數學教學中需要“彼此兼顧”

摘? 要：在數學教學中做到“彼此兼顧”，其實對教師的專業素養提出了更高的要求：不僅讀懂教材，準確把握教材內容的深度，還要拓寬教材的廣度，更重要的是要站在學生的角度去“思考”數學，我們的學生才可能真正做到“深度學習”，思維品質才能得到提升。

關鍵詞：學生角度;彼此兼顧;深度學習;思維品質

一、案例點擊

1. 案例點擊1

在一次單元練習中，筆者無意發現學生解方程x÷ = 時，錯誤率高達50%，而同年級的其他6個班級合起來的錯誤人數只有8人。學生的錯誤解法呈現多是以下這種情況：

很明顯，學生是將分數除法的計算方法與解方程的方法（等式的性質）混淆了。造成學生混淆的原因就在于例題 x=600，教材中呈現的解法是等號兩邊同時乘 。筆者是嚴格“遵循”教材的編排，只顧著將這一類方程的簡便解法教給了學生，但學生卻“不領情”地與x÷ = 這一類方程的解法混淆了。

2. 案例點擊2

筆者在教學蘇教版五年級下冊《圓》單元時，原想本單元因為在計算中可以保留“π”，所以在計算上應該不會有太大的問題，然而事與愿違，剔除解決實際問題中方法的問題，計算問題也是一堆……學生因不習慣用含有“π”的式子來表示最終結果，因此總是漏掉“π”;學生沒有運用乘法分配律將最終結果進行化簡，如“225π-100π”;學生在解決實際問題時，對“π”是保留還是取值出現了困惑與茫然。

從2015年開始，蘇教版教材提出計算圓的面積時，最終結果可以保留“π”，“這樣做，減輕了求圓面積的計算負擔，有助于正確表示圓的面積是多少，與中學數學的要求也是一致的”。但在多年的教學中，筆者發現最終結果可以保留“π”，的確減輕了計算的煩瑣，但只顧著簡化計算的同時，我們已然失去了培養學生計算思維的靈活性。

3. 案例點擊3：《年、月、日》

課前談話揭示課題后，組織學生分兩個層次活動：（1）利用十年的年歷卡片，讓學生研究發現年、月、日之間的關系;（2）比較并優化計算平年、閏年全年天數的方法。

這是多數教師教學《年、月、日》的設想。但鄭毓信教授在一次講座中就年、月、日的教學，提出了一個問題：“年、月、日是時間單位，也是一個度量單位，它是怎樣產生的呢？這應當成為學生首先明白的問題。”“一語驚醒夢中人”，于是，筆者對以上的教學設想產生了質疑：教學中是否“顧此失彼”了，只顧著靜態的結論性的數學知識的探究，而失去了對數學知識本源的探尋？

二、反思

在數學教學中，如何做到“彼此”能相對兼顧？對此，筆者有以下幾點思考。

1. 站在學生的角度，教什么，忌“因小失大”

站在學生的角度，反思案例1中學生出現的錯誤，筆者認為例題中呈現的“等號兩邊同時乘 ”這一方程的簡便解法干擾了學生對分數除法計算方法的理解，也干擾了學生對方程等式性質運用的理解。因此，在教學中，我們不能“顧此失彼”，更不能“因小失大”，既然有許多干擾，因此這種解法就可以舍去，直接讓學生先在方程的兩邊同時除以 來解。教學例題之后，教師可補充方程x÷ = 進行解法對比。

2. 站在學生的角度，怎樣教，忌“放任自流”

鄭毓信教授曾說，這正是當前應當注意糾正的一個現象：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！就π取值這個問題，學生不想、不思考，但作為教師的我們除了“傳達”教材對計算的要求降低外，針對學生計算中出現的“放任自流”式的錯誤，反思如對π的保留還是取值，取值時如何取、何時取等是否也缺失相應的預設，缺失深刻的理解。

（1）適量強化含有字母的運算教學，培養學生計算的習慣。在學生中，認為圓周率π就是3.14的不在少數。這從“圓的周長始終是它的周長的（? ? ）倍”這一填空中“管中窺豹，可見一斑”。因此，學生見到π，就想取值算出來或者計算過程中漏掉π的做法，也就不難理解了。在教學中，我們要適量強化化簡含有字母的式子的練習，讓學生感覺π在保留時，就如同字母一樣，可以寫在數的后面，參與運算。例如，8π+4π，10π-9π，16π÷4π，2×4π。

（2）適度改編習題的要求，培養學生的思維縝密的品質。翻閱五年級教材《圓》這一單元，例題和習題對π在計算中的取值要求并沒有區別，這將會給學生造成一種感覺：π就是3.14，這是一種錯誤的思維定式。此外，解決實際問題的時候，π取幾位小數是根據實際問題需要定的。例如，計算圓形籬笆和宇宙飛船的運行軌道的周長，其π的取值要求一定不同。因此，可以在習題的要求中附加π取值3、3.1等不同要求，以突破學生的思維定式，提高審題能力，培養思維的縝密性。

（3）適量融入實際問題的比較，培養學生的思維變通的品質。古語云：三思而后行。做任何事都要“先想后做”，尤其是聯系生活實際的解決問題，更要“聯系實際”，在方法上要甄別選擇，靈活變通。

第一，依據解決問題的實際需要，選擇π保留還是取值。例如，①一個圓柱形水桶，高6分米。水桶外圍的一圈鐵箍的直徑長5米。這個水桶的體積是多少？（水桶的厚度不計）②一個圓柱形水桶，高6分米。水桶外圍的一圈鐵箍大約長15.7分米。這個水桶能盛120升水嗎？（水桶的厚度不計）

從這組題的比較中，讓學生感悟第1題中的π可以保留計算;但第2題，底面直徑不宜用含有字母的式子來表示，而且水桶的體積用37.5π來表示，也無法和120直接比較。因此，π要取值3.14，計算出3.14×37.5=117.75（升）。

第二，依據題目的要求，選擇π保留還是取值。例如，①有一個近似于圓錐形的稻谷堆，底面直徑是6米，高是2米。如果每立方米稻谷大約重0.55噸，這堆稻谷大約重多少噸？②有一個近似于圓錐形的稻谷堆，底面直徑是6米，高是2米。如果每立方米稻谷大約重0.55噸，這堆稻谷大約重多少噸？（得數保留整數）

從這組題的比較中，讓學生感受到第2題，不僅要得到圓錐體積，還需要進一步得出稻谷的數量，可以在最后一步取值，進行計算。

在聯系實際解決問題中，筆者認為，π的保留在降低學生計算負擔的同時，對學生計算的習慣和思維的品質提出了更高的要求。通過對練習題組的改編和比較，培養了學生思維的縝密性和靈活性。

3.站在學生的角度，為什么教，忌“舍本逐重”

在《年、月、日》的教學中，只追尋靜態的重要的結論性知識的獲得，這明顯是不可取的。對于學生來說，知其然重要，知其所以然更重要。史寧中教授曾指出：“刻畫時間是人類迄今為止構建的最為重要的數學模型，其效能幾乎可以與火的使用、與文字的發明、與自然數的發明相媲美。”自然數的發明源于古人對于勞動成果計數的需要，而度量單位年、月、日的產生，源于古人對自然現象中規律的刻畫，也是古人為了區別一個個單調重復日子的方法。

對于年、月、日的產生，賁友林老師是這樣處理的：（課件與教師講述同時進行）古人生活在地球上，通過長期觀察發現“黑夜”和“白天”交替出現的規律，于是把黑夜、白天作為一個周期，就產生了“日”;看到月亮由缺到圓，由圓到缺，把看不到月亮，看到月圓作為一個周期，就產生了“月”;自然界中的樹木，先長出嫩葉，然后樹葉茂盛，接著變黃、葉落，樹葉從無到有，從有到無，可以作為一個周期，就產生了“年”。

在課件與講述并行的教學過程中，賁老師讓學生體會時間是關于過程的度量，更是讓學生明白時間單位年、月、日同計數單位一樣，如何在生活中“長出來的”，又是如何在數學中以數學的形式顯現出來的，達到知其然，更知其所以然。

反思教學中的“顧此失彼”現象，筆者不難發現，要想在教學中做到“彼此兼顧”，其實對教師的專業素養提出了更高的要求：不僅要讀懂教材，準確把握教材內容的深度，還要拓寬教材的廣度，更重要的是站在學生的角度去“思考”數學，我們的學生才可能真正做到“深度學習”，思維品質才能得到提升。

作者簡介：倪志敏（1976-），本科學歷，中小學高級教師，從事小學數學教學。