解題教學要教學生學會思考
——從一道較難填空題的講評說起

筅江蘇省江陰市高新區實驗中學 任 維

中考復習最后階段，會進行一些模擬考試，這些試卷中都會有一些把關題，命題者往往會設置在選擇、填空或解答題的最后一題位置，這些試題也成為講評的重點任務，是核對解答式的講評還是精心設計之后開展更有品質的習題講評呢？這是值得我們認真思考的一個現實課題.本文從最近一道較難的中考模考卷填空題講評設計說起，談談在解題教學中實現教學生學會思考的一些做法與體會.

一、從一道較難填空題的講評說起

考題：若拋物線y=x2+bx（b＞2）上存在關于直線y=x成軸對稱的兩個點，則b的取值范圍是______.

考題分析：這道題從答題情況來看，班里沒有學生做對，全年級也只有不到2%的正確率，說明這道考題很有難度.為了做好講評，取得較好的講評效果，筆者進行了如下設計，特別是預設了一系列鋪墊式問題.

問題1：大家讀題后有哪些想法或解題念頭？

預設：拋物線的對稱軸為直線x=-，拋物線與x軸的兩個公共點的坐標分別是（0，0）和（-b，0）.聯立拋物線與直線的方程，可得關于x的方程x2+（b-1）x=0，計算根的判別式，結合b＞2，則可判定該方程一定有實數根，等等.教學時注意安排學生交流不同的想法，并追問其他學生是否理解，安排一些學困生復述（即再說一遍），有利于大家對問題的理解，便于后續問題的討論.

問題2：讓我們再深入解讀條件b＞2，你們有哪些發現？

預設：當b＞2時，拋物線的對稱軸一定在直線x=-1的左側，拋物線與x軸的負半軸的交點一定在（-2，0）的左側，拋物線與直線y=x的公共點坐標分別是（0，0）和（1-b，1-b）.

問題3：不妨取b=4，請同學們畫出圖像.

預設：如圖1，畫出圖像，也可請學生到黑板上畫出草圖.

問題4：在圖1中，在拋物線y=x2+4x上分別取點A、B，設它們關于直線y=x對稱，連接AB交直線y=x于點C，這三個點有怎樣的關系？能求出這三個點的坐標嗎？

圖1

圖2

預設：點C為AB的中點.如圖1，直線AB與y=x交于點C，容易確認直線AB與y=x互相垂直，可設直線AB的解析式為y=-x+k.將y=-x+k與y=x2+4x聯立，得關于x的方程x2+5x-k=0.根據根與系數的關系，知點A、B所對應的橫坐標之和為-5.由點C是直線y=x、y=-x+k的交點，可解出點C的坐標為結合中點的性質，知k=-5，于是C點的坐標為（-2.5，-2.5），相應的，也可解出A、B兩點的坐標.

問題5：現在我們可以“走向一般”，大家再嘗試挑戰一下考題吧.

預設：如圖2，點C仍然為AB的中點.直線AB與y=x交于點C，容易確認直線AB與y=x互相垂直，可設直線AB的解析式為y=-x+k.將y=-x+k與y=x2+bx聯立，得關于x的方程x2+（b+1）x-k=0.根據根與系數的關系，知點A、B所對應的橫坐標之和為-（b+1）. 由點C是直線y=x、y=-x+k的交點，可解出點C的坐標為結合中點的性質，知k=-（b+1）.將其代入方程x2+（b+1）x-k=0，得x2+（b+1）x+（b+1）=0.接下來就是攻克當b為何值時，關于x的方程x2+（b+1）x+（b+1）=0有兩個不相等的實數根.計算該方程的根的判別式，得不等式b2-2b-3＞0.學生可能又會出現一個障礙，不會解一元二次不等式，這時需要借助二次函數圖像進行分析，求出b＜-1或b＞3，再結合原題條件b＞2可得出答案為b＞3.

組織這個環節教學時，注意發揮優秀學生的示范展示作用，在他們講解思路之后，再請中等學生復述思路，讓更多的學生理解，如果表達過程中有思維回路，可請其他學生參與評析、進行優化.

變式再練：

（1）若拋物線y=x2-3x上有兩點M、N，它們恰關于直線y=x成軸對稱，連接MN，交直線y=x于P點，求點P的坐標.

（2）若拋物線y=x2+bx（b＜-2）上存在關于直線y=-x成軸對稱的兩個點，分析b的取值范圍.

改編意圖：這兩道習題針對上面的問題串而設計，可有效反饋學生對講評過程中一些特殊化問題與一般化問題是否掌握.

二、解題教學要教學生學會思考

南京師范大學涂榮豹教授在新著中明確指出數學解題教學的任務，主要任務并不是讓學生解題，而是通過解題與教學（學生解題、教師跟進的講評這一全過程）來幫助學生“學解題”.以下就圍繞解題教學如何教學生“學解題”、學會思考，提出筆者的一些做法和體會.

1.加強解題回顧與反思，深刻理解解法的關鍵步驟

教師解題研究不能止步于思路貫通、答案獲得，而要在此基礎上深入開展回顧與反思，包括對習題的一題多解、多解歸一的研究，更進一步，還要深刻理解不同解法步驟中的關鍵步驟，學生的易錯步驟，關鍵步驟是如何突破的.這些回顧與反思工作越深入，對于后續解題教學的設計幫助也就越大，否則后續解題教學設計常常缺少必要的鋪墊式問題，不利于問題講評時的漸次呈現，有些解法的出現就會如同“神仙下凡”，學生不太容易接受.像上文中考題的關鍵步驟有好幾步，比如，構造恰當的草圖分析；理解點C是線段AB的中點，以及由中點公式帶來的它們的橫坐標的關系式；由根的判別式得出的關于b的一元二次不等式的解集與取舍.

2.基于學情精心備課，預設鋪墊式問題對話追問

教師在深刻理解習題的結構與關鍵步驟之后，還需要基于學情精心備課，即想清了“教什么”之后，需要結合“教誰”思考“怎么教”.具體來說，對于一些較難習題，并不能像參考答案一樣漸次呈現所謂的“規范解答”，而要通過恰當的問題引導促進學生的思維參與“題”中，而不是教師主講，很多學生（特別是學困生）卻游離在講評之外（無聊地裝著在聽課，其實什么都聽不懂）.比如，上文考題講評預設的“問題1”，這是一個開放式問題，目的就是讓全體學生都參與進來，盡管都沒有做出最終結果，但是每個人讀完題目、理解題意后應該有些進展或解題念頭，可以先在小組內交流，再全班交流，教師通過恰當的追問促進不同學生互評，深入解讀根據題目條件能夠推得的一些結論.另外，“問題4”也是一個典型的鋪墊式問題，作為一種“特例引路”，讓學生先經歷常數系數的二次函數問題，然后過渡到含參二次函數問題，從“特殊”走向“一般”，不但能有效解決這道題，而且作為一種解法套路，啟發學生在以后一些陌生問題的求解進程中加以運用.

3.變式再練反饋學情，貼近習題講評的改編設問

在講評之后，為了即時反饋學情，進行變式再練是有效的檢查方式，這里要注意變式再練題的改編設計，一定要貼近習題講評過程中涉及的解法或拓展的內容進行有針對性的變式改編，或者說變式改編題需要精心構思，確保“內容效度”的高度相關.上文考題講評之后，我們給出的兩道變式改編題分別針對考題講評過程中的“問題4”“問題5”進行反饋檢測，能有效評價學生對講評內容的理解、掌握及運用情況.需要指出的是，開展變式再練這個教學環節得到很多老師的認可，但是這個環節的研發需要教師自覺修煉命題基本功，否則經過變式改編而成的習題出現錯漏或表述不當反而不利于反饋學情.在這個意義上說，必要的命題能力應該是廣大數學教師專業精進的一門必修課，需要認真鉆研.

三、寫在后面

學習數學離不開解題，數學教學離不開解題教學.解題教學的品質與深度是值得研究的現實話題，它雖然不是高大上的課題，卻是最接地氣的草根課題，應該成為廣大一線教師的“自覺”課題.希望我們在上文中結合案例給出的一些思考和建議能夠拋磚引玉，看到更多圍繞解題教學的深度思考與實踐案例，豐富我們對高品質解題教學的認識與理解.