“二項式定理”（第1課時）教學設計

于磊

摘要：二項式定理是中學數學的重要組成部分。此節課教學設計以學生體驗參與教學為主題，利用多媒體教學輔助手段，注重提高學生的數學學科核心素養和學生的數學思維發展。

關鍵詞：二項式定理;排列組合;二項式系數;核心素養;思維發展

一、教材分析

此節課是人教A版《普通高中數學課程標準實驗教科書·數學（選修2-3）》第一章第3節的內容。二項式定理是多項式乘法的特例，是初中所學多項式乘法的延伸。此節內容安排在排列組合之后，既是對組合數的應用，又是為學習二項分布做準備。二項式定理是從特殊到一般進行的歸納與概括，這部分內容對于培養學生的數學抽象與數學建模素養有著不可忽視的價值。

二、教學目標

（1）知識與技能：用多項式乘法和計數原理推導二項式定理，培養學生的合作探究能力。

（2）過程與方法：通過情境創設讓學生體驗定理的形成過程，感受知識的發生是自然的，體驗多項式乘法和計數原理之間的聯系;通過總結特征，讓學生感悟從特殊到一般的研究問題的方法。

（3）情感、態度與價值觀：學生在合作探究中體驗成功的喜悅，在展示總結中提高數學抽象的素養，提升學生的語言表達能力。

（4）數學核心素養：提高學生的數學抽象素養和數學建模素養。

三、教學重點與難點

教學重點：二項式定理及其應用，解決與展開式有關的問題。

教學難點：二項式定理的獲得過程。

四、教學策略分析

此節課的理論支撐是多項式運算法則和計數原理。因此，筆者首先要創設計數原理的教學情境，引導學生通過觀察、歸納得到二次、三次、四次的展開式，然后采取問題追問的方式來組織課堂教學，給學生留有充分的思考、歸納、總結的空間。重視二項式定理的發現與獲得的過程，讓學生親身體驗公式的獲得過程，體驗從特殊到一般的數學抽象思想，通過白主探究達到突出教學重點、突破教學難點的目的。

五、教學方法與手段

利用類比、探索相結合的教學方法;以學生為主體、以問題為主線，啟發、引導學生的數學思維，幫助學生建立數學模型，學生合作探究完成抽象的過程;利用多媒體技術，為學生提供直觀的圖象，激發學生的學習興趣，提高課堂教學效率。

六、教學過程與設計

1.問題引入

師：請回答（a+b）2的展開式。

生：（a+b）2=a2+2ab+b2。 筆者創設數學實驗的問題情境：如下圖，兩個容器中有a（白），b（黑）球各一個，每次從兩個容器中各取一個球放到一起，取得小球的結果有哪些類？每類結果有幾種情況？能用計數原理的知識回答嗎？

師：取得小球的結果有哪些類？

生1：aa，ab，bb三類情況。

師：每類情況有哪幾種可能？

生1：aa有1種可能，ab有2種可能，66有1種可能。

師：觀察問題（a+b）2的展開式與數學實驗有何關聯？

生2：（1）把小球看成字母;（2）取小球的過程相當于用多項式乘法把公式展開的展開式;（3）每類情況有幾種可能的結果就是展開式的系數。

生3：以取得b球的個數作為分類標準（同時用組合數回答結果有幾種），取0個黑球，2個白球的結果有C

種可能;取1個黑球，1個白球的結果有C

種可能;取2個黑球，0個白球的結果有C

種可能。

師：怎樣用完全平方公式的形式回答？系數又怎樣用組合數表達？

師：類比上面的方法，回答問題（a+b）3=_____？（a+b）4=______？你能發現哪些規律？

生4：項數是n+1項。

生5：系數是CO，C1，C2。

生6：a的次數變化規律從n次到0次冪，6的次數變化規律從0次到n次冪，ab的次數和等于，。。

生7：公式的應用條件是兩項和的n次方。

2.新課內容

筆者引導，學生獨立發現二項式定理，由學生自己完成二項式定理的展開式。

筆者介紹通項公式

和二項式系數等相關概念。

3.鞏固訓練

練習1：寫出 （p+q）7的展開式。

師：若中間換成“一”會有什么結果？為什么？對比符號對展開式的影響。

師：（2a-b）6展開式的第六項是什么？

生9：T6= Ts+.=C5（2a）“5（-b）5= -12ab5.

練習2：已知（1+2x）5，求：（1）展開式的第三項;（2）第四項的二項式系數及第四項系數。以小組的形式相互討論，得出答案，并展示講解。

4.還原生活

師：今天是星期二，那么7天后的這一天是星期幾呢？

生：也是星期二。

師：那么15天后的這一天呢？

生：是星期三。

是否發現了什么規律？學生探究總結。

5.歸納小結

此節課都有哪些收獲？學生回答，筆者點撥。

（1）解決問題要回歸數學本質;

（2）深入理解變量思想;

（3）用類比的思想方法解決新知識、新問題;

（4）提高數學抽象的素養。

6.課后作業

（1）必做題：教材第36頁第1，2，3題;

（2）選做題：教材第36頁第4，5題。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

[2]張文娣.二項式定理及其應用[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2004（4）.