以畫圖能力為基石 發展幾何直觀

摘 要：《小學數學新課程標準》明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”小學階段的孩子對畫圖比較感興趣，又容易從中獲得成就感。從畫圖入手，讓學生在經歷動手操作的過程獲得實踐經驗的基礎上發展幾何直觀。

關鍵詞：幾何直觀;畫圖操作;數形結合;圖文相符;畫圖策略;教師示范

小學數學的學習是由具體的形象思維進入到抽象思維，在這一過程中，數形結合相輔相成。幾何直觀是依托、利用圖形進行數學的思考和想象，它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。

數學教學中通過畫圖能夠將抽象的數學關系轉化成形象的具體圖形，利于學生的觀察發現、歸納總結。但在課后的反饋中，老師們常常會發現我們通過畫圖已經講解很清晰的題目，還是會出現有學生難理解的現象。

一、 幾何直觀的發展受到畫圖能力牽制的原因

（一） 學生被動接受圖形表征，幾何直觀受限

低年級的數學教學以具體形象思維為主，不論是課本的例題還是練習的題目都是以圖形形式居多，學生通過已給出的圖形中找出里面的數量關系、列出算式。升入中高年級以后，學生從具體的形象思維轉入抽象思維的過程中離不開圖形的幫助，但這些圖形表征大部分也都來自課本已經給出的，或是教師在教學過程中主動畫圖分析呈現給學生。用圖形的性質來說明數量關系的事實，非常的直觀。但當學生獨立審題做題時，發現大部分的學生并不能做到數形結合，以形助數。因為他們已有的經驗是借助現成的圖去分析問題，被動地接收已經準備好的圖形信息，而無法做到主動地去畫圖表征數量關系。

（二） 學生所畫圖與文不符，幾何直觀被阻

有的學生是急于做題，錯漏信息;有的是概念不清，導致原則性錯誤;有的是只關注題中的顯形條件，而忽略分析隱形條件;有的是題目類型混淆，沒有分類意識等原因。不同的錯誤原因都會導致最后畫出的圖形表征與原題不符，使得畫出的圖不僅沒有幫助到學生理解題目，還阻礙他們分析問題。

比如題中出現的灑水車或收割機（圖1），已知它們的作業寬度和行駛的速度，和工作地方的圖形面積條件，求它們幾小時可以完成工作這類的題。學生一開始會覺得無從下手，因為會忽視作業寬度和行駛的速度這兩條顯形條件下的隱形條件是灑水車或是收割機的工作效率，而這些機子的工作效率往往可以表征成常見的圖形——長方形。又如題目已知長方形的長和寬，長和寬各增加1厘米，求圖形的面積增加多少（圖2）。有的學生畫圖時并沒有意識到到把變化后的圖形依舊是長方形。這一類的錯誤屬于概念混淆，長和寬增加應該是每一條長和寬都同時增加，還是長方形。

（三） 學生畫圖意識和策略的缺失，幾何直觀難發展

學生畫圖意識和策略的培養不是一朝一夕的，是需要學生通過長期去實踐去發現感受圖形表征在分析問題解決問題中的優越性，逐漸歸納出畫圖的方式方法，形成畫圖策略。比如鋸木頭問題，雖然該問題是屬于五年級的植樹問題，但是在中年級的練習中已經開始滲透。學生往往會把鋸木頭的段數當作鋸木頭的次數而直接作答導致錯誤。這類問題只要一畫圖就會非常直觀看出鋸木頭的次數要比段數少1，可是很多學生在解決時沒有畫圖意識，直接跳過圖用直覺思考（圖3）。又如“杏樹的棵數是桃樹的3倍，桃樹和杏樹一共有180棵，桃樹和杏樹各有多少棵？”這里有的學生根本不會畫圖，有的畫出了兩條線段圖表示桃樹和杏樹的棵數各有多少，卻不懂如何表征一共有180棵，所以在看圖列式時，有學生并不知道最右邊的大括號表示“一共多少”（圖4）。這就說明他們缺乏畫圖經驗和畫圖策略。

（四） 教學中不重視畫圖能力的培養，幾何直觀無成長沃土

現在很多教師面臨著班級學生數量多、學生數學能力兩極分化、課時緊張等問題，導致教師往往只關注了當下課程的要求，對學生的數學的長遠發展關注不夠，沒有做到承前啟后的作用。學生的畫圖能力培養不受重視。

由于課時緊張問題，教學中很少有專門的畫圖課，或是在課堂中放手讓學生去畫。為了節約時間，教師經常自己邊說邊畫，覺得把題目通過圖分析得很透徹了。實則很多數學基礎不扎實的孩子沒有獲得動手實踐的經驗，往往不知老師在說什么，或是跟不上老師的教學進度，根本不懂得老師每一步得畫圖的表征意圖。這樣學生的數學能力不僅沒得到培養，數學思維沒有得到發展，對數學得學習興趣也下降了。

二、 提高畫圖能力，發展幾何直觀

（一） 畫圖獲得數學操作經驗，提高直觀感知

幾何直觀幫助學生從形的角度去思考數的問題，形和數應是相互呼應有機結合才能達到事半功倍的效果。如在三年級的搭配問題中（圖5），剛開始時，有的學生會選擇畫出具體的上衣和下裝來進行搭配。接著就有學生會選擇用不同的數學圖形（正方形、長方形、三角形、圓形等）來表示不同的服飾;有的會選擇用文字來表示;有的會選擇字母來表示。在接下來的分析討論中，最后總結出用A1、A2等表示不同的上衣，就可以用B1、B2、B3等表示不同的夏裝，以此類推。通過樹形圖就能分析得出一共幾種搭配情況。學生通過自己的畫圖探究比較發現用最簡單最直觀的圖形表征才是最適合數學分析的。

（二） 畫圖過程，引領思辨論證，發展幾何直觀形成數學思維

選擇什么樣的圖，如何作圖才能將有效的信息呈現出來，都需要作圖者有思辨能力。人教版三年級上冊練習二十三第五題“同學們到動物園游玩，參觀熊貓館的有25人，參觀大象館的有30人，兩個館都參觀的有18人，去動物園一共有多少人？”學生通過畫韋恩圖對本題分析（圖6），直觀理解重疊部分表示“兩個館都參觀的有18人”，問題就迎刃而解。又如“方陣最外圍有20個學生，每行有幾個學生？”（圖7）如果不畫圖學生就會用直接用20÷4=5（人），5是不重復數人的情況下每邊可以數出5人，但忽視了行和列交集處有1人是重復的，每邊實際有6人，最外圍總人數才會是20人。借助畫示意圖就能用直觀幫助學生更縝密的思考問題。

（三） 畫圖能提高直觀洞察力，完善數學思維

小學階段的數學教學中，學生直觀洞察力、想象力思維發展還是要借用具體形象的事物作為輔助，通過具體的操作和觀察先形成初步的印象，在一次次的實踐中內化成腦中的表象。如平行四邊形的邊長分別是10cm和7cm，其中一條高是9cm，求平行四邊形的面積。如果光靠學生沒有具體形象為基礎的想象很難判斷出9cm是以哪條邊為底的高。通過畫圖就直觀清晰看出根據直角三角形斜邊比直角邊長這一性質，發現以10cm為底的高長度不能超過7cm，以7cm為底的高長度不能超過10cm。所以9cm是以邊長7cm為底的高，面積就是63cm2。（圖8）一旦有了這一類的作圖經驗，學生碰到類型題時就更有意識地選擇畫圖去分析問題，各種圖形表征就儲存在大腦中，知識之間的聯系框架逐漸建立起來。

三、 培養學生畫圖能力，發展幾何直觀的策略

（一） 注重培養解說圖的規范性語言

畫圖的前提首先要會認圖，明確圖形本身及各部分之間的關系。對圖的規范解說培養了數學語言同時也發展了數學思維，讓圖和文字信息對應起來，為畫圖做鋪墊。畫圖后也要讓學生說一說他作圖的過程，分析學生的思路是否合情合理，也起到了回顧檢驗的作用，讓幾何直觀更精確，數學思維更加完善。

（二） 體會畫圖的價值，培養畫圖意識

孩子天生就是喜歡畫畫的，在教學中適當安排設計一些畫圖環節，激發孩子的學習興趣積極參與課堂同時也能夠讓孩子通過自己的動手畫，將抽象的文字條件一一對應在圖中。這個過程孩子們收獲了寶貴的數學操作經驗、發展了幾何直觀，讓學生感受到畫圖能幫助他們更便捷的思考解決問題、發展數學思維。

（三） 審題選擇作圖方式

小學階段常用的圖有示意圖、樹形圖、韋恩圖、線段圖以及長方形圖。在教學的過程中教師要有意識地引導學生進行歸納總結不同的情況應該用什么樣的圖，在學生有初步的感知基礎上，讓他們多練手多說多做，將不同的情況對應起來，內化成自己的知識。

（四） 由單一關系圖入手遞進到復雜關系圖作圖

分析數量關系的時候一般會選擇用線段圖。復雜的數量關系經常是一環扣著一環，這就需要作圖時抓住最本質的關系，從單一關系入手。因此在教學時，畫圖能力的培養是循序漸進的，從單一的關系畫起，才能以單一的關系為基礎表征出復雜多重的關系。

如在用方程解決問題教學中，要先從第一個例題入手讓學生動手畫和差問題的線段圖，到最后用畫圖解決倍差、倍和問題時才能起到深入淺出的作用。人教版數學五年級上冊《解決實際問題》例題2中“足球上白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮”，用方程解決本題，要先找出等量關系，這就需要用線段圖來表示出各數量間的關系。在教學中，我要求學生先思考要先畫哪個數量的線段圖，原因是什么。學生就能通過自己的嘗試作圖討論分析發現，要先畫黑色的皮，因為它是一倍量。只有在畫出了一倍量的基礎上才能畫出多倍量。這也為后面學習單位“1”埋下伏筆。畫“比黑色皮的2倍少4塊”時，學生懂得畫圖表征“黑色皮的2倍”，但是“少4”卻畫得五花八門，這里就要引導學生理解是在2倍的基礎少4，2倍的線段圖要少一小段用虛線畫，表示去掉了4塊。而如果是“多4”，就是在2倍線段的基礎上延伸一小段用實線表示。

（五） 教師起示范作用，學生動手操作

要做到所做的圖與文相符合，信息條件一一對應，教師的引導示范作用非常關鍵。畫圖分析問題要從模仿開始，學生最重要的模仿對象就是老師。教師從何處入手作圖，作圖的順序實則也是數學思想方法的滲透。新知教授或是復雜問題分析時，教師先示范作圖，學生再動手自己模仿畫圖。教師可以通過對學生的圖分析發現學生的問題，進而進行指導，更具有針對性。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.中華人民共和國教育部[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

作者簡介：陳媛媛，福建省福州市，福州市施程小學。