點亮思維 熔鑄化歸思想

葛家兵

摘 ? 要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出化歸思想不僅是一種重要的解題思想，還是一種最基本的思維策略，更是一種高效的數學思維方式。構建學生化歸思想體系的最好載體就是小學數學中的“火車問題”。從三個火車模型出發，深入淺出，以論述解題過程為“藥引”，于具體題例中培養學生的化歸思想。

關鍵詞：小學數學;化歸思想;火車問題;思維培養

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）34-0031-03

火車為人類現代最重要的交通工具之一。小學數學教學中的火車問題，實質上就是以火車過橋的經典問題為基礎衍生出來的火車與行人、火車與火車等等之間的問題。破解這類題型的關鍵就是數學化歸思想的運用，教師要培養學生善于分析題中的各種信息，最終想辦法將火車問題轉換成我們所熟悉的基本行程問題——相遇或追及問題。

一、小試牛刀，在車與橋的經典中選樹培樹化歸思想的“示范點”

以前學過行程問題，行程問題的基本公式及其重要變形為：“速度×時間=路程”，那么“路程÷速度=時間”“路程÷時間=速度”。這次不讓人跑了，讓火車跑。我們知道火車跑起來就是一長串一起動，在火車跑的過程中，我們要清楚這個簡單的規律：火車頭跑了多遠，火車尾也就跟著跑了多遠。因此，測量火車跑過的距離時，要注意一定得從火車開始時候火車頭的位置量到火車停止的時候火車頭的位置，或者從火車啟動時火車尾的位置量到火車停止時火車尾的位置，開火車的時候有時會遇到橋或者山洞，這樣一來就為火車問題增添了難度。比如下面這道題目：

例1：一列和諧號火車長420米，它以每秒鐘48米的速度打算通過一座大橋，橋長540米，需要花多長時間呢？

【解析】求時間，就得用公式：“時間=路程÷速度”。根據題干，速度好辦，就是每秒鐘48米，可路程是多遠呢？我們不妨畫出線段圖來仔細看看這個過程（見圖1）：火車開始通過這座橋是在A處，它過完這座橋是在B處，從A處的火車頭量到B處的火車頭位置就是火車實際走過的路程。而這個路程通過線段圖可以輕松看出來是橋的長度加上一個火車的長度，也就是420+540等于960米，火車跑過的路程和時間都知道了，那么套用公式便可以求出時間：用路程960米除以速度48米/秒，答案是20秒。

【點評】這就是最基本的火車過橋模型。解決這類問題，我們要去尋找路程、時間和速度這三個量，往往題干中會透露給我們速度和時間，關鍵一步就是尋找路程，對于路程的求解，我們是化抽象為直觀，通過線段圖描述和確定火車開始過橋（過隧道）和結束過橋（過隧道）的樣子，接著找路程的時候，一定要從開始時火車頭的位置量到結束時火車頭的位置，我們可以簡記成：頭到頭，尾到尾。最后，題目中的三個量，我們知道了兩個量，套用公式即可求出未知量。

二、守正出新，在車與人的邂逅中調優調準化歸思想的“聚焦點”

例2：花花沿著鐵道邊跑步，她的速度是每秒5米，一輛火車從她對面開過來，如果這個火車長1288米，速度是每秒51米，火車從花花身邊通過，要花多長時間？

【解析】此題并不是例1中典型的火車過橋模型，而是火車與行人問題，遇到這種問題我們該怎么辦呢？通過例1的學習，我們學會了怎么量火車前進的距離，一定得從頭到頭或者從尾到尾，既然在同一列火車上，頭部和尾部運動的距離是一樣的，那么我們不妨可以做出這種假想：如果在運動的火車尾上綁一個小人妞妞，火車前進的距離跟妞妞前進的距離就會是一樣的，人與車綁在一起，所以前進的速度也是一樣的。因此，妞妞的運動和火車的運動就是完全一樣，能夠意識到這個規律，我們就可以用這個小人妞妞來代表火車，用這種全新的“綁人法”就可以輕松解決火車和行人的問題了（圖2-1）。

用綁人法，假設把小人妞妞綁到火車尾上。火車開始通過花花的時候是如圖2-1中上圖所示，妞妞和花花相距一個火車的長度也就是1288米，火車全都通過花花之后是如圖2-1中下圖所示，妞妞和花花就在一起了。把火車去掉，這道題目就演變成了妞妞和花花倆人的一個相遇問題，時間就等于路程和除以倆人的速度和，根據線段圖可知路程和是1288米，速度和就是5+51，也就是56米/秒，兩者相除就是23秒。這就是火車通過花花的時間（圖2-2）。

【點撥】在這個問題里，我們使用了一種全新獨家方法——“綁人法”，把火車看成一個人，就把火車與行人的問題轉化成兩個人的相遇問題，這樣就容易做了。如果火車不是迎面開過來，而是從花花身后開過來，還是一樣，先把妞妞綁在火車尾上，然后用線段圖畫出這個過程，去掉火車，進一步轉換成一個基本的花花和妞妞兩人的追及問題。不管是方向相同，還是方向不同，都可以同樣用綁人法，把火車替換成車尾上的小人，接著就可以轉換成普通的相遇問題或者追及問題來解決了。

三、穿越荊棘，在車與車的迷宮中延伸拓展化歸思想的“精髓點”

除了把上個例題中人綁在火車尾上的“綁人法”，其實也可以把人綁在火車頭上。那做題時究竟應該把人綁在哪里呢？有一個簡單的判斷秘訣：看看最后哪兩個地方在一起，就把人綁在最后在一起的這個地方。比方說，兩者最后的狀態是當火車頭在一起了，那么就假想出一個小人將其綁在火車頭部，如果兩者最后的狀態是當火車尾在一起了，就把小人綁在火車尾上，這樣一來，當我們去掉綁有小人的火車之后，便能轉換成最基本的相遇或者追及問題。鑒于這種思路和方法，除了火車和行人問題，還可以直接將這個行人也換成一輛火車，即火車和火車的行程問題。此時，我們可以分別在這兩輛火車上運用綁人法，將火車與火車問題轉換成行人和行人的相遇或者追及問題。

例3：和諧號和勝利號兩輛火車對著開，和諧號火車長420米，每秒鐘跑42米，勝利號火車長320米，每秒鐘跑32米，它倆相互錯車的時間有多長呢？

【解析】所謂錯車，就是從兩輛火車的頭部開始相遇，一直到兩輛火車尾部徹底分開的過程。根據題意，最后這兩輛火車的車尾在一起，由綁人秘訣可知，應該把兩個小人分別綁在這兩輛火車的尾上。回到開始的時候，這兩個小人還是在車尾上，它倆相距如圖3-1上圖所示的距離，也就是和諧號火車的車長加上勝利號火車的車長共740米。去掉火車后，我們再來看一看，如圖3-2，就轉換成了倆小人的相遇問題。時間等于路程和除以速度和。也就是740÷（42+32），答案是10秒。

如果不是對著開而改成同向開呢？根據圖3-3來分析，和諧號火車剛追上勝利號火車的時候，和諧號火車的頭部和勝利號火車的尾部相遇在一起;當和諧號火車完全超過勝利號火車的時候（結束時），和諧號火車的尾部和勝利號火車的頭部相遇在一起，因此兩個小人就應該分別綁在結束時和諧號火車的尾部和勝利號火車的頭部。回到最開始的時候，這倆小人就相距的距離就是這倆車的車長和740米。

去掉兩輛火車后，這就變成了最基本的兩人的追擊問題。根據時間等于路程差除以速度差來求相遇時間，也就是740÷（42-32），答案是74秒（圖3-4）。

【點評】火車與火車的行程問題還是用綁人法解決問題，這里用到了兩次綁人法，即把兩個小人分別綁在兩列火車結束時在一起的位置上，再看看開始時他倆離多遠，最后去掉火車，變成倆人的相遇或者追及問題就能輕松解決。