巧用“數形結合”簡單學數學

楊春

摘 要：數形結合是一種極富數學特征的信息轉化，數形結合牢牢地抓住數與形之間的聯系，以“形”的直觀表達數，以“數”的精確研究形，將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，實現形象思維和抽象思維的互助互補，相輔相成。對于小學生的理解范疇來說，簡單明了的圖形會更直觀，將這種直觀的模式應用于解題，勢必會收到事半功倍的效果。

關鍵詞：小學數學，數形結合，計算教學，解決問題，提高效益

華羅庚先生曾指出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”可見數與形的關系十分密切，在一定條件下，可以相互進行極富數學特色的信息轉換——數量問題可以轉化為圖形問題，圖形問題也可以轉化為數量問題。因此，數形兼備，可使數與形各盡其長，取長補短，化抽象為直觀，演繹出無限精彩。本文筆者就從自己多年的教學經驗來談數形結合在計算、解決問題、幾何教學等方面的妙用。

一、以形輔數，理解算理——數形結合在計算教學中的運用

眾所周知，計算教學是枯燥的，是泛味的。很多時候由于思想上的誤差，往往有一些教師只看結果，無視過程，而忽略了小學階段孩子的思維是從具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡的，而且這時的邏輯思維還只是初步的，還需要具體形象，使得學生知其然而不知其所以然。我想，在計算教學中教師若能恰當地用數形結合的思想，清楚地揭示計算過程，學生便可以從中結合圖形理解和感悟計算方法。

如：一年級的9加幾計算教學：

師：淘氣今天生日，小朋友們都知道淘氣喜歡喝牛奶，所以小朋友們給淘氣帶來了純牛奶和酸牛奶，課件出示：

繼而問學生：“這幅圖告訴我們什么，可以提出什么數學問題？

學生回答：“笑笑帶來9瓶牛奶，妙想帶來了5瓶牛奶，一共有多少瓶牛奶？”

當學生列出算式后，師追問：“9+5是多少，你有什么好辦法能計算出正確結果？學生有的用數的方法，有的用接數法，有的用湊十的方法。

師：幾種方法都很好，不過依次數比較麻煩，我們先看為什么要從5個里拿1個放進第一箱里呢？（利用圖畫進行直觀演示），我們可以把這種想法用思維導圖表示出來，（演示湊十過程：把5分解成1和4，1和9合起來是10，再想10+4=14”。）

板書：

通過這樣的教學設計，通過數與形的結合，使抽象的湊十法有了形象的依托，9加幾轉化10加幾的過程在思維導圖上一目了然，這樣既使學生深刻理解了這個算法的算理所在，又強化了9加幾的算法，突破教學的重點和難點，收到了很好的教學效果。

二、以形輔數，簡化思路——數形結合在解決問題中的運用

解決問題的教學貫穿了整個小學階段，為了更好地分析條件與信息之間的內在聯系，分析各個數量的意義，教師應充分利用學生形象思維的特點大量地用“形”解釋、演示、幫助理解抽象的“數”。 教學中我們可以利用線段圖等這個“形”， 將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，幫助學生建立起已知與未知的內在聯系;利用這種結合，激發學生的再造性想象，激活學生的解題思路。使抽象的數學問題直觀化，簡單化，變抽象思維為形象思維，化難為易，從而使問題迎刃而解。

如：六年級上冊《分數混合運算（一）》的教學，例題：氣象小組有12人，攝影小組的人數是氣象小組的，航模小組的人數是攝影小組的。航模小組有多少人？

分數混合運算的應用問題是高年級的“重頭戲”，但由于數量關系復雜，同一道題里可能出現多個單位“1”量，學生難以理清題意，特別是遇到聯系生活實際的問題，學生往往束手無策。在本例題的教學中，為了更好地引導學生理解航模小組與氣象小組、攝影小組之間的人數關系，教師就可以有意識的把“數形結合思想方法”滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，引導學生利用線段圖進行分析。

借助線段圖進行分析，把復雜的數學問題變得簡明、形象，學生能直觀地理解數量關系，明確攝影小組的人數是氣象小組的，這里的單位“1”是氣象小組的人數;航模小組的人數是攝影小組的，這里的單位“1”是攝影小組的人數，要求航模小組有多少人，必須先求出攝影小組的人數。當學生理解了這一數量間的關系后，就輕而易舉地通過對題目的理解以及線段圖的關系來解本題。有利于發展學生分析問題和解決問題的能力，有利于發展他們的數學思想。

當然對于一年級的孩子來說有時可以采用畫圓圈的方法。如：小麗排在第10，小宇排第15，小麗和小宇之間有幾人？就可以采用了畫圓圈的方法，讓學生在潛移默化中感悟出畫圖的方法，感受到數與形結合的優點，有效地提高了學生比較、分析和解決問題的能力，避免了一年級學生那種單一的、見到數字就相加或相減的思維。當學生逐步養成畫圖思考的習慣，養成根據題意畫圖幫助理解題意后，再讓學生去解決“小朋友排隊做操，從前數，小紅排第6個，從后數小紅排第3個，這一隊一共有多少人？學生就比較容易地理解為什么這題要“-1”，這樣通過畫圓圈這種數形結合的方法，讓學生透過現象看本質，一切問題就迎刃而解了。

就這樣，利用線段圖、圓圈等“形”，用形的直觀表達數，用數的精確研究形，更好地理解了數量間的關系，有利于將一些看似復雜的問題簡單化，使一些難于下手的問題，迎刃而解，變“山重水復疑無路”為“柳暗花明又一村”，使學生嘗到成功的喜悅。而且事實也證明，形象思維與抽象思維協同應用的過程，其教學效果顯而易見，學生思維變清晰了，思路也開闊了。

三、以數輔形，推導公式 ——數形結合在幾何教學中的運用

日本數學家米山國藏說：“數學的知識可以記憶一時，但數學的精神、數學的思想和方法卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”作為一種思想方法，數與形二者相輔相成的，貫穿了數學的各個領域。一方面我們可以以形為手段，數為目的，如以上所講的在計算教學和解決問題教學中的應用。另一方面我們又可以以數作為手段，形為目的，通過代數方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等。可以這么解釋：雖然形有形象、直觀的特點，但在某些定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜的“形”， 通過留心觀察圖形的特點，挖掘圖形中的隱含條件，正確地把圖形數字化，通過計算或數量分析的方法，深刻地理解各個條件在圖形中的重要意義，從而準確地表述圖形的性質，這樣用學過的知識把圖形用代數式表達出來，從而得出相應的公式或定理。

如：四年級下冊《三角形邊的關系》，從學生接觸三角形以來，都是針對已成立的三角形進行學習研究，而對于讓學生進一步認識的三角形的另一個特性：三角形中的兩邊之和大于第三邊，從未涉及到。因此，教學過程中教師應以學生體驗為主，運用“數形結合”的思想方法，通過擺圖形，尋找數據間的關系，再通過數據的整理、分析，確定圖形的存在性和圖形具有的性質，從而突破“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”這個重難點。教學片斷如下：

（一）情境設疑：

1、師（板書）“三角形”：你看到了什么？什么樣的圖形叫三角形？如果用小棒來代替線段，要圍成一個三角形需要幾根小棒？

2、師“老師這里有一條9厘米的邊，從3厘米、4厘米、6厘米的木材中再選兩根，合起來做三角形，可以怎樣選擇？

3、學生操作演示（實物投影）：

3厘米、4厘米、9厘米? （不能圍成），3厘米、6厘米、9厘米（不能圍成）， 4厘米、6厘米、9厘米 （能圍成）

4、設疑：為什么有的能圍成三角形，有的不能圍成？到底怎樣的3根小棒才能圍成三角形呢？能圍成三角形的三根小棒之間有什么關系？

（二）實驗探索：

1、從5cm、5cm、4cm、6cm、10cm共5根小棒中選三根小棒擺一擺，也可以用畫一畫（自己選擇數據畫三角形）、量一量（量已有三角形的各邊）等方法來試一試。將實驗結果填在報告單中：

次數 小棒的長度（厘米） 能否圍成三角形 比較三邊的關系

2、小組內分析數據，交流探究結果。

3、發現結論

（1）小組匯報交流實驗結果：你發現了什么？（能圍成的三角形任意兩邊之和都大于第三邊。）

兩條線段長度之和大于第三條線的段能圍成三角形

（2）不能圍成三角形的每組小棒的長短有什么關系？（每一組兩邊之和小于或等于第三邊）

兩條線段之和小于第三條線的段不能圍成三角形

兩條線段之和等于第三條線段的不能圍成三角形

在這個環節的探索過程中始終以數形結合思想作為教學靈魂，時時滲透，處處體現。通過學生自己選擇給定長度的小棒動手組成圖形和用“畫一畫、量一量”等方法進行探究;通過借助代數的計算：比較三角形三邊的關系，對數據進行整理分類和分析，深刻地理解各個條件在圖形中的重要意義，這就由計算（數）轉向了幾何推理（形）， 使數與形緊密聯系，通過數來確定形，準確和深刻地表述三角形三邊的關系：“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”。這樣給學生提供了足夠的探索時間和空間，學生不斷體驗和感悟著學習數學的方法，學生思維的能動性和創造性得到充分激發，分析問題和解決問題的能力得到了提高，實現了“數與形”的無縫對接，變“隔靴搔癢”為“入木三分”。

四、以數輔形，總結規律——數形結合在數學好玩中的運用

“數學好玩”是綜合與實踐的范疇，其設計目的是激發學生學習數學的興趣，體會數學思想，鍛煉思維能力，積累思考經驗，開闊眼界。但學生對解這類題缺少方法，往往束手無策。數形結合是解題之利器。

如：四年級下冊《優化》中烙餅環節的教學。教科書首先通過情境圖明晰了兩個內容：一是此次活動的任——爸爸、媽媽和我每人1張餅;二是烙餅的基本方法。在此基礎上進行了問題串的設計。問題1是讓學生嘗試解決如何盡快吃上餅的問題。基于學生已有的生活經驗，可能出現兩種方法：一是一張一張烙的方法;二是“先烙兩張，再烙一張”的更為省時的方法。在這個基礎上出示問題2：“媽媽是這樣做的，你能看懂嗎？說一說，做一做。”這是通過通讀的方式學習優化方法，學生不容易獨立思考出來，同時也是學生難以理解的。因此，教學過程中教師應運用“數形結合”的思想方法，為學生設計模擬烙餅實踐過程，用圓片代表餅，并在圓片上標注幾號餅和正反面，學生通過擺圖形，明晰“每次鍋里都烙2張餅”的關鍵所在，探究出烙餅的優化方案，并用這種方法探究問題3，即運用方法繼續解決數量較多的烙餅問題，并探討其省時規律。

有了解決問題2的經驗，學生運用數形結合的思想繼續擺圖形，很快找到

解決問題3的方法，即：如果烙餅數量是雙數的，就2張2張地烙;如果烙餅數量是單數的，可以先2張2張地烙，最后3張按最優的方法烙，就可以達到整體的最優。教師把學生的探究過程展示在黑板上，引導學生通過圖形尋找數的據依據，總結出烙餅數量較多的時間計算方法：烙餅時間=每面所用時間×烙餅張數，復雜的形最終依托簡單的數（公式），正確地把形數字化。

故人言：“好雨知時節，當春乃發生 。”教學中，我們要抓住適當時機，不遺余力地為學生提供適合他們的形象材料，要巧妙地、有意識地向他們滲透數形結合等數學思想方法，并將其數學思想方法貫徹始終。這樣，數學課堂才能精彩無限，才能開辟出一片新天地，學生才能學好數學，用好數學，使他們受益終生。

參考文獻：

[1]張芳.數形結合在小學數學教學中的簡單應用[J].小學教學研究，2015（05）。

[2]王翌強. 數無形時少直覺，形少數時難入微——談小學數學教學中“數形結合”思想的應用[J].福建教育，2016（02）。