核心素養下高中物理矢量概念的建立和深化

孫海軍

摘 要：矢量是貫穿高中物理學習的一個非常重要的概念，本文從什么是矢量，為什么要引入矢量入手，并從教學實際中選取的具體案例出發，突破對矢量的合、矢量的“差”、點乘、叉乘運算規則的理解，使學生學會用矢量觀念去分析具體的物理問題。

關鍵詞：核心素養 矢量 矢量的合 矢量的“差” 矢量的點乘 矢量的叉乘

一、什么是矢量

物理學科核心素養是學科育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。物理學科核心素養主要包括“物理觀念”“科學思維”“科學探究”“科學態度與責任”四個方面[1]。矢量是最能代表“物理觀念”的概念之一，矢量是既有大小和方向，又能夠按照平行四邊形進行求合的物理量，是學生由初中到高中必須跨越的第一個障礙。

二、矢量的合

為了更形象的體驗矢量運算規則，可以利用教具或課件讓學生更直觀看到矢量動態變化的過程中，合矢量是如何隨著兩分矢量的變化而變化的，并在具體題目中理解這一動態變化過程。

例1（共點力的動態平衡，2017年全國Ⅰ卷第21題）：如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>π/2）。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變，在OM由豎直被拉到水平的過程中

A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小

此題所用矢量三角形的解法，不同于我們所熟知的動態三角形和相似三角形解法，它最大的特點是在變化的過程中保持了重力不變和另兩個力的夾角不變，對物體受力分析如圖甲所示，平移后得到如圖乙的所示的矢量三角形。

此處給出兩種解法：1、構圖法，如圖丙，構造出乙圖矢量三角形的外接圓，將重力大小等效為圓上的弦，此弦不變，對應的圓周角保持不變，在OM拉至水平的過程中，可以明顯看出MN上繩子拉力一直在變大，OM上繩子拉力先變大后變小。2、正弦定理法，如圖所示，mg/sin（π-α）=TMN/sinβ=TOM/sinγ

當α保持不變，OM拉至水平的過程中，β角一直增大到π/2，γ角度從大于π/2一直減小到小于π/2，根據正弦函數的變化，可以判斷MN上繩子拉力TMN一直在變大，OM上繩子拉力TOM先變大后變小。由此可以看出動態平衡最能反映力這一物理量的矢量特征，在動態變化中體會力的大小和方向變化對平衡產生非常重要的影響。

三、矢量的“差”

在研究曲線運動中，通常采用化曲為直的思想，將曲線運動分解為兩個相互垂直方向的直線運動，例如平拋運動，用到運動的合成與分解的方法，以小船渡河問題為例，當小船

垂直河岸渡河，船的航行方向和船對地移動的方向是不同的，小船對地的速度計算如下

V船對地=V船對水+V水對地，將角標文字換成具有普遍意義的符號，有VAC=VAB+VBC，再數學變換，得VAB=VAC-VBC，此即矢量的“差”，其本質是矢量合的逆運算。從而得到一個通用的求相對速度的公式。

四、矢量的點乘

功等于力和力方向上位移的乘積，是力在空間上的積累，就是力這一矢量和位移這一矢量的點乘，當力與位移的方向垂直時，這種空間累計效果為零；當力與位移方向夾角為銳角時，力對物體做正功，表示能量從外界向物體轉移或者轉化；當力與物體方向夾角為鈍角時，力對物體做負功，表示能量從物體向外界轉移或者轉化。不妨通過一道例題來體會矢量的點乘的物理意義。

例2（2018河北石家莊檢測）：如圖所示，質量為m=1.0kg的物體從半徑為R=2.0m的圓弧的A端，在拉力作用下沿圓弧緩慢運動到B端（圓弧AB在豎直平面內）。拉力F大小不變始終為10N，方向始終與物體在該點的切線成37°角。圓弧所對應的圓心角為60°，BO邊為豎直方向。（π取3.14，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）則這一過程中（ ）

A.拉力F做的功為16.75J

B.重力G做的功為10J

C.圓弧面對物體的支持力FN做的功為零

D.物體克服圓弧面的摩擦力Ff做功6.75J

解析：該題由于力F的方向總是與切線方向成37°角，此力方向時刻都在變化，是變力，不可以直接用功的定義式W=F·scosα，在計算過程中引導學生一定要扣準功是力與力的方向上位移的乘積，此種情況我們應該采用微元法，將圓弧分成無限多個小短弧，每一段都可以認為是F的切向分力Fcos37°在做功，F的徑向分力與速度做功為零，F做的功WF=（Fcosα）·π/3·R=10×4/5×π/3×2J=16.75J，故A選項正確，由于重力做負功，B選項錯誤，支持力與位移方向時刻垂直，所以不做功，C選項正確，由于物體緩慢移動，動能一直為零，合力的功為零，0=WF+WG+Wf，得到WF=-6.75J，D選項正確。

五、矢量的叉乘

矢量的叉乘可以用來理解角速度的方向。

例如，在研究圓周運動的時候，引入了線速度和角速度這兩個概念，講解時特別強調速度時刻都在變化，因此勻速周運動是勻速率，不是勻速度。其實勻速圓周中速可以理解為勻角速度，即勻速圓周運動的角速度大小和方向都不隨時間變化，對于角速度是矢量這一觀點大部分同學對此不懂，為了讓學生更好的理解角速度是矢量，可以畫出如下圖形，將半徑認為是從圓心指向圓周的矢量R，利用角速度和線速度的關系v=w×R，根據矢量叉乘的規則，可知角速度這一矢量方向垂直于圓周運動的平面，故勻速圓周運動的角速大小和方向均不變化。

六、結語

核心素養下“物理觀念”是整個物理知識體系重要的基礎框架，矢量貫穿了高中物理的力學和電學，是最能代表“物理觀念”的概念之一，教學上應結合不同物理情景，逐層加深對矢量的理解和運用。

參考文獻：

[1]廖伯琴前言普通高中物理課程標準解讀[M]2017年版北京：高等教育出版社