的圖形，到認識“無限”的圖形，揭示了“平行線”的本質，有助于激發學生的直觀想象。

? 二、凸顯平行線特征，揭示數學本質

平行線是指兩條直線的位置關系，它包含兩個特征：“在同一平面內”“兩條直線不相交”。學生往往只關注“不相交”這個條件，而忽視“在同一平面內”。因此，在學生對“平行線”有了初步認識之后，教者可以利用正方體中的異面直線AB和FG突出平行線定義中的這個條件。

師：同學們想一想，在日常生活中，我們在哪里見到過平行線？（告訴學生：我們見過的事例中存在的“平行線”實質上都只是平行線上的兩條線段。將它們分別向兩方無限延長后，得到的兩條直線才是平行線。）

師：在我們學過的圖形中，能找到平行線嗎？（如長方形的對邊，以及正方體中的某些線段。）

為什么說“AB、CD是平行線”呢？（圖4）

在正方體ABCD-EFGH中（圖5），和AB平行的直線有哪些？和AB相交的直線有哪些？另外還有幾條直線和AB的位置關系如何？如AB和FG怎么樣？（它們雖然不相交，但是因為不在同一個平面內，所以不是平行線。）強調“平行線”必須具備兩個條件——“在同一平面內”和“不相交”。這樣借助于肯定例證和否定例證的討論，進一步明確了“平行線”這個概念的內涵。

? 三、利用方向直覺，力求“混而不錯”

心理學研究表明，畫圖有助于感受圖形特征，加深對圖形概念的理解。在平行線的教學中，畫平行線不僅可以更好地理解平行線的概念，也為后續畫平行四邊形、梯形等奠定基礎。教材中對畫平行線的要求不高，似乎關注不夠。一般只要求在方格紙上畫，或者用直尺的兩邊畫，沒有提出一種通行的畫法。實際教學中，我們看到有些教師會補充介紹用直尺和三角板“推”的方法畫平行線，但這種畫法的依據是什么呢？教師一般不做解釋，實質上是依據“同位角相等，兩直線平行”的判定定理，而這一判定定理是建立在“平行公理”基礎之上的，對小學生來說，還沒有此理論依據。此時，如何說明用“推”的方法畫平行線的合理性呢？張奠宙先生提出“方向直覺”的建議：兩條方向相同的直線不會相交，因而是互相平行的。特別地，與同一直線垂直的兩條直線互相平行。這就如同沿著同一方向行走的人不會相交一樣，人人都有這樣的生活經驗。這樣處理明確易懂，并且與中學數學里“同位角相等，兩直線平行”的判定法則相銜接，也符合蘇步青先生在20世紀60年代編寫中小學教材時提出的“混而不錯”的思想。這樣，引導學生用數學的眼光觀察生活現象，是對生活世界進行數學化處理，有助于培養學生的數學模型意識和理性思維。

? 四、改進教學思路，培養邏輯思維

現行教材中，一般都沒有給出“平行線段”的概念，但在書后的習題中都毫無例外地用到了這一概念。事實上，實際應用中所涉及的“平行”問題也基本上都是平行線段問題，在此對“平行線段”稍作交待：“兩條線段所在的直線互相平行，這兩條線段就叫作互相平行?！边@樣，在不增加學生過多負擔的情況下，能使教材內容的邏輯性和系統性增強，更重要的是有助于學生養成有根有據地思考問題的習慣。

中學數學里有關于兩直線平行的判定定理，而小學沒有。概念的定義通?？梢宰鳛榕卸ǖ囊罁?，但平行線的定義中，由于直線具有向兩方無限延伸的特性，延伸以后是否相交，需要超經驗的想象，這是難以做到的。因此，平行線的定義難以用于判定兩直線是否平行。我們看到，人教版數學教材做了如下處理（四年級下冊第59頁，例3（2））：

很顯然，這里是通過“畫”“量”實驗的方法得出“與平行線垂直的所有線段都相等”，然而這一結論未必可靠，但考慮到小學生實際，這里暫且不作嚴格證明。進一步地，教材在“做一做”中，要求學生利用上述結論檢驗兩直線是否平行，這就出現了邏輯問題。

由例3（2）得到的結論是：“如果兩直線平行，那么它們間的垂直線段相等”（原命題），這是平行線的性質，而依據該命題做不出兩條直線互相平行的推斷。如果是依據其逆命題：“如果兩條直線間的垂直線段相等，那么兩條直線平行”來進行判斷，那么逆命題成立的依據何在？原命題成立是不能保證其逆命題成立的。這種把平行線性質定理當作判定兩條直線平行的準則，容易造成學生思維上的混亂。

由于小學數學沒有直線平行的判定定理，而且平行線的定義又不能用作判定的依據，如何判定直線平行似乎成了一個難題。為此，我們建議利用在“方向直覺”的基礎上建立起來的平行線畫法，即用直尺和三角板“推”的方法去檢驗兩直線是否平行。

小學數學中的概念都是最基本的概念，基本概念常常都是很重要的，具有很高的教學價值，教師在研究概念教學時，需要有數學上的高觀點，弄清其現實原型和科學意義，也需要重心向下，為學生所理解，基于學生核心素養的養成，對教材進行創造性處理。