數形結合方法的解題探究與教學實踐

李立松

[摘? 要] 數形結合思想將數學中的“數”與“形”有機地結合在一起，對于知識的理解和問題的解答十分有利. 初中階段正是學生掌握數形結合思想方法的關鍵時期，對于該方法的教學不僅應滲透于具體的概念定理中，還應該結合具體的考題使學生掌握該方法的使用策略和精髓. 文章將分析數形結合方法在教學中存在的問題，并結合具體考題進行剖析，開展教學微設計，與讀者交流學習.

[關鍵詞] 二次函數;數形結合;教學;思考;實踐

問題的提出

在九年級“二次函數”的章節教學中，需要讓學生掌握二次函數的表達式，并能根據表達式繪制對應的函數圖像，掌握函數的圖像特點和對應的性質，其中隱含了數形結合的思想方法，即根據代數式聯想函數的圖像，根據圖像的特點助力表達式的分析，從而實現二次函數的數與形的多角度研究. 同時該思想方法也是突破中考二次函數壓軸題的重要解題方法，對透視考題結構，挖掘考題隱含條件，構建解題思路起著十分重要的作用. 但僅僅依靠教材概念講解難以使學生充分掌握數形結合方法解題的具體策略，因此十分有必要結合考題使學生明晰方法的思想核心和內涵.

考題的例析

數形結合方法作為突破函數問題的重要方法，表面上是“數”與“形”相互結合來分析問題，但細致剖析其核心內容可概括為兩點：一是以“數”思“形”，即根據函數表達式聯想具體的函數圖像;二是以“形”助“數”，即利用函數直觀圖像來分析表達式，確定問題的破解思路. 實際用于解題時就可以根據這兩點進行研究，首先根據題干關于函數圖像的信息繪制二次函數的圖像，然后通過函數圖像的特點來確定函數的性質，進而突破考題，以下面這道二次函數考題為例.

考題? 在直角坐標系xOy中，拋物線L的解析式為y1=ax2+bx+c（a≠0），L與坐標系的x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0），與y軸相交于點C，且O和C兩點之間的距離為3，x1·x2<0，x1+x2=4，而點A和C位于直線y2=-3x+t上.

（1）試求點C的坐標;

（2）若y1隨著自變量x的增大而增大，試求x的取值范圍;

（3）現將拋物線y1向左平移n（n>0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，再將直線y2向下平移n（n>0）個單位，若平移后直線與P存在公共點，試求2n2-5n的最小值.

突破解析：

（1）第一問求點C的坐標，題干中有兩個條件，一是點C是拋物線與y軸的交點，二是“O和C兩點之間的距離為3”，即OC=3，則OC=3或-3. 以“數”思“形”，可以此為條件繪制圖1所示的圖像，則可以確定拋物線有兩種情形：開口向上或開口向下;以“形”助“數”，可確定點C的坐標為（0，3）或（0，-3）.

（2）研究x的取值范圍，同樣可以采用以“數”思“形”到以“形”助“數”的策略，即首先結合C的分類情況確定拋物線的表達式，然后根據表達式繪制對應的函數圖像，最后根據圖像的單調性確定x的取值范圍. 考慮點C的坐標，分如下兩種情形進行討論：

①當點C的坐標為（0，3）時，點A和C均位于直線y2=-3x+t上，分別代入可得0=-3x1+t，

3=t，解得x1=1，

t=3，則點A（1，0）. 結合條件“x1·x2<0，x1+x2=4”可得x2= -3，進一步可確定點B（-3，0），從而可確定拋物線的解析式為y1=a（x-1）（x+3），最后將點C的坐標代入上式，可以確定拋物線的表達式y1=-x2-2x+3，可計算出對稱軸為x=-1. 根據其表達式可以繪制如圖2所示的圖像，圖像開口向下. 由圖像可知：當x<-1時，y1隨著自變量x的增大而增大，故x的取值范圍為x<-1.

②當點C的坐標為（0，-3）時，同理可確定拋物線的表達式y1=x2-2x-3，圖像的對稱軸為x=1，根據其表達式可以繪制如圖3所示的圖像，圖像開口向上. 由圖像可知：當x>1時，y1隨著自變量x的增大而增大，故x的取值范圍為x>1.

綜合上述情形的①和②，可知：當點C為（0，3）時，拋物線表達式的a=-1，x<-1;當點C為（0，-3）時，拋物線表達式的a=1，x>1.

（3）對于該問同樣需要考慮點C的坐標，通過分類討論確定拋物線的圖像，借助圖像確定最值.

①當點C為（0，3）時，a=-1，則y1= -（x+1）2+4，y2=-3x+3，y1向左平移n個單位，可得y3=-（x+1+n）2+4，y2向下平移n個單位，可得y4=-3x+3-n. 在圖4中分別繪制y1和y2的圖像，然后在圖5中繪制平移后的圖像，則區域P就是拋物線對稱軸左側的部分，要使直線與區域P存在公共點，則需滿足拋物線頂點P位于點Q之上，即x=1-n時，y3≥y4，代入可解得n≥1.

②當點C為（0，-3）時，a=1，則y1=（x-1）2-4，y2=-3x-3，對應可得平移后的表達式為y3=-（x-1+n）2-4，y4=-3x-3-n. 同樣繪制平移前后的圖像，如圖6和圖7，同理可確定區域P（對稱軸右側），存在公共點的條件為拋物線頂點P位于點Q的下方，即x=1-n時，y3≤y4，代入可解得n≤-1. 考慮到n>0，將其舍去.

綜上可知，n≥1，2n2-5n=2n-2-，定義域為n≥1，則n=時2n2-5n可取得最小值-.

在考題教學中可以進行對應的微設計，逐步引導學生掌握數形結合的解題策略，以上述考題的第（1）、（2）問為例：

1. 教學環節一：呈現題干，基礎分析

已知拋物線L：y1=ax2+bx+c（a≠0），與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），與y軸的交點為C，若點C到點O的距離為3，試求點C的坐標.

引導：利用代數式表示“點C到點O的距離為3”.

2. 教學環節二：深入研究，探究解析式

題干信息同上，若x1·x2<0，x1+x2=4，點A和C位于直線y2=-3x+t上，試求二次函數的解析式.

引導：①利用上述點C的坐標，結合條件“A和C位于直線y2=-3x+t上”求對應點A的坐標.

②結合條件“x1·x2<0，x1+x2=4”確定對應點B的坐標.

③利用點A，B，C的坐標求解拋物線的解析式.

3. 教學環節三：以“數”思“形”，構建函數圖像

利用上述拋物線的解析式，結合關鍵點繪制拋物線的圖像.

引導：根據拋物線的解析式，確定函數的對稱軸，然后分別標出圖像的頂點、與x軸的交點和對稱軸，進而繪制圖像.

4. 教學環節四：以“形”助“數”，研究取值問題

在上述條件成立的情況下，如果 y1隨著自變量x的增大而增大，則x的取值范圍為多少？

引導：根據具體的拋物線圖像進行研究，y1隨著自變量x的增大而增大，則表示需要取圖像上的單調遞增區間，根據函數的遞增區段來分析對應的自變量取值.

教學的思考

1. 立足考題教學，探尋著力點

數形結合思想是初中數學最為重要的思想方法之一，許多教師在教學中僅在函數的性質教學中進行了簡單的滲透，偏重于利用數形結合思想使學生理解具體的概念，但數形結合同樣是一種重要的解題方法和策略，掌握數形結合的方法對于提高學生的解題效率是十分有利的. 因此應該從方法的“概念教學”走向方法的“解題教學”，即結合具體的考題，通過對考題的細致剖析使學生充分體會數形結合思想的應用內涵，形成數形結合分析問題的意識. 將考題作為方法學習的著力點，不僅是提升學生綜合解題能力的應用要求，同時也是當下素質教育的發展要求，將概念與應用相結合可以使學生深刻體會方法的精髓所在.

2. 微設教學環節，體會應用思想

數形結合方法應用解題包含有兩層深義，一是以“數”思“形”，通過適度的運算來獲得關鍵的數據，結合數據來構建圖像;二是以“形”助“數”，充分利用圖像的直觀性，明確圖像結構，透視考題本質，探尋問題解答的途徑，即利用圖像的性質來探究數學規律，使復雜的代數問題轉化為與圖像性質相關的問題. 考慮到學生的理解能力，為使學生充分掌握該方法的解題策略，進行考題教學時要合理的采用教學微設計的方式，將復雜的綜合問題拆分為多個簡單的問題，然后通過對幾個分問題的引導使學生掌握數形結合分析問題的具體步驟. 如上述考題的微設計，首先利用分問題引導學生進行數據分析，利用數據來繪制函數圖像，然后利用圖像來簡捷地求解問題，這樣的方式不僅有利于學生理解方法的應用性，還可以培養學生的邏輯思維.