數形結合思想在高中數學教學中的應用研究

鄭春花

【摘要】 ?數學學科是一門抽象性高、邏輯性強的學科。數形結合思想屬于數學解題中的一種思路，其將抽象的數學變得幾何化，幾何的內容變得數字化。為此，本文就數形結合思想在高中數學教學中的應用進行分析。

【關鍵詞】 ?數形結合思想 高中數學 應用研究

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）08-059-010

“數形結合”是一種較為常見的數學思想方法，其應用大致可以為兩種情況，一種是利用數據的精準性求圖形的相關屬性，另一種是借助圖形的幾何直觀性對數據之間的某種關系進行闡明，簡單概括就是“以數解形”與“以形助數”，兩種方法可以在必要時進行轉化，目的都只有一個，就是讓解題的過程中更為簡單或直接，讓求解過程更為高效。

1.數形結合在高斯運算、幾合函數的應用

數學作為一門抽象特征明顯的科目，比較難學，其中的邏輯思維性也很強，學生必須可以在頭腦中構建出一個框架，利用一些定理或是定義求解。尤其是到了高中階段，數學科目的任務負擔更重，知識點也更難，更為復雜。因此學生在日常的學習過程中必須能夠掌握“數形轉換”思想，將抽象的知識關系給簡單化。例如一些代數問題就可以直接使用幾何的方法呈現出來，這樣的轉換可以更為清晰的理解數字之間的關系，讓問題變得直觀，便于學生思考。所以作為教師，應幫助學生盡早學會運用這個方法，同時做到靈活轉化。但是在教學工作的實際開展過程中，應遵循以下幾個原則，首先將數形結合的解題理念融入到數據教學設計中，讓學生盡早接觸，學會轉換的方法，并擁有這種解題思維方式。其次，教學工作中多使用數形結合法解析有代表性的例題或是定理，幫助學生在后續的題目練習中可以舉一反三，靈活使用。例如教師帶領學生學習《高斯運算》部分知識點時，可以通過例題1+2+3+……100，展開圖形講解形式，讓學生模仿教師的思考方式，使用圖形解析的方式得到數據結果。

函數是“代數”知識點內容中的重要組成部分，但是此部分知識點較為復雜，也是整個代數部分中的難點，數字與數字之間的邏輯關系較為抽象。至此教師可以在函數的關系上借助圖像形式進行表達，全方位展示函數變化的規律，讓學生可以更為直觀的看到函數性質，并在最短的時間內解答數量關系，得到答案。一般情況下，解析式與圖像兩種形式都可對函數關系進行表達，所以一旦解析式較為抽象時，無法第一時間將條件羅列出的關系清晰掌握，學生就可以通過圖像的方式協助理解。

例如教師帶領學生學習《函數的值域》時，就可以使用“數形轉換”方法，如將方程式程f（x）>g（x）的解的個數進行圖形表達形式的轉換，也就是變成y=f（x）與y=g（x）的函數圖像上有幾個交點，每個交點代表一個解。在求不等式f（x）>g（x）的解集時可以直接轉化為函數y=f（x）的圖像在函數y=g（x）的圖像上方區域的點與橫坐標的幾何。

2.數形結合在方程求根中的題目運用

在對方程的根進行求解時，內部原理構造復雜，很難直接將方程的根全部求出，此時就可以直接將其轉換為曲線焦點問題進行解析，讓問題的難度得到下降。例如教師帶領學生講解方程“|x2-4x+3=m|有4個根，則實數m的取值范圍”時，因為是求的是方程的中實數m的取值范圍，因此，此題目根本不涉及方程的根的具體值，只需要求方程根的個數，因此教師可以直接將這道題目轉化為曲線交點問題進行解析，直接計算兩條曲線的交點個數即可。

因此可以直接說|x2-4x+3|=m根的個數問題就是函數y=|x2-4x+3|與函數y=m圖象的交點的個數，此時可以直接畫出一個拋物線，y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖象，然后將x軸下方的圖像翻折上去，就會得到y=|x2-4x+3|的圖像，然后再將直線y=m畫出，然后通過觀察圖像可以得到0<m<1時，兩函數圖象有4交點，故m的取值范圍是（0，1）。這種利用數形結合的方式解決方程問題時，一定要根據題目的要求，做出滿足題目條件的圖像，然后通過觀察與轉換，讓圖像結果與等式結果一致。

3. 數形結合在幾何立體圖形中的應用

利用圖形轉換等式、不等式等一些代數問題較為常見，但是數形結合的解題方式不僅僅局限在圖形協助解數上，數學計算同樣可以在立體幾何中大展身手，只是轉換的方法上有些差異，需要得到教師與學生的注意。很多立體幾何圖形要求學生擁有較強的空間感或是空間想象能力，所以直接使用圖形的方式解決問題難度很大。此時學生就可以選擇圖形轉化為數量關系的方式解題，讓問題變得簡單，使用數量關系代替空間想象，尤其在考試期間，這種方法可以讓解題的效率更高，學生的解題時間得到節約后，剩下時間可用來做其他題目，可以直接利用描述幾何圖形的方程式解析曲線，并將問題徹底解決。很多幾何圖形的軌跡是可以通過方程式來解答的，在題目解析中學生必須對各個幾何體的代數形式進行觀察，然后再確定如何求解。如圓的方程式，兩點距離公式、過兩點斜率公式等，這些都是通過方程式對幾何圖形進行的表達。如習題實數x，y滿足（x-2）2+y2=9求y/x的最大值與最小值。解：等式（x-2）2+y2=9有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r=3為半徑的圓。所以問題可以轉化為圓（x-2）2+y2=9上的點P（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率。這樣一來，方程就可轉化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值。由幾何圖像的描繪可見，當點A在第一象限時，且位置關系是與圓相切，那么OA的斜率最大，經簡單計算，可以得最大值為tan60°=√3.

總結

數形結合的方法是數學知識點學習、掌握中的一個捷徑，明確二者之間的轉換原理，就可以讓問題的解答更為簡潔，尤其對教師來說，應轉變傳統的“填鴨式”教學方法，讓學生可以根據題目的設定，自由切換方法，同時注意使用過程中的細節調整，盡量做到綜合使用，讓“數形結合”方法價值全面發揮。

[ 參 ?考 ?文 ?獻 ]

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