落實“問題導學”五環節，培養學生數學核心素養

欒功

[摘? ?要]新一輪的課程改革明確指出“課堂教學要融入學科核心素養的培養”.“問題導學”教學法為落實數學核心素養的培養提供了理論依據和操作方法.基于“問題導學”法，以《空間向量的應用——距離的計算》為例，著重落實“問題導學”五環節的教學設計，從而培養學生的數學核心素養.

[關鍵詞]問題導學;核心素養;空間向量

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0038-02

2018年12月，在廣西桂林市舉辦了第九屆高中青年數學教師優質課展示活動.這次活動中，章建躍博士指出：“要以新課標研讀為核心，加強學習，領會新一輪課改的精神，明確課改方向，掌握培養學生數學核心素養的方法策略，努力使數學核心素養的培養融入日常教學中.”筆者有幸代表廣西參加了組委會指定課題《空間向量的應用——距離的計算》的優質課展示.筆者基于“問題導學”的教學設計得到了評委和學術委員會的高度評價，“問題導學”教學法為落實數學核心素養的培養提供了理論依據和操作方法.

《空間向量的應用——距離的計算》是學生在學習了空間向量及其運算，并應用向量的方法解決有關空間位置關系和夾角問題后，所進一步學習的立體幾何中的向量方法，它是前面內容的延展與深化，進一步滲透了數形結合思想，很好地闡釋了中學數學“數量關系→空間形式→數形結合”的學習主線.本課蘊含了豐富的數學價值和思想方法，能很好地培養學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.本節課，筆者采用“問題導學”教學法，讓學生盡快地進入情境，主動參與提出問題和探索問題的過程，通過問題驅動、自主探索、合作交流形成概念，并逐步深化概念.以下是本節課“問題導學”五環節的教學設計.

一、新課引入

問題1：觀察加油站的設計圖，你能提出哪些距離問題？

新課引入是學生對一節新授課的第一印象，引入應力求自然合理，同時讓學生對新知識感到好奇，產生強烈的探索欲望.本課中，筆者通過學生熟悉的加油站這一具體實例引入抽象的距離問題，調動學生學習數學的積極性，在引出課題的同時培養了學生直觀想象和數學抽象等核心素養.

二、概念形成

“概念形成”是這節課的重點，它對學生構建自身的認知結構起關鍵作用.這一環節的主要任務是讓學生理解概念形成的合理性，理解知識發生發展的過程.為了讓這個過程更簡潔地呈現給學生，筆者設置了問題2和問題3.

問題2：設直線[l]是過點[P]平行于向量S的直線，[A]是直線外一定點，請嘗試用向量的運算求解點[A]到直線[l]的距離.

問題3：類比點到直線距離的向量求法，求解平面[α]外一點[P]到平面[α]的距離.

在這一環節中，教師不能急于講述公式，應引導學生思考怎么賦予幾何條件向量的意義，如何用向量的運算求解距離，為什么要把距離問題轉化為向量的運算.這個過程要展示知識的生成、發展過程，暴露學生的思維過程.于是，筆者設置了第一個任務“結合你的課前研究進行小組交流分享”，學生在交流的過程中提出了很多種想法，有給直線作垂線的，也有用正弦值計算的.這些思考都符合學生的實際.在小組交流的過程中，學生最終達成共識：刻畫直線還是用方向向量最為方便，用向量的投影計算距離更為便捷.以下是學生的討論和展示.

生1：作直線的法向量，利用投影可計算.

生2：對直線而言，方向向量更為簡潔，可用方向向量解決問題.

師：若用方向向量解決問題，直線[l]上的點[P]可以移動嗎？方向向量的方向會影響結果嗎？

生3：點[P]的選擇是任意的，無論點[P]在哪里選取，按照向量的運算結果，距離都是唯一的，把幾何問題轉化為代數運算，可以更好地解決一些復雜的幾何問題.

有了解決問題2的基礎，學生很容易類比模仿問題2的方法解決問題3，學生在解決相似問題的過程中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想方法.

教師可讓學生經歷數學知識的發生發展過程，給學生提供探索、概括的機會，讓學生感知用向量求解距離問題合情合理，并通過“自主探索——小組交流——分享展示”等數學活動來培養學生的邏輯推理、數學運算等素養，提升學生的歸納、概括與交流能力.

三、概念深化

問題4：用向量法求解距離問題時主要有哪幾個要素？本質是什么？

問題5：用幾何法和向量法分別求解正方體[ABCD-A1B1C1D1]（圖1）中的各個距離：

（1）點[M]到平面[ACD1]的距離;（2）點[C]到平面[AMD1]的距離;（3）點[C1]到平面[AND1]的距離.

概念深化是這節課的又一個重點，也是一節新授課的靈魂，它直接影響學生能否以更高的觀點去看待問題的思維品質的形成。以往在這一環節的教學中，教師都是在講完公式后直接給出題目讓學生練習公式的應用.這樣處理，沒有發揮教材的作用.為了探尋點線、點面距離的向量計算方法的本質，筆者設置了問題4和問題5，引導學生挖掘概念的內涵與外延，一起總結歸納向量計算方法的要素，突出概念的本質特征.這對學生來說是一種更高層次的思維訓練，對學生數學核心素養的培養起到助推的作用.

四、應用探索

“應用探索”這一環節的主要任務是例題的講解、拓展和探究，這是數學中強化新知學習、展示數學思想方法、培養學生能力的重要載體.對此，筆者分層設置了兩個例題.

[例1]如圖2， 四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的底面[ABCD]是正方形，[O]為底面中心，[A1O]⊥平面[ABCD]，AB=AA1=[2].

（1）求點[A]到直線[OB1]的距離;（2）求點[D]到平面[OCB1]的距離.

[例2]如圖3，正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱長為1，[M]、[N]分別是[BB1]、[B1C1]的中點.

（1）求直線[MN]到平面[ACD1]的距離;

（2）若[G]是[A1B1]的中點，求平面[MNG]與平面[ACD1]的距離.

例1主要考查學生能否運用向量法解決點線距離、點面距離，體會向量法的優點，進一步鞏固向量法求解距離問題的一般思考程序;例2在學生熟悉的正方體中考查了線面距離、面面距離，要求學生能靈活運用向量法，把復雜陌生的問題轉化為簡單熟悉的問題，進而達到培養學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養的目的.

五、總結歸納

問題6：圍繞本課內容及反映的數學思想，以知識發生發展過程為線索，請你用自己的語言歸納本課所學內容，提煉思想方法，總結學習經驗.

生1：這節課，我學會了求解點到直線的距離和點到平面距離的向量方法和基本步驟.

生2：在方法上有了更多的選擇，幾何法和向量法哪個容易就用哪個.

生3：思維上看，向量法是把幾何運算變成了代數運算，用代數方法可以解決更復雜的幾何問題.

設置問題6，學生通過交流與反思，運用自己的語言解釋和交流數學概念、應用和思想方法，并能對幾何法與向量法進行比較評價，進一步培養了數學思維和數學素養.

綜上，“問題導學”教學法下的教學設計，課堂主線清晰，課堂結構完整，以問題驅動數學活動，讓學生經歷完整的知識發生發展過程，不僅能很好地培養學生的數學核心素養，更能讓教師有了具體的操作方法.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

黃河清.高中數學“問題導學”教學法[M].北京：教育科學出版社，2013.

（責任編輯 黃春香）