親歷過程 旨在深度理解

李紫婷

摘 要：數學理解是數學課程學習的教育目標之一，是希望學生在掌握數學知識的基礎上，能從數學角度去思考問題、理解問題、解決問題，進而鍛煉思維、只有深刻理解了知識，把握其本質屬性，才具有遷移和應用知識的活性。數學理解是一切數學思維的基石，教學中教師可以通過多種方式促進學生的數學理解，教師應設計益于學生思考的活動，幫助學生積累思維經驗，感悟數學思想。

關鍵詞：小學數學;代數思想;數學理解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在實施建議中指出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的聯系。學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固深化。”筆者于2008年和2017年分別執教了“字母表示數”這一節研究課，先后兩次教學，由于教學目標的定位不同、教材的處理和教學思路的設計不同，教學效果也隨之不同。本文試圖通過兩次教學實踐的課堂變化來思考如何促進學生深度理解字母表示數和數量關系的作用和意義。

2008年，筆者第一次執教的基本思路為：首先以失物招領有a元的錢包的生活情境導入，引入字母表示數;然后，體驗探究，猜老師年齡和求擺三角形的小棒數，感悟用含有字母的式子表示數量關系和計算公式;自學掌握簡寫規則;最后總結提升，用數青蛙兒歌和數學日記練習來鞏固拓展。教學重點在于不斷地強化字母表示數和數量關系的方法，課后反饋中學生會用字母表示一般的數，但對用字母表示數量關系仍不知所以，學生對字母表示數“符號化”的實質存在理解障礙。

2017年，學校課題研究中，筆者第二次執教，具體、生動的數學活動依然在，豐富的體驗依然有，但重在讓學生經歷和體驗用字母表示數的代數思想和價值，重在深化學生對字母表示數的方法的理解過程，培養學生的數感、符號化思想、推理能力及建模思想。

【第二次執教】

活動一：數青蛙（感受代數思想）

（課件出示一個池塘的圖片和數青蛙的兒歌，出示的青蛙越來越多，速度越來越快，學生出現難以表達的狀況時）

師：可以用一句話概括這首數青蛙兒歌嗎？課件出示：（? ）只青蛙（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿。

生1：無數只青蛙無數張嘴，很多只眼睛很多條腿。（生笑）

生2：n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿。

師：這種方法好嗎？

學生在評價中明白：在同一個問題中，一個字母只能代表

生3：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。

師：這里也有數學規律，就是青蛙的眼睛數、腿數與只數的倍數關系，知道b是表示多少個a嗎？c又是表示多少個a？

生3：b表示2a，c表示4a。（教師板書：b 2a，c 4a）

師：不錯，這位同學你來說說？（指生3）

生3：a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿。

師：我非常欣賞大家能大膽地亮出自己的見解，能不能說說你們的想法？

生2：因為青蛙的只數、嘴的張數、眼睛只數和腿的條數都是不確定的，我就都用字母來表示。

生3：我發現這里面有一定的規律，青蛙的只數和嘴的張數是一樣的，而眼睛的只數是青蛙只數的2倍，腿的條數是青蛙只數的4倍。

師：哪種方法能讓我們更清楚地看出數青蛙兒歌中的數量關系？

生4：a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿。

師：看來用字母可以表示數，也可以表示倍數關系。

課件顯示：池塘里的青蛙換成鴨子。（? ）只鴨子（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿。

師：你們都會讀這首數鴨子歌嗎？比一比，哪組最快用一句話概括這首鴨子歌？

……

活動二：猜年齡（體驗代數價值）

（一）用字母表示不確定的數

師：我們玩個猜年齡游戲，我有一個鄰居叫莉莉，她幾歲了？

生：沒法猜。

師：可以用什么符號來表示莉莉的年齡？（學生說出不同的字母、符號。）

師：同學們說的表示方式很多，對于一個不確定的數量我們通常用字母來表示。（板書課題）

師：那莉莉的年齡我們用a來表示。我還有鄰居叫明明，怎么表示他的年齡呢？

生：b歲。

師：能不能還用a歲來表示？

生：不能，重復了。

師：這里我們應該用不同的字母表示不同的數。如果明明比莉莉大6歲，怎樣表示明明的年齡？

生：（a+6）歲。

師：我們比較一下，b和（a+6）哪個更好？為什么？

生：a+6表示得更清楚，更容易看出明明比莉莉大6歲。

（二）感受字母a的取值范圍

師：當莉莉a歲時，明明是（a+6）歲。那么，a可以表示多少歲呢？莉莉10歲時，明明是16歲;莉莉100歲時，明明是106歲;莉莉200歲時……

生：哇！怎么可能。（眾生笑）

師：為什么笑？

生1：目前來說，人不可能活到200歲。

生2：這里的字母a不能表示200。

師：這位同學說對了，a在表示人的年齡時，就要有一定的范圍。看來，我們用字母表示數，有的時候可以表示任意的數，有時會表示有一定范圍的數。

（三）用字母表示數量關系

師：如果笑笑的年齡是莉莉的4倍，笑笑的年齡可以怎樣表示呢？

生：（a×4）歲。

師：這三人誰的年齡最大？誰的年齡最小？跟你小組里的同學討論一下。

生1：莉莉是最小的，明明年齡最大。

生2：好像不一定，有時候明明大，有時候笑笑大。

生3：莉莉2歲時，笑笑和明明一樣大。

師：看來答案不確定，用字母表示他們的年齡就充滿了變化。

活動三：魔術盒的秘密（感受代數思維）

師：我們玩個魔術，如果我在魔術盒的左邊輸入一個數，經過魔力變化后會在右邊形成另外一個數，我們試一試，誰來報幾個數……

（生分別報了3、10、7，變化后分別是7、21、15。）

師：（學生報第三或第四個數時）剛才我還沒有經過魔力變化，有些同學已經說出魔力變化后的數了，難道你們發現了其中的奧秘了么？它的奧秘是什么？

生：原來的數的2倍再加1就可以得到變化后的數了。

師：你能不能用一個式子概括出這樣的關系？

生：我們可以用2x+1。

師：對，2x+1還可以表示數量關系。x是30時，2x+1也可以表示具體的數。

【啟示與思考】

一、親歷過程積累思維經驗，促進深度理解

鄭毓信教授說：“數學核心素養的基本涵義就在于，我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并能使他們逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”數學的深度理解終歸是思維的活動，核心素養下的課堂教學應關注學生思維的發展，教學過程應引導學生親歷數學活動積累思維經驗。兩次執教都有猜年齡的活動，由第一次執教的猜老師年齡改變為讓學生猜莉莉、明明和笑笑三人的年齡，從字母可以表示數到表示數量關系，由易到難，逐步深入，順應學生的思維規律。筆者不斷地帶領學生經歷與體驗字母表示數的現實需要，并有意識地應用字母解決實際生活中的問題。讓學生交流自己的想法，探討字母分別表示什么，字母所表示的數在實際情況中的取值范圍。學生充分發表見解，在觀點辯論、思維碰撞經歷知識形成的過程中筆者順勢捕捉課堂生成加深對問題本質的理解。接著，筆者設計了“比較三人年齡大小”的學習活動，讓學生在思考中自發地進行“代入求值”，充分體會到隨著莉莉年齡的變化，明明和笑笑的年齡也隨之變化。學生親歷這一認知過程感受到用字母表示數的簡捷方便，也充分體驗到了從算術思想到方程思想的轉變。這樣重視學生經歷和體驗過程的教學，積累了學生理解字母表示數的思維經驗，順利地構建從數字表示、語言概括到符號語言的轉換流程，建立初步的符號感，完成了學生從算術思維向代數思維的轉變，直接促進了學生的深度學習、深度理解。

二、引領學生感悟代數思想，助力深度理解

第二次執教從學生的認知、情感發展角度，從思維能力的形成角度設計了層次清晰的學習體驗活動。數青蛙活動中筆者引導學生思考與分析：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿，讓學生充分理解這樣的表示方法，雖然都是用字母表示數，但無法表示出其中的數量關系，從而實現語言概括到字母表示的對比、過渡和加深，還讓學生進一步體驗符號語言的概括性和優越性，體會了字母表示數的代數價值。接著，讓學生比一比誰能最快用一句話概括念不完的鴨子歌。學生帶著競賽的意識在新的素材中自己發現問題，自己解決問題，從中再次切身體驗數學中字母表示數的奧妙。這樣設計符合學生的認知特點，使他們進行自主探究與合作交流，親自體驗規律的形成與論證過程，不斷加深學生對字母表示數的方法的理解。

魔術盒本身就是蘊含函數思想的一個載體，學生對探尋魔術盒的奧秘充滿了向往，對魔術盒中的數在多媒體課件中發生的變化進行記錄，借助直觀的數據記錄，學生很自然地去思考魔力在哪。讓學生在玩中探索、驗證魔術盒奧秘的過程，其實就是學生在經歷思考不斷探究數字入與出之間的對應關系中，提煉出始終不變的數量關系，進一步體會到用字母表示數的簡單易行。具有思維性的數學魔術盒游戲讓學生心中有“數”，玩中有“學”，深深體會到代數的魅力，理解代數的價值：“數學就是在研究世界不變的關系”“用字母表示可以把生活現象變簡單”等，學生感受到的是深入理解數學的過程，是一種代數思想美妙的呈現形式。

參考文獻：

鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”[J].數學教育學報，2016（3）：1-5.

編輯 郭小琴