離心率范圍問題的求解策略

魏小林

摘 要：在高考中常常出現的確定圓錐曲線中離心率的取值范圍問題，這類問題往往結構新穎，小巧靈瓏，歷來為命題者所青睞，為了克服難點，提高教學效果，培養學生的學習興趣，誘導引發學生的學習興趣，對這類問題的求解方法給一總結歸納。

關鍵詞：數學教學；培養；中學數學；圓錐曲線；離心率；取值范圍

確定圓錐曲線中離心率取值范圍，是高考試題中常見的一類問題，需要綜合運用各種基本知識和基本技能。如函數思想，一元二次不等式的知識，合理推理論證能力，以及數形結合，整體解題的數學思想。能夠反映學生的綜合數學素質，也符合新課程對數學教學和學生能力的要求。這類問題往往結構新穎，小巧靈瓏，歷來為命題者所青睞。針對這類問題的求解本文提供了一些常用的策略，供大家參考。

1、數形結合創建基本量的不等關系

例1、已知 、 是橢圓的兩個焦點，滿足 的點 總在橢圓內部，則該橢圓離心率的范圍是

簡析： ， ，所以點 在以 為圓心 為半徑的圓上

點 在橢圓內部， ，從而有

，則 ，由 可知

點評：利用圓總在橢圓內部這一條件，數形結合，巧妙的建立起 、 的不等關系，是解題的關建。

2、利用焦點三角形構建不等關系

例2、雙曲線 ）的兩個焦點為 、 ，若 為其上一點，且 ，求該雙曲線離心率的取值范圍。

簡析：由雙曲線的定義可知： ，又 ， ，故 ， ，即 ，所以 ，由 可知

。

點評：利用焦點三角形兩邊長子之和大于第三邊長，是建立基本不等關系的一種常用手段。

3、利用橢圓、雙曲線的幾何性質，建立不等關系

例3、已知橢圓 為橢圓上一點，且 在 軸右側， 為右頂點， 為原點，若 ，求該橢圓離心率的取值范圍

簡析：設點

又 點 在橢圓上，

，即

則 ，即 ，從而由 可知

點評：橢圓是個一個封閉曲線，橢圓上的點的坐標滿足 ， ，利用 在 軸右側，則 是構造不等式的核心和關鍵。

4、利用函數思想，通過求值域確定離心率的范圍

例4、設 ，則雙曲線 的離心率的取值范圍是

簡析：

，從而由 可知

點評：建立離心率 關于參數 的目標函數，通過求函數的值域，確定離心率的取值范圍，體現了函數思想的靈活運用。

總之，在解析幾何中，求解雙曲線和橢圓的離心率取值范圍的問題，其核心和關鍵是巧妙的建立基本量 、 、 的不等關系，進一步構造出離心率 的不等式，通過解不等式可以確定離心率的取值范圍。

（作者單位：寶雞中學數學組）