初談開展“數學寫作”活動的實踐研究與思考

史嘉

【摘?要】?以“數學寫作”為抓手開展深度教學實踐研究.根據數學學習過程和層次，把“數學寫作”理念下的數學學習劃分為五類：數學現象與問題，數學探究與思考，數學概念與方法，數學解題與應用，數學反思與拓展.結合教學實踐展開案例分析，總結實施策略，反思研究存在的問題.

【關鍵詞】?核心素養;數學寫作;深度學習;案例分析

引?言

研究基于2017版《普通高中數學課程標準》主題學習和項目學習理念，依托安徽省與亳州市兩項課題，重點在日常教學中開展數學寫作活動（兼有“數學寫作”學生社團）.本文從數學現象與問題、數學探究與思考、數學概念與方法、數學解題與應用和數學反思與拓展五個角度結合教研案例探討開展“數學寫作”教學實踐的途徑和策略.

1?提出課題

2017年版《普通高中數學課程標準》要求“（數學教育）提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.”“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，”要求以課題研究或主題學習的形式進行研究性學習，撰寫研究報告或小論文，并作為過程性評價的形式之一[1].

在此背景下開展數學寫作研究，促進學生對數學的廣泛閱讀和深度理解，鍛煉用數學語言精致表述，指導教師調整教學策略、改進評價方式，發展學生的數學核心素養等方面提供一個具有可操作性的研究途徑.

2?研究形式

本研究基于省、市兩級課題依托課堂教學和學生社團等多種形式開展實踐研究，課題研究的目標是實現教師深度的教和學生深度的學.具體研究框架、研究形式和實施過程如結構圖1所示.

“數學寫作”學生社團主要是根據學校統一安排以講座和活動的形式在社團內開展，同時配合學校文化藝術節組織數學征文、創意設計等活動.而課堂形式則是每周一次，固定在周四下午第四節課，根據教學進度，精選一個主題，先試做后講評，當堂寫作，第二天上交.批閱后，選擇較好的作品復印展示.

另外，我們會選擇有新意、有價值的文章進行指導再修改，參加“數學寫作”學校聯盟和《數學通訊》等組織的學生數學小論文競賽活動，力爭推薦發表.3?概念界定

本研究的核心概念有數學寫作和深度學習.深度學習是研究的指導思想和最終目的，數學寫作是實施研究的主要抓手和切入點.

3.1?數學寫作

20世紀60年代的美國教育界關注到寫作與學習的密切關系，于是誕生了“貫穿于課程的寫作” （Writing across the Curriculum）運動.90年代后，越來越多的數學教師開始在課堂上實施“通過寫作來學習”（Writing-to-learn，簡稱WTL）的活動，他們認為寫作是一種極有價值的工具[2].

在國內，21世紀初也掀起“數學寫作”的熱潮，寫作形式多樣，內容豐富.如，劉艷云和黃杏芳的“數學日記”，王仲英和曹一鳴的“數學周記”，馬岷興和王珊的“數學作文”，羅強、劉東升和倉萬林的“數學小論文”等，都是數學寫作的不同形式.

通過梳理國內外文獻，課題組認為數學寫作是以過程為目標的學習活動，指學生將對數學概念的理解、對解題過程的回顧、對解題方法的提煉、對學習方法的總結、對考試前后的反思等形成文字的一種學習過程.

顯然，通過寫作能促進學生對數學知識、思想和方法的系統思考、深入理解，并建構數學知識網絡.可見，基于數學寫作的學習指向數學本質[3]，具有“元認知”的成分.

3.2?深度學習

深度學習的概念源于人工智能領域，是一種算法思維.1976年，瑞典學者馬頓和薩爾喬首先提出深層學習（Deep Learning）的概念，認為學生學習結果有不同水平，與其在學習過程中采取了不同學習過程和學習策略以及理解和記憶的方法有密切關系.加拿大學者艾根領銜的“深度學習”（Learning in Depth）項目探討了深度學習的方法等[4].

安福海[5]認為，深度學習是一種基于高階思維發展的理解性學習，具有注重批判理解、強調內容整合、促進知識建構、遷移運用等特征.

吳永軍說：“在特定的社會文化情境中，學習者在與他人互動以及環境互動中，關注知識之間的有機聯系，最終能夠遷移并能夠解決實際生活問題的意義生成的過程[6].”就數學深度學習而言，馬云鵬[7]認為，數學深度學習是基于數學學科核心內容，組織學生在深度探究中發展的有意義的學習過程.

本研究認為深度學習是在理解性學習的基礎上，學生能夠批判性地學習新知識、思想和方法，通過檢驗將它們融入原有認知體系中，并能在眾多知識間進行聯系，將知識遷移到新的情境中作出決策并解決問題的一種學習方式和能力.

4?理論依據

布盧姆將認知領域學習目標分為六個層次：記憶、理解、應用、分析、評價、創造.淺層學習的認知只停留在“記憶、理解”層面，而深度學習是一種發展學生批判性思維和創造性思維為目的的學習，其認知則對應“應用、分析、評價、創造”四個高級認知層面，涉及高階思維活動.

賈德的學習遷移理論認為，學習遷移是將一個問題轉化或者是將一種關系轉化，遷移的條件是學生能夠自己概括出一般原理，知識概括化的水平越高，遷移的范圍和可能性就越大.而深度學習的特征之一恰是將所學知識和方法等遷移到新的情境中，并作出解決問題的決策.

加涅的信息加工學習理論認為，學習是一個有始有終的過程，由一系列事件構成，每個學習事件可劃分成八個階段：動機、領會、習得、保持、回憶、概括、作業和反饋階段.元認知理論認為，元認知是一個人所具有的關于自己思維活動和學習活動的認知與監控.維果茨基認為，語言與思維之間有著密切關聯性，而寫作需要學生組織內部語言，對知識網絡進行主動建構，從而促使其完全理解.

可見，數學寫作是作業階段和反饋階段的一種表現形式，是一個自我總結和自主表達的一個交流環節，是一個自我反思和自我調節的監控過程，能清楚的展現學生的思維過程和掌握情況.

5?案例分析及實施策略

通過以上分析，我們認為數學寫作是促進學生深度學習的有力手段，是發展數學核心素養的有效途徑.在深度學習的過程中，數學寫作發揮著舉足輕重的作用，引導學生更好地參與數學學習的全過程，如研究數學現象，進而發現問題、提出問題，查閱相關資料，探究分析問題，形成概念和方法，獲得問題解決，進一步深入反思拓展等等，整個過程中數學問題的準確表述，思想方法的心理表征，概念定理的精準表達，研究方法和成果的清晰提煉，解答問題的過程書寫，反思回顧的概括以及深入拓展的期望等等，都需要數學寫作.5.1?數學現象與問題

數學源于生活，但高于生活，研究數學反過來又服務于生活.在學習計數原理時，筆者要求學生觀察汽車牌照，試著計算牌照容量.

案例1?車牌的容量問題

以亳州市汽車牌照“皖S·×××××”為例，請了解編號規則，并計算車牌的最大容量.

（2016年第8期《中小學教學教材》，作者：高二（33）班）

學生在此任務驅動下，學習排列組合特別認真，查閱汽車牌照編號規則：從24個英文字母、10個阿拉伯數字中選出若干個，并按照適當順序排列而成. 從研究報告看，學生學習非常積極主動，有分工有合作，他們不僅了解到相關汽車牌照編號規則、選號程序及交通規則，包括“套牌”的危害性，還發現26個英文字母中的“I”和“O”是不能編車牌號的，避免與數字“1”和“0”混淆.

5.2?數學探究與思考

解答數學的每一個問題（包括最終沒有解決問題）都是數學探究的過程.事實上，學生的內心深處都渴望經歷研究、探索和發現的成功過程，我們可利用學生的這種學習心理，提供獨立思考的機會，促使對數學概念的深度理解.

案例2?圓的一般方程

（2013年第4期《高中數學教與學》，作者：朱慶洲）

5.3?數學概念與方法

數學概念是數學學科的基礎.俗話說，概念不牢，地動山搖.學習概念首先要正面建構和闡述，其次是反面雕刻，錯例否定更能促使學生深度理解.尤其是自己在做題時遇到了問題，正是掌握概念和解題方法的好時機.

案例3?幾何概型：正逆雙思路，答案兩重天

（2016年第11期《數學通訊》，作者：聶英建）

參考答案是正向解法，而聶英建同學反其道而行之，卻得出了另一個答案，問題出在哪里？通過回顧幾何概型的概念和同學們的探究，發現命題人忽略了幾何概型之“等可能性”的關鍵點.整個學習過程突顯了探究、合作、交流、質疑、反思、發現和表述等，極大地調動了學生的高階思維活動.

5.4?數學解題與應用

解題是數學學習的重要組成部分.章建躍認為：通過解題，學生可以加深概念的理解，深化對概念聯系性的認識，優化數學認知結構，訓練數學思維，提高分析和解決問題的能力.

案例4?群策錯位相減法

數列求和之錯位相減法，一看就會，一用就錯.請群策錯位相減法.

（2016年第3期《新高考》，作者：張宣，許博睿，史亳徽，孫祥）

錯位相減法思想源自推導等比數列前n項和公式，該法使用特征明顯，思路簡單，但奇怪的是大多數學生一用就錯.為此，筆者開展“群策錯位相減法”的寫作活動.通過探索，同學們八仙過海各顯神通，用文字語言記錄問題解決的過程和想法，通過交流合作學習，達到深度理解、精準使用、清晰表達的目的.

5.5?數學反思與拓展

數學反思是對學習過程的反思、沉淀和提升，是數學寫作的基礎，沒有反思就沒有拓展，沒有提煉就沒有寫作.數學反思類寫作最適合于章節復習小結，對整個章節內容進行梳理和串聯，最終實現深度理解、提綱挈領的目標.

案例5?秦九韶-海倫公式

閱讀《解三角形》數學史料“海倫公式與秦九韶三斜求積公式”，思考兩個問題：（1）秦九韶求積公式與余弦定理有什么關系？（2）海倫公式與秦九韶公式有什么關系？

（2018年第4期《新世紀智能》，作者：紀志義）

紀志義同學查閱了相關資料，從初中三角形面積出發，結合余弦定理一氣呵成，推出秦九韶公式和海倫公式.難能可貴的是，他能從結構形式辯證的看待兩個公式，并結合時代背景，分析各自的優劣.最后給出兩道題目，兩個公式的優點便躍然紙上.

通過分析以上五則案例，我們認為“數學寫作”是深度學習的一個有效途徑，可以有效監控到個體與問題（或環境）互動以及心理互動的過程.具體實施可以問題驅動或任務驅動來展開，如課題研究、主題學習或項目學習（而非拼盤式），但要注意主題的選擇要小而精，有思維量.

6?存在的問題

課題組依托課堂教學、學生社團、文化藝術節等多種形式開展數學寫作的實踐研究，但由于教師和學生的認識、自身及高考等因素的限制，使得本研究存在諸多問題和不足.

1.雖然課堂數學寫作每周開展一次，但個別學生還是不理解，不能認真對待，有應付現象，認為增加了自己的負擔.相比較普通作業，確實增大了寫作量.

2.數學寫作極大地增加了教師的作業批改量和批閱難度，因班級和學生人數較多，致使教師不能很快批完數學寫作，反饋問題，交流缺乏及時性，教研效果大打折扣.

3.社員較分散，活動時間間隔大，部分學生不能連續參加，致使研究系統性和連續性較差.個別學生功利心太強，以致數學寫作偏離初衷.對于社團征文和課題寫作優秀作品，評選、返修工作量較大，尤其是輸成電子稿，數學符號和繪圖較多，學生以及個別教師的信息技術有待提高.

4.數學寫作的目的是促進深度學習，發展數學核心素養，而這些目標的達成不是一朝一夕的事.因此，對每個學生個體存在著難以客觀、準確測量和評價的問題.

針對以上問題，課題組將及時關注數學寫作、深度學習及數學核心素養等方面的最新研究成果，謀求高校專家支持，調整研究方案，優化研究方法，擴大研究學生層次，借鑒心理學測量表和個別訪談等方法進行測量和評估，將數學寫作不流于形式，能切實促進教師深度的教和學生深度的學.

社團開展一次“為‘數學寫作設計LOGO”活動，陳一萍和桑晴晴兩位同學的設計脫穎而出.該標志（圖2）整體看酷似一枚銅幣，顧昵稱“瞳瞳”，寓意：用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界.

設計糅合中國古代天圓地方思想和北宋李誡《營造法式》中的圓方方圓圖而成，其中圓的半徑與正方形邊長的比是2.隸書“數學寫作”更顯得其古色古香.

參考文獻

[1]?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]?汪曉勤，柳笛. 數學寫作在美國[J]. 數學教育學報，2007，16（3）：75-78.

[3]?胡耀華. 數學寫作的價值及若干教學建議[J]. 數學教育學報，2007，16（3）：60-62.

[4]?蔣安娜，唐恒鈞. 數學深度學習：內涵、實踐模式與展望——基于文獻的分析[J].中學數學雜志，2018（1）：1-4.

[5]?安富海.促進深度學習的課題教學策略研究[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

[6]?吳永軍.關于深度學習的再認識[J].課程·教材·教法，2019，39（02）：51-58+36.

[7]?馬云鵬.深度學習的理解與實踐模式——以小學數學學科為例[J].課程·教材·教法，2017，37（4）：60-67.