基于應(yīng)用背景的旋轉(zhuǎn)體體積的教學(xué)設(shè)計(jì)

張瑩 許勇 武海波

摘要：本文采用啟發(fā)式和問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法，從旋轉(zhuǎn)體的構(gòu)成方式入手，借助硬幣旋轉(zhuǎn)的實(shí)例探究，引出了旋轉(zhuǎn)體的概念;隨后繼續(xù)利用“硬幣”的形象化分析，建立了旋轉(zhuǎn)體體積的求解方法，并將其應(yīng)用到實(shí)際問題中。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì);旋轉(zhuǎn)體體積

中圖分類號(hào)：O13 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2019）20-0050-02

《高等數(shù)學(xué)》是高等院校理工類各專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，其因較強(qiáng)的邏輯性、抽象性、應(yīng)用性，有利于訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和解決實(shí)際問題的能力，是開展素質(zhì)教育、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的重要課程[1]。定積分應(yīng)用中的微元法精妙地體現(xiàn)了“化整為零、積零為整”的思想，它對(duì)于微積分的學(xué)習(xí)和理解具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)用微元法解決旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算問題時(shí)，通常對(duì)旋轉(zhuǎn)體的空間構(gòu)成理解不夠深入，在微元的選擇上容易與后續(xù)學(xué)習(xí)的柱殼法相混淆。因此，本設(shè)計(jì)采用啟發(fā)式和問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法[2-3]，在形象化展示抽象數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，提出問題、引起興趣、引發(fā)思考，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正確掌握與方法的深入理解，并將其應(yīng)用到實(shí)際中去。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本設(shè)計(jì)從芭蕾舞演員和旋轉(zhuǎn)木馬的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)，以及花瓶、雞蛋、橄欖球和航天器的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)入手，提出動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)和靜態(tài)旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系問題[4]。進(jìn)而，通過分析硬幣旋轉(zhuǎn)構(gòu)成球體的小游戲，將“動(dòng)”與“靜”相結(jié)合，引入旋轉(zhuǎn)體的概念。隨后，繼續(xù)利用硬幣堆疊來逼近圓柱體體積，并將其推廣到更一般的旋轉(zhuǎn)體體積逼近與求解問題中，引出微元法的思想，進(jìn)一步運(yùn)用定積分建立求解旋轉(zhuǎn)體體積的積分公式，并用其求解典型旋轉(zhuǎn)體的體積。最后，利用該求解方法，計(jì)算花瓶及其內(nèi)部體積。教學(xué)設(shè)計(jì)思路關(guān)系如圖1所示。

二、教學(xué)過程

1.概念的引入。首先，提出花瓶及其內(nèi)部體積如何計(jì)算的問題;隨后，展示冰上芭蕾和旋轉(zhuǎn)木馬的運(yùn)動(dòng)視頻，以及自然界和人類社會(huì)中存在的多種靜態(tài)旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，如雞蛋、燈籠、陶藝作品、教堂的圓頂。通過“動(dòng)”與“靜”的對(duì)比，引出本節(jié)的研究對(duì)象及學(xué)習(xí)內(nèi)容。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)硬幣的過程，探討“動(dòng)”與“靜”的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)二維圖形旋轉(zhuǎn)構(gòu)成三維立體的邏輯關(guān)系，繼而給出旋轉(zhuǎn)體的定義，即由一個(gè)平面圖形繞所在平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。

2.旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算。明確了旋轉(zhuǎn)體的定義后，又該如何根據(jù)其構(gòu)成特點(diǎn)，尋找求解旋轉(zhuǎn)體體積的方法呢？圓柱作為最基本的旋轉(zhuǎn)體，可以借助半徑相同硬幣的堆疊來進(jìn)行逼近，即計(jì)算每個(gè)硬幣的體積，再相加即可獲得圓柱體的體積。對(duì)于更一般的情形，如葡萄酒桶的體積問題，引導(dǎo)學(xué)生分析圓柱體與葡萄酒桶體積問題的異同，提出問題啟發(fā)思考，即是否也可通過硬幣的累加來逼近葡萄酒桶的體積呢？不難發(fā)現(xiàn)這正是微元法的核心思想，通過細(xì)分、近似得到微元，就可以進(jìn)一步利用定積分來求得葡萄酒桶的體積，如圖2所示。這一個(gè)個(gè)堆疊的硬幣就是體現(xiàn)了體積微元的選擇，可見體積微元的選擇與計(jì)算都與旋轉(zhuǎn)軸的方向與位置有著密切的聯(lián)系。因此，關(guān)于旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸和微元的關(guān)系分為兩大類來討論。

在掌握了兩類情形下旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算方法后，課程中將通過例題展示不同情形的問題，在與學(xué)生互動(dòng)交流中，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的理解和對(duì)方法的掌握程度。如：例1，計(jì)算由拋物線弧x=y2，y∈[0，1]與x軸、直線x=1圍成的圖形分別繞y軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積;例2，求由曲線y=4-x2及y=0所圍成的圖形繞直線x=3旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

3.實(shí)際應(yīng)用。至此，我們已經(jīng)掌握了旋轉(zhuǎn)體體積求解的基本思路和方法。課程開始時(shí)提到的雞蛋和橄欖球等實(shí)際問題的體積如何求解呢？不妨以花瓶為例，想要求得花瓶及其內(nèi)部的整體體積，可分為五步：（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系;（2）擬合平面曲線;（3）確定旋轉(zhuǎn)軸及積分變量和區(qū)間;（4）確定半徑函數(shù)并寫出積分式;（5）求解定積分得到體積。這樣，就可以通過建模的思想，借助本節(jié)課所學(xué)概念和方法實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的求解。

本節(jié)內(nèi)容是訓(xùn)練使用微元法的重要載體，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、邏輯思維能力和抽象思維能力非常重要。通過硬幣的引入，使學(xué)生對(duì)問題的求解形成深刻且直觀的印象。在學(xué)習(xí)過程中，雖然會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸不同，分為多種情景進(jìn)行研究，但問題的核心不變，即把握微元法思想，明確微元選取方向與旋轉(zhuǎn)軸的關(guān)系，通過確定積分微元和積分區(qū)間，即可求得旋轉(zhuǎn)體的體積。在分析抽象數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析花瓶及其內(nèi)部體積求解的實(shí)際問題，培養(yǎng)了學(xué)生利用微積分知識(shí)分析實(shí)際問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材編寫組.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].第3版.北京：科學(xué)出版社，2013：50-57.

[2]鄭淑芬.案例教學(xué)法的作用、實(shí)施環(huán)節(jié)及需要注意的問題[J].教育探索，2008，3（4）：56-57.

[3]陶沼靈.啟發(fā)式教學(xué)方法研究綜述[J].中國(guó)成人教育，2007，（7）：139-140.

[4]郜舒竹，徐春華.對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積的再認(rèn)知[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，44（1）：54-57.