固基礎·重過程·悟思想

袁國慶

摘要：文章從教學中存在的若干低效現象入手，分析其原因，并通過理論研究，提出“固基礎·重思維·悟思想”三段式復習課課堂教學模式的建構。

關鍵詞：高三數學;核心素養;固基礎;重思維;悟思想

一、研究緣起

《普通高中數學課程標準（實驗）》提出，高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。教育部印發的新高中課程方案和《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）進一步強化了學科育人功能，首次提出學科核心素養。其中，數學學科確定了高中數學核心素養的六個要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。基于數學學科六大核心素養，高中數學教學除了傳授知識（包括數學概念、公式、法則、定理）之外，更要促使學生形成數學邏輯思維，運用數學方法解決現實問題，積累豐富的數學活動經驗。

浙江省高考命題以能力立意，將知識、能力和素養融為一體，既考查學生對基礎知識和基本技能的掌握程度，又考查其對數學思想方法和數學本質的理解水平，特別是考查數學思維能力和繼續學習的潛能，體現了新課程的理念。從近幾年的高考試卷來看，試題注重通性、通法，淡化技巧，對學生的思維能力、

數學素養提出了較高的要求。面對這些試題，很多學生缺少有效的解決辦法，甚至很難上手。

《標準》已經明確提出數學學科核心素養，數學教育要以培養學生的思維能力，提高學生的學科素養為目標。反觀我們的高三數學復習教學實際情況，卻存在著低層次的、低效的教學現象，導致這些現象出現的主要責任應該由教師來承擔。

1.就題講題，思維過程被忽視

先講后練、先練再講是高三復習課的主旋律。一些教師在上復習課的時候往往是一題接著一題講，一講到底，始終以自我的解題思路為中心，以展現完整解答過程為終極目標。殊不知，數學作為一門培養學生邏輯思維能力的學科，它的學習難度相對較大，解題過程中思路的由來、思維的形成才是學生真正需要的。這種就題講題、重解題結果而輕思維過程的教學顯然是低效的。

2.缺少歸類，思維品質欠提高

雖然解題訓練對提升學生數學解題能力是必不可少的，但是一些教師視題海戰為法寶，反復操練而缺少歸類與反思，實在難以提高學生的數學思維品質。這種低效的教學方式對高三學生緊張而有限的復習時間來講實在是一種浪費。

針對以上現象，筆者認為在高三數學復習教學中要十分注重數學思維的過程，切實培養學生的思維能力，提高課堂教學的有效性，真正提高分析問題與解決問題的能力。

二、研究建構

單墫教授說過，學數學如同下圍棋，必須實踐（做習題），必須和較高水平的人切磋（做有一定難度的題），棋力（數學水平）才有長進。此外，還需揣摩成局（學習定理的證明或著名問題的解法），領會其精髓（深刻的數學思想）。顯然，學生數學素養提升的關鍵在于思維的提高和思想的領悟。

吳剛平教授在《教學方式變革的知識觀基礎》講座中提到：知識觀的核心是將知識分類，將學生的學習方式分類，可以將知識分類成“記中學”——理解、記憶、再現、判斷;“做中學”——解釋、推理、運用、操作、拓展;“悟中學”——體驗、反思、取舍、定向、創造。

基于以上觀點，筆者認為一堂高效的數學復習課應該以學生的思維活動為載體，即學生通過教師精心設計的數學活動進行思考，在此基礎上圍繞學生數學思維活動來開展過程教學，讓學生在課堂上經歷思維啟動、思維碰撞、思維提升的過程。筆者把這個過程總結為“固基礎·重思維·悟思想”三段式復習模式。

1.固基礎——思維啟動

針對我校學生數學基礎相對薄弱的實際情況，把打好數學基礎作為第一要義。此部分主要以基礎知識、基本方法的復習和鞏固為主，為進一步學習做好鋪墊工作，一般用時控制在10分鐘以內。通常選用兩種模式進行。

模式1：知識陳述型。例如，在復習“三角函數的圖象與性質”時，由于涉及的知識點較多，教師可以選用填表的形式或是學生集體回答、教師板書的形式完成。

模式2：問題解決型。例如，在復習“正弦定理和余弦定理”時，由于公式較少，教師可以設置若干練習，讓學生通過解題回顧并整理所涉及的知識、技能等，達到復習和鞏固的目的。

2.重過程——思維碰撞

此部分主要為例題、練習、變式教學等具體操作，為思維碰撞階段，占據課堂的大部分時間。在教學過程中，多采用啟發式教學、變式教學（一題多變、一題多解、一法多用）等，鼓勵學生合作交流。教師要通過問題的科學設計，給予學生足夠的時間和空間去思考和討論。值得注意的是，學生的思維過程需要先獨立體驗后相互分享，教師需要做好的是引導和總結。

（1）引導學生思考。

美國著名數學家波利亞認為，解題活動并非一個機械地執行事先確定好的程序的過程，而是一個需要對之進行不斷調整的過程，解題過程中的反思尤為重要。

在“重過程”的教學中，教師應當給予學生獨立思考問題、解決問題的條件和機會。當一種方法、一個方面不能解決問題時，應該主動讓思維向另一種方法、另一個方面跨越，對已知信息進行多方向、多角度的聯想，努力通過自己的思考來解決問題。例如，在解題后，教師應該引導學生進行總結與歸納，如題目特點與方法的適用性、解題過程的成效與得失、汲取的經驗與教訓等，尋找發現問題、分析問題和解決問題的最佳方案;也可以從思維策略的高度對學習或解題過程進行總結，對問題進行推廣與深化。

（2）組織學生交流。

沒有激烈爭辯的課堂注定黯然失色。如果能實現學生在課堂上主動交流觀點，甚至產生較大程度和范圍的思維碰撞，這樣對學生的學習而言必定是簡單而深刻的。

一位哲學家說過，你有一個蘋果，我有一個蘋果，彼此交換以后還是一個蘋果;你有一個思想，我有一個思想，彼此交換以后，每個人就有兩個甚至兩個以上的思想。高三的復習課，教師尤其要舍得花時間讓學生“說出來”，數學課堂的生命火花一旦被點燃，學生的思緒就會被點燃，有時候甚至會提出一些更高深的見解，引起全班學生的共鳴，激發全班學生的熱情，這樣的課堂既有深度，又有活力，這也是“交流對話”的魅力所在。在教學中，教師要鼓勵學生提出不同的觀點，暴露出知識上的欠缺和思維上的不足，促進學生心靈火花上的碰撞，讓教師的復習教學變得更有針對性和有效性，為課堂增添一些驚喜和活力。

3.悟思想——思維提升

此部分主要為小結部分，是領悟數學思想方法、獲取數學活動經驗的重要環節。一般是在解決一個問題后或一堂課結束前，教師與學生共同對本節課的知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀進行全面總結，是幫助學生感悟數學思想、提高學生思維品質的絕佳機會。在學生自我提煉與歸納知識、技能和方法，感悟知識蘊涵的數學思想的同時，教師必須要有意識、有目的地概括本章節（本課時）所涉及的數學思想，以更全面、更系統的觀點來分析數學知識、解決數學問題的經驗，使學生從感性認識飛躍到理性認識，產生質的提升。

需要注意的是，數學思想的領悟不是無水之源、無本之木，它滲透在前面思維啟動、思維碰撞的過程中，在教師的引領或學生的自我反思構建下水到渠成。數學思想方法的教學除了在過程中滲透、解題后的及時體會與反思之外，更要通過課堂小結進行反思感悟的方式開展。總結也是學生學習的重要環節，方式上有知識性回顧小結、前后呼應式小結、交流反饋式小結、自主評價式小結等，具體結合教學目標、教學內容、學生學習情況等進行選用。

三、教學實例

筆者以“解三角形中的最值問題”為例，談談具體的操作過程。

本課時的教學目標是掌握三角形中求最值問題的一般方法，通過具體的例題和變式教學訓練學生的思維能力，感悟其中的函數與方程思想、轉化與化歸思想。

階段1：固基礎（思維啟動）。

【設計意圖】（1）求三角形中最值問題建立在學生掌握正弦定理、余弦定理公式及其應用的基礎之上，因此有必要首先復習這兩個公式。選用“問題解決型”模式，通過問題1使學生在問題的解決過程中復習基礎知識、基本技能，為本節課后面的學習做好鋪墊工作。（2）通過追問引入最值問題，實現思維啟動。問題1是一個確定型的問題，其實質就是解方程問題，突然減少其中一個條件后，成為了一個不確定型問題，那么不確定型問題求取值范圍又應該如何處理呢？自然而然地促使學生進行主動思考、思維聯想，努力尋找解題思路，達到思維啟動的目的。

階段2：重思維（思維碰撞）。

【設計意圖】去掉一個條件后，此三角形已經不再確定，學生在思維上會有沖突，教師除了必要的引導之外，要給予學生足夠的時間去思考，尋找方法。從問題結構特點出發，容易想到利用余弦定理將問題轉化為邊的關系來處理。另外，若從條件的結構出發，可以用正弦定理將其轉化為角的問題來處理。轉化為邊的方法是把ab或a+b看成是一個整體，進而轉化為一個“單元”問題，再利用基本不等式或是函數來處理;轉化為角的方法是通過正弦定理將其轉化為三角函數在閉區間上的取值范圍問題。教師要鼓勵學生從不同的方向去思考，對已知信息進行多角度的聯想，努力通過自己的思考來解決問題，要創造條件讓學生各抒己見，展示思維過程，促進學生思維的交流與碰撞，最終達成共識，形成解法。需要注意的是，教師必須要清楚地指出指導這兩種方法背后的數學思想——函數與方程思想、轉化與化歸思想。

追問1：如何求a+b的取值范圍？

【設計意圖】問題2與追問1之間只有一點區別，一個是求最大值，一個是求取值范圍，目的是讓學生區別剛才用的兩種方法。余弦定理 轉化成邊基本不等式 得到一個最大或最小值;正弦定理 轉化成角 函數一得到取值范圍。感受在三角形問題中轉化成角來處理問題的優越性，體會函數與方程思想的重要性。

追問2：如何求2a+b的取值范圍？

【設計意圖】追問2是在追問1的基礎上稍作改變，再次讓學生感受在三角形問題中轉化成角來處理問題的優越性，體會函數與方程思想的重要性。得到類似問題的一般解法，并將類似問題進行有效推廣，如求2a+b。（這里的教學只需要解釋到位就行，沒有必要一一講解。）

追問3：把問題2中的條件進行以下改變，如何求ab，a+b的最大值？

【設計意圖】通過變式，使學生明白高考題就是在問題2的基礎上演變而來的，將這一條件進行等價改變，其本質是一樣的。通過歸類，讓學生總結出此類問題的本質都是已知三角形的一個角和一條邊長，求另外兩條邊a+ 2b等類似問題的最值。通過一題多變、一法多用等變式教學，逐步形成處理此類問題的一般數學思想和方法。

追問4：在問題2的條件下，如何求BC邊上的中線AM的最大值？

【設計意圖】追問4有一定難度，是建立在之前的思維、方法、思想基礎之上的，解題的關鍵是將中線AM轉化為邊b，c的組合形式，進而化歸為上面所學的問題求解。在教學中教師鼓勵學生小組合作交流，思考如何利用所學知識來解決問題。同時要給予學生足夠的時間和空間來思考和討論，必要時教師要給予適當的引導，借此滲透轉化與化歸的數學思想，讓學生感受轉化與化歸思想在具體解題中的重要指導意義。

階段3：悟思想（品質提升）。

回顧本節課所學，你學到了什么？小組討論，小組學生代表發言，教師進行必要的補充和說明。

【設計意圖】這里采用自主評價式小結，在教師的組織下進行小組合作，結合本節課所學內容與同學分享自身的體驗。通過再次回顧本節課所學，一起感悟函數與方程思想、轉化與化歸思想，站在更高的角度來審視數學問題，努力實現做一題、學一法、會一類、通一片的效果。自主評價式小結是在教師的組織下同學之間平等的對話過程，體現了以學生為主體、教師為主導的新課程理念。但是，這種方式能否有效開展是建立在教師長期的引導與培養下的。在初次嘗試時，學生往往只會模仿教師進行簡單的知識內容的整理，或者很泛泛的談幾句等，只有教師不斷地給學生搭建這樣的平臺，不斷地鼓勵他們、引導他們，久而久之，學生才會由簡單模仿到有自己的觀點和自己的表達方式。

四、實踐反思

（1）“固基礎·重思維·悟思想”三段式高三數學復習教學模式，注重學生的思維變化。在這種模式下，體現了以學生為主體、教師為主導的新課程理念，一切從學生的思維需要出發，給予學生足夠的思考、實踐的時間和空間，鼓勵學生勇于發表自己的見解，有利于思維的有效訓練，可以提高學生的數學品質。

（2）“固基礎·重思維·悟思想”三段式高三數學復習教學模式是粗線條的，很多復習課都可以套用。要想收到良好的教學效果，關鍵在于學生的主體參與度，要求教師高屋建瓴、精心設計，站在能力立意、素養立意的高度來開展教學。

（3）如何提高高三數學復習課教學的有效性是一個永恒的課題。復習課教學模式也可以是多種多樣的，既沒有可以適用于各種情況的教學模式，又沒有所謂最好的教學模式。教師必須從教學目標、教學內容、學生實際、自身特點等諸多方面來綜合考慮，靈活地進行處理，這樣才能真正實現高效的課堂教學。

參考文獻：

[1]朱永祥.再談數學思想方法的挖掘和應用[J].中學數學，2008（3）.

[2]羅永高.高中數學教學中開展探究性學習的課例研究：以高三復習課為例[J].數學教學通訊，2014（12）.