培育問題解決能力浸潤數學學科德育

張翼翔 余慶純

【摘 要】 HPM視角下的“平面直角坐標系”教學以“提出問題—分析問題—解決問題—講解新知—應用提升—數學文化—課堂小結”為主線，通過介紹笛卡爾的“普遍數學”設想，發現和提出以下問題。幾何對象與代數對象如何互相轉化;如何采用描點法，重構式地再現數學家笛卡爾、費馬、沃利斯等探索平面坐標系的過程，實現從單軸數軸到雙軸平面直角坐標系的過渡，揭示數學史的知識之諧、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效的多元價值，培育學生解決問題的能力，浸潤數學學科德育的芬芳。

【關鍵詞】HPM;平面直角坐標系;問題解決;數學文化;數學學科德育

一、引言

“平面直角坐標系”是滬教版數學教科書七年級下冊第十五章第1節的內容，強調借助平面直角坐標系刻畫平面上的點與有序實數對之間的一一對應關系，突出數形結合的思想方法。《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》指出，理解平面直角坐標系的構成，建立平面上的點與有序實數對之間的聯系，體會直角坐標平面上的點與坐標之間具有一一對應的關系[1]。“平面直角坐標系”的內容具有承上啟下的重要作用，既承接學生已經學習的平面中點的確定、實數、一維的數軸、數軸上兩點間的距離公式等內容，又為八年級進一步學習函數、平面直角坐標系中兩點間的距離公式，乃至高中階段的向量、解析幾何等知識做好鋪墊，開啟解析幾何學習的新篇章。

實踐發現，在滬教版數學教科書中，借助尋找電影院座位的排數、號數等活動，以開門見山式的問題“怎樣建立平面上的點與實數之間的聯系”，引導學生思考平面上點與實數的對應關系，幫助學生掌握平面直角坐標系的構成，確定平面內點的位置。另一方面，基于現有的教學設計，本節課的教學重點和難點在于如何從一維突破至二維，關注有序實數對的形成、直角坐標平面上的點與坐標之間的一一對應關系。為了達成教學目標，教學設計者往往創設確定國際象棋、做操排隊、蜘蛛爬行等位置的情境進行直接引入。然而，這些內容并沒有很好地基于學生的基本學情，缺乏從一維數軸到二維平面直角坐標系等認知內容的過渡，常常出現無法深刻理解引入有序實數對、構建平面直角坐標系的必要性的情況，影響學生解析幾何的深入學習。更重要的是，這些創設的情境和平面直角坐標系的真實歷史是有差異的，學生難以從以上教學中領悟平面直角坐標系的重要作用。

在初中階段，平面解析幾何作為一種數形結合思想的良好載體，滲透在數軸、平面直角坐標系、函數、方程等基礎內容的學習中。同時，在數學史中，研究方程與曲線之間的關系是平面坐標系發展的濫觴。法國數學家費馬與笛卡爾，英國數學家沃利斯在平面坐標系的演進歷史中均做出過卓越的貢獻。

鑒于此，筆者嘗試基于解析幾何預備課這一理念進行教學設計，基于歷史相似性原理，在教學中重構式地復現了數學家構建與改進平面坐標系的過程，引導學生突破認知障礙。這些史料能夠追尋知識本源，豐富學習內容，完善知識體系，揭示平面直角坐標系產生的必要性，特別是對于“縱軸是如何產生的”“為什么需要縱軸”等問題會有更加深刻的理解。

基于HPM視角，筆者設計了“平面直角坐標系”的教學內容并擬訂教學目標如下。

（1）經歷從一維數軸過渡到二維平面直角坐標系的學習過程，理解平面直角坐標系的構成，理解平面上的點與有序實數對一一對應的關系。

（2）掌握平面內點的位置與坐標表示之間的相互轉化，加強問題解決的能力，領悟解析幾何中數形結合的思想方法。

（3）古今對比，了解不同數學家對平面坐標系發展的貢獻、平面直角坐標系在社會生活中的重要作用等數學文化，體會數學的理性精神與人文情懷，形成動態的數學觀，提升學生學習數學的興趣和信心。

二、史料運用

基于史料研究，筆者發現平面解析幾何起源于公元前3世紀末亞歷山大晚期，著名幾何學家帕普斯將軌跡分為三類：（1）平面軌跡，指直線與圓;（2）立體軌跡，指圓錐曲線，如橢圓、雙曲線與拋物線;（3）線軌跡，指除上述兩類軌跡外的曲線。古希臘數學家大多數研究前兩類軌跡問題[2]。德國科學史家岡特曾將平面解析幾何的歷史劃分為三個重要階段：第一階段是引入兩條坐標軸，如阿波羅尼斯與圓錐曲線的性質研究;第二階段是基于橫、縱坐標的曲線作圖，如法國數學家奧雷姆首次采用幾何圖形表示運動;第三階段是關于橫、縱坐標的方程建立，如法國數學家費馬與笛卡爾借助韋達的符號代數工具，研究古希臘軌跡問題[3-4]。

其中，平面坐標系的發展史大致可以分為三個階段（如圖1）：第一階段，建立單軸。法國數學家費馬和笛卡爾在研究方程與曲線的關系時只采用橫軸這一單軸，未使用縱軸，縱坐標通常是斜的，橫坐標和縱坐標僅限于正數范圍。不同之處是費馬主要研究方程的曲線，而笛卡爾主要研究曲線的方程。第二階段，引入負坐標。英國數學家沃利斯對坐標系進行改進，有意識地引入負的橫、縱坐標，解析幾何的曲線范圍擴展到整個平面。第三階段，建立平面坐標系。18 世紀，數學家逐漸開始使用雙軸，但普遍使用斜坐標系。從斜坐標系到直角坐標系的轉變是一個漫長的過程，大約在19 世紀中葉，人們才普遍使用直角坐標系。

（六）數學文化

借助HPM微視頻，教師首先介紹“解析幾何之父”數學家笛卡爾的生平與17世紀的“笛卡爾之夢”[5]。接著介紹中國“人民科學家”、中國科學院院士吳文俊先生在數學機械化研究領域的貢獻，揭示數形結合思想的歷史源流與傳承。

笛卡爾曾提出“普遍數學”的偉大設想，即將所有問題轉化為數學問題，又將一切數學問題轉化為代數問題，再將代數問題轉化為方程來求解問題。笛卡爾創建解析幾何，在空間形式與數量關系之間架起一座橋梁，實現了初等幾何問題的代數化[6]。其思想蘊含了數形結合思想，是解析幾何的基本思想之一。

吳文俊先生在中國傳統數學史研究的基礎上，繼承并發展了中國古代以“問題解決”為主旨的算法體系，創立了“數學機械化”方法。幾何問題的代數化是幾何問題機械化的第一步，為此需要引進數系，構建坐標系，把幾何問題轉化為代數問題進行描述。

（七）課堂小結

通過課堂小結，教師指出本節課的核心內容——“平面直角坐標系”，并說明從一維數軸過渡到二維平面直角坐標系構建的必要性。

四、教學反思

本節“平面直角坐標系”教學以解析幾何預備課的課型切入。首先，基于歷史相似性原理，在教學中重構式地復現了數學家笛卡爾、費馬、沃利斯構建與改進平面坐標系的過程，經歷從一維的數軸過渡到二維的平面直角坐標系的學習過程，揭示縱軸產生的原因、平面直角坐標系誕生的必要性，突出平面內點的位置與坐標表示之間的相互轉化，領悟解析幾何中數形結合的思想方法，培育問題解決能力。接著介紹“解析幾何之父”數學家笛卡爾的故事，中國“人民科學家”吳文俊院士在數學機械化研究領域的工作，了解中外不同數學家對平面坐標系發展的貢獻，平面直角坐標系在數學內部（如解析幾何）、數學外部（如社會生活）的重要作用，體會數學的理性精神與人文情懷，形成動態的數學觀，培育學生的愛國主義情懷與文化自信，感受跨時空的數學文化交融。

五、結語

HPM視角下的“平面直角坐標系”教學深刻地揭示了數學史的知識之諧、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效的多元價值。

（1）知識之諧。以史為源，重構式地融入平面直角坐標系的發展歷史，引導學生自然地經歷平面直角坐標系的產生過程，理解從一維數軸到二維平面直角坐標系過渡的自然性、必要性，理解坐標平面上的點與有序實數對的對應關系，掌握平面內點的位置與坐標表示之間的相互轉化，揭示解析幾何發展的歷史演進。

（2）探究之樂。以教育取向的數學史為藍本，巧妙設計數學探究活動，引導學生探尋數學家發現平面坐標系的歷史足跡，經歷提出問題、分析問題、解決問題的過程，最后以“數學家手稿傳遞活動”引導學生學以致用，鞏固平面直角坐標系的內容，激發學生學習數學的興趣。

（3）能力之助。平面直角坐標系是學生基于已有的實數、數軸等知識進行的認知遷移，能夠幫助學生掌握平面內點的位置與坐標表示之間的相互轉化，提升解決問題的能力，領悟解析幾何中數形結合的思想方法。

（4）文化之魅。借助歷史時間軸，引導學生經歷平面坐標系發展史的三個重要階段：法國數學家費馬和笛卡爾基于正數范圍的單軸，研究方程與曲線的關系;英國數學家沃利斯對坐標系進行改進，有意識地引入負坐標;19 世紀中葉至今，人們普遍使用直角坐標系，吳文俊先生進行了“數學機械化”的開拓創新。另外，教師布置“數學家手稿傳遞活動”作業，讓課堂學習變得富有人文性。

（5）德育之效。本節課學生感受數學學科的德育芬芳。情感方面，比較學生的方法與歷史上數學家的方法，提升學生學習數學的成就感，提升學習數學的信心，講述吳文俊先生的事跡更有助于增加學生的民族自豪感和文化自信。精神方面，感悟數學家探尋與改進平面坐標系的理性精神。信念方面，了解平面直角坐標系的前世與今生、繼承與發展，感悟數學源于生活、服務于生活。品質方面，在分析問題、解決問題的過程中，培養學生傾聽他人、交流合作等良好品質。

此外，本節課融合微視頻等教育信息技術，體現數學史內容的可視化，實現“平面直角坐標系”的數學史從學術形態向教育形態的轉變，展示學生喜聞樂見的數學，激發學生學習數學的興趣，順應“互聯網+數學教育”的發展趨勢。

參考文獻：

[1]上海市教育委員會. 上海市中小學數學課程標準（試行稿）[S]. 上海：上海教育出版社，2004.

[2]汪曉勤，柳笛. 平面解析幾何的產生（一） ：古希臘的三線和四線軌跡問題[J]. 中學數學教學參考，2007 （9）：58-59.

[3]汪曉勤，柳笛. 平面解析幾何的產生（二） ：費馬與解析幾何[J]. 中學數學教學參考，2008 （1/2）：122-123.

[4]汪曉勤.平面解析幾何的產生（四）[J].中學數學教學參考，2008（11）：56-59.

[5]李大潛，王培甫，周月儒，等. 數學文化小叢書[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

[6]紀志剛. 吳文俊與數學機械化[J]. 上海交通大學學報（社會科學版），2001 （3）：13-18.