學科素養背景下小學數學活動設計的策略

李靜

摘 ? 要：數學學科核心素養是數學的思維品質、關鍵能力、以及情感態度價值觀的綜合體現。學生數學核心素養是在數學學習和應用過程中逐步發展的。數學教學與其說是數學活動結果的教學，不如說是數學活動過程的教學。教師要設計有效的數學活動，使學生在經歷數學活動的過程中發展數學核心素養。數學活動設計要凸顯數學知識的本質，能有效鏈接學生已有的活動經驗，要充分發揮學生的主體地位，引導學生完整地經歷數學活動的全過程，要站在學生的角度思考問題，要關注學生的思維品質和思維過程。

關鍵詞：小學數學;核心素養;活動設計;策略

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）34-0052-08

2016年林崇德教授提交《中國學生發展核心素養研究》研究報告，“核心素養”也逐漸成為各學科教育研究的“熱詞”。 “核心素養”是學生在接受相應學段教育過程中逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。在各個階段的學習過程中，學生逐步形成和發展的各個學科的學科素養是形成學生核心素養的重要組成部分。《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《課標》）在課程設計思路中提到了八個關乎學生數學思維品質和能力的核心概念（《課標》共提到十個關鍵詞，其中的“創新意識”和“應用意識”并不是數學學科獨有的，因此不在此討論）。《課標》指出：“在數學課程中應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”《普通高中數學課程標準（2017版）》提出：“數學學科核心素養的培養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力、以及情感態度價值觀的綜合體現。是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的。數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。”

綜上，從義務教育到普通高中階段的數學課程標準都對數學學科核心素養作為課程目標的核心內容予以闡釋，尤其是普通高中數學課程標準對高中階段學生數學學科核心素養內涵進行了明確的界定。

學生數學核心素養的發展具有階段性和發展性。小學階段的學生數學核心素養與高中階段是一以貫之的。義務教育階段《課標》提出的八個核心概念與普通高中數學《課標》提出的六個數學核心素養也是一脈相承的，對應關系如下表（見表一）：

表1

課程標準對數學核心素養的表述也體現了學生核心素養發展的延續性。如：“數據分析”和“數學建模”在義務教育階段被描述為“模型思想”和“數據分析觀念”。從表述上就可以看出，同樣的素養培養要求，義務教育階段要低于高中階段。

落實課程目標，發展學生的數學核心素養，數學課堂是主陣地。數學教學與其說是數學活動結果的教學，不如說是數學活動過程的教學。這里的活動就是指最終得到數學結論的數學活動過程。因此，教師要設計有效的數學活動，引導學生在數學活動過程中感悟數學本質，培養數學思維，發展數學核心素養。有效的數學活動應該是以學生為主體的，有實踐性的、可發展性的和多樣性的。小學數學課堂設計有效的數學活動，發展學生的數學核心素養有如下策略：

一、創設有意義的問題情境，引導學生經歷數學知識產生、發展和應用的全過程

數學來源于生活又不等同于生活，數學是人腦的產物，數學的本質是抽象。但是小學生的年齡特點又決定著數學活動要貼近實際生活才能被他們理解。同時，《課標》又提出了四基四能的目標要求，即數學活動要讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程。學生在有意義的現實情境中，發現問題，提出問題，將現實問題抽象成數學問題，并嘗試用數學的思維方式分析問題、解決問題，進而感受數學的抽象，經歷數學的推理，發展數學模型等思想。這樣完整的數學活動過程讓學生真切地感受到數學從哪來，到哪去，本質是什么，有怎樣的價值，讓數學文化深入學生的血液之中。

如“集合”（人教版三年級上冊）一課。如何引導學生完整地經歷維恩圖產生及應用的過程，學習用集合語言解決生活中的問題呢？教學時，教師根據學校馬上要組織的冬季兩項運動會設計了這樣的問題情境。

師：冬天來了，跳繩、踢毽子比賽馬上要開始了，大家來看一看體育組老師們給各班發的比賽通知吧！

出示本班學生報名表（表2）。

表2

教師使用了本校通知及本班學生真實的報名表，一下子拉近了學生與探究問題的距離。學生對表格的觀察、思考也更加細致、深入。隨后學生提出數學問題“一共有多少人參加此次比賽？”求兩個數的和用加法計算，是學生之前的經驗。但是，實際參賽的總人數并不等于求和的結果，進而學生產生繼續探究的興趣。這份報名表不能清楚的反應學生的報名情況，怎樣才能設計出能清楚反應報名情況的報名單呢？于是教師提出活動要求：

請以組為單位重新設計報名單，能清楚地看出我們班的報名情況。

學生展示自己設計的報名單：

展示一：

展示二：

展示二：

展示三：

基于學生的展示（展示二、展示三），教師要求學生分別圈出哪部分是參加跳繩的人，哪部分是參加踢毽子的人，維恩圖便形成了（圖1）。

由問題的提出到問題的解決，學生經歷了設計維恩圖解決報名問題的全過程，感悟到數學的直觀與現實價值。

引導學生完整的經歷數學活動過程要做到以下幾點：

第一， 采用“知識問題化”或“問題知識化”的活動設計思路，盡量貼近生活的問題情境;

第二， 經歷完整的數學活動過程要充分關注學生在學習活動中的主體地位;

第三，在活動過程中教師要設計有啟發性，有助于促進學生思維發展的問題。

二、要站在學生的角度思考問題，設計數學活動

教師要把自己放在學生的位置上，要看到學生的情況，要努力去理解學生正在想什么，然后提出一個問題或者指出一個步驟，而這正是學生自己原本應想到的。課堂上，教師設計的數學活動要基于學生的所思所想，順勢指導。

“平均數”（人教版四年級下冊）一課是發展學生數據分析觀念的典型素材。如何讓學生用統計的眼光觀察生活，分析數據呢？教師以兩組投籃比賽的問題情境引入。

師：學校的籃球隊舉行一次投籃比賽，想請咱們班的同學做裁判，愿意嗎？我們去看看。

師：你認為哪個隊的投籃水平更高（表3）？

表3

“哪個隊的水平更高？”學生會怎么考慮這個問題呢？他們首先想到的一定是用求總數的方法解決這個問題。因為這是學生的已有經驗。不過很快他們就發現兩組人數不同，用總數來比較兩組的成績不公平。也可能有學生會想到用每組數據的極大值代表這個組的整體水平，教師可以引導學生思考：用一個人的成績代表一個組的成績是否有失公允。如果學生想不到求平均數，教師可以提議：

我們試著求一下平均每人投中幾個球，看看問題能解決嗎？

學生在現實的問題背景中經歷了用不同的統計量來描述數據的過程。學生能夠感悟到：對于同樣的數據可以有不同的分析方法，我們要根據問題的背景選擇合適的方法。這也是數據分析與算數計算的本質不同。教師將學生思維引向第一學段學習過的平均分。這里的平均數在統計學上有什么特殊的意義呢？如何基于學生的思維引導學生用數據分析的眼光來看待這個平均數？這些既是本節課的學習重點，也是學生學習的難點。

教師發給學生兩個小組投籃情況的柱狀圖，并讓學生在小組內操作、討論：

請在圖上畫一畫，移一移怎樣表示出剛剛求出的平均數（圖2）？

圖2

以上的活動是基于學生的年齡特點和學習視角設計的。求平均數的方法學生在第一學段就掌握了，所以無需再浪費時間。學生理解的難點是平均數為什么能代表這個組的投籃水平。通過在直觀的條形圖上移多補少，學生可以直觀地感受到平均數是怎么得出來的，感受到平均數不是某個人或某些人的投籃個數，它是一個虛擬的數。在求平均數時，這一組的數據都參與了運算，所以，它能代表這個組的平均水平，具有代表性。

教師要站在學生的視角設計數學活動，在學生認識的困難處給出建議，引導他們或畫圖、或列表、或引入符號、或進行其他操作，從而自主建構，發展數學思維。

三、設計有效的數學活動要關注知識的脈絡及學生經驗的聯結

當新的命題和內涵與學習者認知結構中原有的適當觀念建立了實質性和非人為的聯系，就能調動認知結構中較穩定的原有觀念來同化。有效的數學活動可以幫助學生建立知識脈絡，找到新舊活動經驗的聯結。

以“度量幾何”的內容為例，其中長度和長度單位、面積和面積單位、角的度量、體積和體積單位分別安排在二、三、四、五年級（見表4），如何引導學生建立度量單位的經驗聯結？

表4

數學教材編寫的“指導性原則”為教師“怎么教”提供了方便。《課標》關于教材的定位是：“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。”下面是人教版教材關于長度（圖3）、面積（圖4）、角度（圖5）、體積度量單位（圖6）的編寫：

教材所有涉及幾何量（小學階段也有物理量的度量教學）度量單位的教學編排貫徹了《課標》的整體性及指導性原則的要求。在“宏觀”的角度提示給教師設計怎樣的活動，讓學生感悟度量的本質。教材編排采用螺旋上升的編寫思路，在學生活動中貫穿了度量本質的感悟和體驗。首先由問題情境引入測量圖形的大小（鑒于二年級學生的抽象水平，在學習長度單位時，教材給出的是測量課桌的長度），產生了找到度量標準的需要。隨后經歷用不同圖形作單位測量的過程，感悟單位統一的重要。在對圖形的旋轉、平移等變換后，感悟變換前后圖形大小不變，同時感悟單位的有限累加。這些活動一脈相承，貫穿了度量單位教學的始終，也滲透了度量公理原則。（設M為集合，X=G|G為M的某些子集，V為X上的非負值函數，若滿足條件：（1）（正則性）存在度量單位G0，V（G0）=1;（2）（有限可加性）G1，G2∈X，G1與G2無共同點，G1∪G2∈X，則V（G1∪G2）=V（G1）+V（G2）;（3）（運動不變性）對任意兩個G1，G2∈X，若G1≌G2，則V（G1）=V（G2）。其中G1≌G2的符號≌是指G1通過有限次的平移、旋轉或反射可以得到G2，即指剛體運動。則稱V為X上的度量函數。）

根據度量的本質及教材的編排，教師設計數學活動要延續以下幾方面：首先體會正則性，教師要提供不同的活動素材，讓學生在活動中找到為“1”的單位，體會統一單位的重要性。其次，要讓學生充分經歷用不同的單位拼擺的過程，感悟“運動不變性”和“有限可加性”，最終賦予測量對象一個數值。在教學時，教師還要引導學生思考，鏈接之前或之后的活動經驗。例如，在四年級學習“角的度量”時，可以制作課件引導學生回憶之前經歷過的數學活動：“二年級時我們用1cm、1dm這樣的小長度單位來測量線段的長度。后來我們又用1cm2、1dm2這樣的小面積單位來測量面的大小。如果我們要測量一個角的大小，我們可以怎么做？”在學習體積和體積單位時，教師可以引導學生將長度、面積、體積單位進行比較、整理，感受數學學科嚴密的邏輯性，對于學有余力的學生，甚至可以介紹“維度”的概念（圖7）。

圖7

數學閱讀活動的設計為學生的思考打開了一扇窗，將學生的學習由課內引向了課外。“維度”的概念是度量幾何的基礎概念，是溝通學生之前進行長度、面積和體積計算的連結點。小學階段學生了解“維度”可以更好的理解所處的空間，在本質上把握度量幾何的內容，為后續學習奠定基礎。

有效的鏈接知識和學生的活動經驗要注意以下幾方面：第一， 新的活動設計要與學生之前的活動經驗有延續性、連接性。例如在第一學段學習“數的認識”時，從一年級學習10以內的數，100以內的數，到后來的1000以內的數的認識，活動設計都可以延續：呈現實物，在計數器上撥珠子，拼擺圖形（點子圖或正方形、正方體的組合），用數軸上的點表示等活動，幫助學生理解“數量是對現實生活中事物量的抽象”“數是對數量的抽象”“表示自然數的關鍵是十個符號和數位”“十進位的數位法則是依次相差十倍”。

第二， 活動設計要幫助學生更好的勾連已有的知識。例如，在學習“位置二（極坐標初步）”一課時，可以設計數學活動聯系之前學過的“位置一（直角坐標系初步）”的知識。“回憶一下在平面上確定一個點的位置需要幾個信息（舊知“行”和“列”）？”從而引導學生感悟確定平面上一個點的位置需要用兩個信息（新知“角度”和“距離”）。這也與平面的維度相關。

第三， 設計有效的數學問題。教師要在學生學習的聯結點處適時的提出問題，引導學生主動聯結之前的知識和經驗，幫助學生思考。

四、設計有效的數學活動，要引導學生把握知識的本質

數學是人類文化的重要組成部分，數學的本質是抽象，不管是數還是形，在生活中都沒有現實的存在。數學學科有著自身嚴密的邏輯性、體系架構，它的架構依賴于人腦的推理，應該說，數學是人腦的產物。數學學科的特點決定了小學數學活動的設計要做到“淺而不錯，散而不亂”。把數學的學術形態轉化為數學的教育形態，讓小學生能在他們的認知水平上把握數學的本質。

以“小數的意義和性質”為例。單就數學史的發展講，現代小數記法的產生是整數十進制計數方式的反向延伸。引入小數記法，主要是為了滿足無理數的近似計算，同時也可以方便生活中十進制量的計算，生活中小數的應用要遠多于分數。但是，小學階段學生主要認識有理數。一年級認識自然數，三年級依次認識分數和小數（小學階段學生認識的無理數只有π）。到了四五年級對小數和分數進行再認識。多個版本教材在引入小數時多以分母是整十（百、千等）的分數引入（分母是10、100、1000等的分數都可以寫成小數），因此學生很容易產生誤解，認為小數是十進分數的另一種寫法。由于沒有系統學習無理數，學生不能很好的把握小數的本質，感悟小數的價值。

在進行“小數的意義和性質的整理復習”（人教版四年級上冊）時，教師針對學生的認知水平，設計一系列數學活動，溝通整數和小數的計數方式，感悟小數產生的意義和價值。

師：小數的意義和性質單元我們學習了小數的意義、大小比較、性質、小數點移動引起小數大小變化的規律、小數與單位換算等，這些知識點有哪些內在的聯系呢？下面我們借助數位順序表整理一下這部分內容。

活動1：在數位順序表中記錄0.33、3.3、33，排列大小，同組同學說一說為什么相同的數字表示的大小不同。

活動2：借助數位順序表舉例說明：小數的末尾添上0或去掉0什么變了什么沒變，整數有這樣的性質嗎？

活動3：借助數位順序表舉例說明移動小數的小數點為什么會引起小數大小的變化，小數變化的倍數與計數單位的進率有什么關系？

活動4：哪些量可以通過移動小數點進行單位換算，哪些不可以，為什么？

四年級學生抽象思維的水平有限，因此把數位順序表作為理解十進制計數法的工具。讓學生在數位順序表中舉例寫數，感悟小數的大小比較、小數的性質、小數點移動引起小數大小變化的規律，感悟十進制計數法的本質。

追本溯源開展數學活動，使學生感悟數學內在的邏輯性和結構美，體會數學文化，要做到以下幾方面：

第一， 教師要潛心研讀教材，建立整體性的觀念。通過研讀教材把握知識間的內在聯系，從而弄清什么是相關內容的核心，什么又可被看成相關的基本問題和重要問題。“對數學知識的深刻理解”可以看成數學教師專業發展最為基本的一個要求。

第二， 引入數學史教學，幫助學生理清數學發展的脈絡，將思考的視角由課內引向課外，感受數學文化之美。

第三， 可以開展制作思維導圖或其他樹狀圖等數學活動，讓學生學會自己整理知識的方法，引導學生自主建構知識體系，感悟數學學科的邏輯性。

五、數學活動設計要關注學生的思維品質和思維過程

思維品質是人的思維的個性特征，反應了個體思維水平、智力與能力的差異。思維品質主要包括思維的靈活性、敏捷性、創造性、獨特性、深刻性。數學在形成人的理性思維和促進個人智力發展中發揮著獨特的、不可替代的作用。 教師設計數學活動要關注學生的思維品質和思維過程：

第一， 數學活動設計要有層次性。小組活動前要留出充分的時間讓學生獨立操作、思考，讓每個學生都能有時間對問題有自己的思考。這樣可以使各個思維水平、思維層次的學生在獨立思考的時間內有所得。在獨立思考的基礎上再進行小組合作交流。組內匯報和全班交流時，要留出機會給不善于發言的學生，難度不大的問題留給思維水平較低的學生，總結性、提升性的發言留給思維水平高的學生。總之，有層次的開展數學活動，要讓不同的人在數學上得到不同的發展。

第二， 鼓勵學生一題多解，尤其鼓勵學生采用創造性和獨特性的解題方法，拓寬學生思維的廣度。當然在鼓勵算法多樣化的同時，也要對“簡潔的”“有數學味的”方法進行優化，要讓學生感受到數學要尋求盡可能簡單、普遍適用的模式來解決自然、發展社會及數學自身世界的各種問題。

第三， 設計活動讓學生大膽猜想。數學發現源于猜想，在設計數學活動時鼓勵學生大膽猜想，發展思維的靈活及深刻性。 用合情推理獲得猜想，發現結論，用演繹推理驗證猜想，證明結論，發展邏輯推理能力。

第四， 鼓勵學生用數學的語言完整地表達自己的想法和解題過程。有根有據、有條有理地思考，首先表現在口頭言語的數學表達上。數學語言是數學思維的外殼，用簡練、精確的數學語言表述自己的思維過程是學生數學思維發展的有效手段。如果學生表述時能再輔以畫圖、列表等方式，教師更要給予表揚鼓勵。近些年，組織學生之間互相交流的經驗，以及為學生創造說的機會、營造說的氛圍、激發說的愿望方面的經驗大家總結了很多。

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