我國目前數學推理研究綜述

仲秋月

[摘 要]推理是數學的基本思維方式，也是數學的核心素養之一。通過收集大量與數學推理教學相關的文獻資料，進行整理、比較和分析，從數學推理的內涵、數學推理的分類、數學推理的教育價值、數學推理的教學研究以及對數學推理的研究展望這五個方面，闡述了未來研究應該注重科學規范地教學合情推理、演繹推理，加強對合情推理與演繹推理教學的分析與研究，積極開展實證性研究和評價研究等。

[關鍵詞]數學推理;研究綜述;演繹推理;歸納推理;類比推理;合情推理

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識確定為十大核心概念。高中數學課程標準修訂組將數學核心素養分解為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個方面。林崇德教授認為，高中數學課標組對數學核心素養的解讀也是小學數學核心素養的根本依據。因此，培養學生的數學推理將有效促進學生數學核心素養的發展，這已成為近幾年數學教育界的一種共識。本文將對中國當前數學推理研究進行一次全面綜述。

一、數學推理的內涵

推理是由已知判斷（前提）推出未知判斷（結論）。

曹培英曾說：“推理是人們學習、工作和日常生活中經常進行的一種思維活動，歷來是邏輯學、心理學以及認識論研究的重要對象。”邏輯學稱之為“思維形式”，心理學更愿意將它看作“思維過程”，認識論則進一步認為推理僅是對人類抽象思維一個方面的“單純模擬”，因為人的真實思維，總是多種心理因素的綜合活動。“推理”是一種思維活動，“能力”是使某種活動順利完成的個性心理特征，那么“推理能力”就可以解釋為“順利完成推理的個性心理特征”。

吳宏在《推理能力表現：要素、水平與評價指標》中指出，數學推理是數學的基本思維方式，不能等同于純演繹的邏輯推理。從邏輯學角度來看，數學推理分為論證推理和合情推理，結合方法論，觀察、實驗、聯想、猜測、直觀、推廣、限定、抽象等科學發現手段也屬于合情推理范疇。吳宏還進一步指出了一般推理和數學推理之間的關聯：一般推理可能是模糊的、不精確的，會導致不明確的結果，從而出現有偏差的行為。

二、數學推理的分類

課程標準指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理。”曹培英認為，推理具有多樣性，可以根據不同的標準進行分類，比較常見的分類如圖1所示。

演繹推理是從一般到特殊的推理，即從一般性知識的前提推出特殊性結論，因而是必然性推理。演繹推理模式由三部分組成，叫作“三段論”。大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情況，結論是根據一般原理，對特殊情況作出判斷。有時為了簡化，也可以省略大前提。王永春在此基礎上將演繹推理細分為三段論、選言推理、假言推理和關系推理。合情推理是由已有事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果的推理形式。

歸納推理是從特殊到一般的推理，即從特殊（個別）性知識的前提推出一般性結論。歸納推理可以根據前提所考察對象的范圍，分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類事物的全部對象，無一例外，它也是必然推理;不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對象，由此推出的一般結論，可能真，也可能假，它也是合情推理。

在此基礎上，還可以根據前提是否揭示了對象與其屬性之間的因果聯系，把不完全歸納推理細分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理。簡單枚舉歸納推理是根據某類事物的部分對象有無某種屬性，考察中沒有遇到相反的情況，從而推出該類全部對象有無某種屬性的歸納推理。科學歸納推理是指在考察（觀察或實驗等）某類事物的部分對象的基礎上，通過分析找出原因，以此為依據，由點及面推出結論的推理方式。對簡單枚舉歸納推理而言，前提所考察的對象數量盡可能多一些、全面一些，有利于提高結論的可靠性;但對科學歸納推理而言，前提所考察的對象數量的多少對結論的可靠程度不起主要作用，只要是真正揭示了對象預期屬性之間的因果聯系，“知其然”且“知其所以然”，即使前提所考察的對象數量不多（甚至只有一個），也能得到較為可靠的結論。

類比推理是由特殊到特殊的推理，即以兩個或兩類對象有部分屬性相同為前提，推出它們的其他屬性也有相同的結論，也稱類推。

不完全歸納推理和類比推理屬于或然推理、似真推理，因為它們常常看似合情合理，卻可能導致錯誤的結論。課程標準指出：“在數學里，常常依靠合情推理發現結論、探索證明思路，然后通過演繹推理證明結論。”

值得一提的是，連四清、方運加對合情推理模式進行了辨析，他們指出：“在數學和數學教育的發展歷程中，演繹推理和歸納推理的作用一直都是非常關鍵的。”數學研究表明，兩者相互關聯、融合一體地發揮作用，這是數學發現與創造的真諦。因而，數學教學過程中，教師強調對學生歸納推理和演繹推理能力的培養，確實是充分發揮數學育人功能的關鍵所在。更進一步，只有充分強調歸納推理和演繹推理的聯系與綜合，才能把培養學生靈活運用歸納和演繹推理解決數學問題的能力放在核心地位，才能高效地推動學生數學能力的發展。

三、數學推理的教育價值

殷嫻在《小學階段數學推理目標實施綜述》中梳理了我國數學推理課程目標的演進歷程，指出數學推理能力的培養一直是小學數學教材的主線，貫穿于各年級數學教學的始終。課程標準指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式……在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。”推理不僅促進人的思維的發展，同時促進數學的發展、推動科學的發展。推理能力的發展對于個人與社會的發展都有著重要的意義，許多專家學者都給出了這樣的論斷。

史寧中教授認為，數學具有邏輯性，從假設前提出發，通過推理得到數學的結果，推理促進了數學內部的發展。

曹培英認為，推理的本質功能在于生成新結論、推出新知識，因而它是如此重要。我們可以這樣說，沒有推理，就沒有今天的數學，同樣可以說，沒有推理，就沒有真正的數學學習。

王瑾認為，小學生通過歸納推理認知數學規律、形成數學概念，從而構建數學知識體系，又通過歸納推理解決問題。因此，歸納推理是小學數學中提高兒童數學素養，特別是培養創新精神的重要的內容。小學數學中的列舉推理往往是在具體情境中，根據對象的外部特征作出一定結論的，解決“是什么”的問題。然而，科學歸納推理是通過發現對象與屬性之間內在的本質聯系來說明和解釋規律，獲得解釋一般結論的內在依據，也就是解決“是什么”和“為什么”的問題，具有一定的抽象性。列舉推理使學生“知其然”，而科學歸納推理不但使學生“知其然”且“知其所以然”，特別有助于學生對所學知識的實質理解，有利于學生養成科學分析的習慣。

綜上所述，無論是從個別現象出發抽象其共性總結出一般的結論的歸納推理，還是通過條件預測結果以及由結論探究成因這類從特殊到一般的推理，都能夠發現新的“知識”，雖然這種“知識”具有或然性，卻是數學創新的根本。數學直觀、聯想與發現并不是“學到的”，而是在伴隨數學推理的過程中“生長而來的”。推理是學生數學學習和解決問題過程中不可或缺的基本思維方式，也是創新能力發展的根本。

四、數學推理的教學研究

課程標準指出：“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。”

徐斌艷在《數學推理活動在數學教育中的意義》中指出：“學生數學學習的基本過程是類比式的推理。”培養學生數學學習中的類比推理可以從明確數學類比物、鼓勵學生探測問題結構、在活動中強調類比推理的過程等方面入手。

曹培英在《跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（上）（下）》中提出，小學數學學習合情推理多于演繹推理、小學數學蘊含著很多有待發掘的演繹推理、“猜想→實驗→說理”過程能使合情推理與演繹推理相輔相成;培養小學生的推理能力應從重視知識的理解、鼓勵學生猜想、啟發學生說理、充分利用直觀、“數、形、事”結合、適當開展推理訓練、培養良好的思維習慣、增強教師自身的素養八個方面入手。他在《小學數學合情推理的教學研究》中以實際的題例說明了怎樣培養學生感悟合情推理的或然性以及怎樣啟發學生確認合情推理的結論。

王瑾在《小學階段數學歸納推理課程的實施研究》中指出：“歸納推理的學習應該是一個貫穿整個小學階段的認知活動。”小學數學的歸納推理除了關注列舉推理以外，還應該在適當的時期增加對科學歸納推理的重視。具體而言，根據兒童的認知發展特點，在小學低年級數學教學中應側重于幾何形象的、直觀的、數量相對較少的數學對象，側重于外部關系的內容;小學中年級要注意由直觀形象的水平向抽象本質的水平過渡;小學高年級可以選擇數量相對較多的、抽象的數學對象，側重于內部關系的內容，同時注意討論數學對象與屬性之間的因果關系。他將小學歸納推理的教學大致劃分為有關系的四個階段：前歸納階段、歸納推理的初級階段、歸納推理的完善階段、歸納推理的前演繹階段。

黃偉星在《小學數學教學中要處理好合情推理和演繹推理的關系》中提出，加強教學設計中的分析判斷發展學生演繹推理能力，通過歸納和類比猜想探尋數學規律發展合情推理能力，通過正反兩方證明數學規律，使合情推理與演繹推理相輔相成、兩種推理能力協同發展，對激發學生的創新精神，培養學生的創造能力有很大幫助。

王永春在《小學數學思想方法的梳理（四）》中對小學數學中推理思想的應用進行了初步的梳理，并通過實例介紹了一些推理能力教學的方法。

對合情推理做過教學實踐研究的還有貢紅娣、李艷梅、王秋歌，梁仁東等;對演繹推理的教學展開分析與討論的有郭玉俠、吉智深、劉霞非，吳敏、周正文，王俊等;對類比推理進行教學研究的有卞愛存、劉德宏、顧曉東、許盛文等;討論合情推理與演繹推理教學關系的有魏常春、張德勤等。

值得一提的是，在課程標準頒布的早期，曾有學者提出演繹推理能力的培養至關重要。如，徐斌艷、寧連華都在各自的文章中表達了斯滕伯格的觀點：數學推理的三個方面——分析性推理、創造性推理和實踐性推理同時起著重要作用。其中，分析性推理側重于演繹式邏輯分析，創造性推理側重于發現與猜想的活動過程，而實踐性推理是指在真實、具體的問題情境中，推斷、規劃解決問題的方法。分析性推理依舊是數學推理的基本要素，因為分析性推理在某種程度上對創造性推理和實踐性推理具有明顯的推進和制約作用。進而指出，數學教學中對學生推理能力的培養要立足于演繹推理的培養，同時發展學生合情推理、實踐性推理等能力。

五、數學推理的研究展望

通過文獻研究，我們能夠基本了解我國目前數學推理的研究概貌。可以知道，數學推理對數學教育和學生智力發展意義重大，是數學的核心素養，也是個人發展的基本素養。然而，數學教育理論研究方面和數學教學實踐方面都存在著很多難題，使得推理能力的培養無法真正落實到數學教育教學實踐中。筆者認為，我們的研究工作還應從以下方面展開。

1.數學合情推理的教學應科學規范

合情推理包括不完全歸納推理、類比推理、統計推理等。這些推理均具有或然性，它們的結論可能是正確的，也可能是錯誤的。然而，在實際教學中，由于合情推理的結論多數是人類已經形成的數學知識，學生所經歷的只是一個“簡化版”的“數學再創造”過程。學生在經歷了較多這樣的“結果一定正確”的合情推理之后，自然會對合情推理產生錯誤認知，即“合情推理的結論都是正確的”。同時，教師教學時也會因此弱化合情推理的過程，甚至出現“非邏輯的自由聯想”或“想當然”地得出結論，等等。如何改變合情推理的學習過程與教學設計？怎樣讓學生認識到合情推理的或然性？應為學生提供怎樣的合情推理的題例？合情推理的教學過程如何展開？如何做到科學規范？怎樣讓學生確認不完全歸納推理的結論是正確的？如何通過合情推理能力的培養提高學生的創新意識與創新能力？

2.數學演繹推理的教學應予以重視

在現行的課程標準引領下，我國的數學推理教學已由原先的強調邏輯推理，逐步轉向對合情推理的重視，出現了一定的淡化邏輯推理的趨向。這一點，從研究合情推理和演繹推理的文獻資料比例上就能看出。

從課程標準關于“數學推理”的課程目標可知，第三學段中明確“體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理”。事實上，演繹推理并不是到了第三學段才開始被學習與運用的，在第一、二學段也蘊含著很多有待發掘的演繹推理。研究數學推理，需要研究演繹推理的內涵，研究演繹推理的主要類型，研究蘊含演繹推理的例題與習題，研究小學數學學習中如何滲透演繹推理，研究初中數學學習中如何運用演繹推理證明的過程，研究演繹推理對促進學生邏輯思維能力發展的影響與作用……

3.加強對合情推理與演繹推理教學的分析與研究

合情推理與演繹推理在數學學習與解決問題的過程中是相輔相成、無法截然分開的。合情推理用于探索思路、發現結論，演繹推理用于證明結論。兩者相結合的推理教學無疑是學生數學推理能力培養的關鍵。教師應著重研究兩者結合的典型教學內容，研究數學教材中兩者結合的數學推理在不同數學內容領域中的分布，研究這一數學推理內容的教學策略，研究數學推理與數學抽象、數學建模之間的關系，等等。

4.開展實證性研究和評價研究

關于數學推理的理論分析和教學實踐的文章并不多，尤其是實踐定量分析的文章非常少，而有關數學推理評價方面的文章更是無從搜索。因而，我們需要多進行數學推理的評價研究和實證性的量化研究。實證性的量化研究可以研究學生數學認知活動及解決問題中推理能力、數學推理能力形成的基本過程等的發展因素、數學推理發展與數學學習水平的相關性，等等。

課程標準關于推理能力的要求在不同學段呈現不同的水平層次差異，然而因為當前的課程標準關于數學推理能力要求包含于數學思考表述中，表現在較多地關注數學思想方法和觀念，對學生數學推理能力表現的標準是不具體的、籠統的，推理能力表現的變化性和差異性沒有得到足夠的重視。在研究數學推理的過程中，我們應對推理能力的發展提出更為明確的要求。如，怎樣引導學生獨立思考？如何才能比較清楚地表達自己思考的過程和結果？作為中小學生數學學習的核心能力，推理能力在不同年齡和學習水平上具體有哪些差異性？怎樣的思考才是“有條理的思考”？發展合情推理和演繹推理的能力應達到怎樣的程度？如何判斷學生形成了某種推理能力，其表現指標和項目是否有差異？具體評價指標是什么？等等。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（上）[J].小學數學教師，2014（Z1）.

[2] 曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（下）[J].小學數學教師，2014（9）.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4] 黃偉星.小學數學教學中要處理好合情推理和演繹推理的關系[J].小學數學教師，2014（2）.

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點自籌課題“基于學科關鍵能力發展的數學核心內容教學設計研究”（課題編號：B-b/2018/02/07）成果。]

（責編 李琪琦）