關于高中三角函數學習的幾點思考

王舉者

摘 要：三角函數是高中數學的重點和難點，貫穿整個高中數學的學習過程。學好三角函數，會解三角函數相關試題，一方面有助于提高學生學習數學的積極性，另一方面還能樹立學生在作答數學試卷時的解題信心。本文結合自身在三角函數的學習過程中遇到的問題和困難，總結和歸納相關學習和解題經驗，以期為大家提供三角函數的學習參考。

關鍵詞：高中數學;三角函數;問題;方法

一、高中數學三角函數學習過程中的困難

三角函數的學習主要是對三角函數的公式及性質的學習。但由于各種公式變換以及每個公式中自變量取值范圍的不同，在應用三角函數時容易出現混淆公式的情況，主要表現在以下幾點。一是三角函數圖像與性質相結合的問題，包括正弦余弦圖像的區別及聯系、相位的變化、圖像上各個特殊點與解析式的聯系等。二是三角函數公式及其變形式的相互轉換應用，比如通過運用三角函數的基本恒等式，例如、、等等對問題的化簡。三是三角函數的多組誘導公式、積化和差、和差化積、半角公式和萬能公式，這些公式看上去復雜難記，但通過基本公式以及函數的性質也可以自行推導得出。四是三角函數的函數性質，單調性、奇偶性、周期性以及圖像的對稱性，結合圖像來看這些性質相對來說更加簡便，因此在解決問題過程中運用三角函數的圖像及單位圓是十分快速的方法。

二、三角函數解題易錯點

在進行三角函數習題求解過程中，可能會遇到很多“陷阱”。結合筆者的錯題集，挑選出幾道典型的三角函數易錯題，將易錯點進行分類。

（一）單位圓與任意角問題：

例1.下列命題正確的是（）

A.α、β都是第二象限角，若sinα>sinβ，則tanα>tanβ

B.α、β都是第三象限角，若cosα>cosβ，則sinα>sinβ

C.α、β都是第四象限角，若sinα>sinβ，則tanα>tanβ

D.α、β都是第一象限角，若cosα>cosβ，則sinα>sinβ

解析：在此題中解題思維應利用三角函數的單調性，可充分利用單位圓畫圖來對應三角函數的數值大小，通過數形結合解出此題。筆者當時所犯錯誤是將角的三角函數值所對應的三角函數線簡單的看做了線段的長度，概念不清。當弄清概念，畫出正確的圖像后，不難發現此題正確答案是C選項。

（二）圖像變換中周期變換和相位變換易混淆問題：

例2.要得到函數y=sin（3x-π/4）的圖像，需將函數y=sin（x/3）的圖像做怎樣的變換？

解析：y=sin（x/3）變換成y=sin3x是把每個x值縮小到原來的1/9倍，易錯認為是擴大到原來的9倍，再將y=sin3x平移到y=sin（3x-π/4）時的方向也易出錯，這里還需注意平移的單位。在此題中變換有兩種形式，其一是先進行周期變換即將y=sin（x/3）的圖像上各點縱坐標不變，橫坐標變為原來的1/9倍得到y=sin3x的圖像，再保持縱坐標不變，橫坐標向右平移π/12單位得到目標函數。其二是先進行相位變換，即先平移圖像再縮小橫坐標。

（三）關于多個輔助公式的應用中角的取值范圍：

例3.若，，且α、β均為銳角，求α+β的值。

解析：若在此題中用α+β的正弦計算，由于正弦函數在（0，π）區間的不單調會使結果出現兩個，但余弦就不會出現此類問題。因此，可以通過計算，由兩者均為銳角可得，，則運用cos（α+β）的展開公式可得結果為，，且（α+β）∈（0，π），故α+β=4/π。

三、三角函數學習方法和解題經驗

三角函數的學習總是緊緊圍繞著幾個中心公式，適當采取一些口訣幫助記憶，例如“奇變偶不變，符號看象限”，可以有效的幫助分清在單位圓中正余弦函數的不同。不過，僅僅靠死記硬背還是欠缺火候，理解三角函數各公式的內涵才能在解題過程中對公式靈活運用。

首先要了解三角函數的整個知識框架。理清每個知識點之間的聯系和區別十分必要，尤其在面對綜合性比較強的問題時，能夠快速找到各個條件之間的關聯并合理運用時，解出該題就已經成功了一大半。

其次，關于與的應用與推廣。，因此我們可以得到，從而可以推出。同時還有tanα·cotα=1;sinα·cscα=1，cosα·secα=1，記住這幾個倒數公式也有助于我們推導其他公式。

最后，幾類常見三角函數求解問題可用如下小技巧：見“知1求5”問題，構造，用勾股定理;見“切割”問題，轉換成“弦”的問題;見齊次弦，“化弦為一”;見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式;見“求最值、值域”問題，啟用有界性，或者輔助角公式;見“高次”，用降冪，見“復角”，用轉化。

四、總結

其實當掌握了三角函數的學習方法，熟悉了三角函數正確的解題技巧，就會發現三角函數并沒有想象中那么難。總之，在學習三角函數過程中，要善于總結，學會舉一反三。尤其是三角函數中幾個重要的公式，不僅要時刻牢記在心，還要學會靈活應用，找到解題的關鍵，明確其考點，拿到該得的分，取得理想的成績。

參考文獻

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