基于數學史的高中函數概念教學初探

李艷梅

摘要：傳統的高中數學教材還是教學活動，都過分重視知識的呈現及邏輯的嚴密性而嚴重忽視了數學史的滲透和利用，以至“把火熱的發明變成了冷冰冰的美麗”。這一現狀隨著新課改的深入推進已逐步得到改善，不僅新教材中各種形式的數學史材料亦豐富了很多，近些年基于數學史的高中數學教學亦日漸受到重視。文章基于作者的教學實踐體會較為具體地探討了基于數學史的高中函數概念教學，冀對相關教學工作者有所助益。

關鍵詞：數學史;高中數學;函數概念教學;教學體會

本文擬結合筆者的教學實踐體會，對基于數學史的高中函數概念教學進行較為具體的探討，冀對相關教學工作者有所助益。

一、基于數學史進行函數概念教學的必要性簡析

常言道：“讀史使人明智。”數學概念的發展歷史不僅有利于學生更容易、更精準和更深入地把握數學概念，更能向其揭示相關數學知識的產生、發展演變及其實際應用，從而為其帶來多方面的啟發，這在一定程度上是有利于其數學素養發展的。事實上，新課標對此亦有所強調，高中數學課程應能展現知識的發生、發展、形成和應用過程，教師的教學活動要能為學生提供深刻感受和體驗的機會。因而在基于數學史的函數概念教學實施中，教師首先要能夠通過查閱資料清晰簡潔地呈現函數概念的發展演化過程，至少要做到心中有數。函數是十分抽象的概念，其產生產生至今已有數百年的歷史，歷經各代數學家的不斷充分、改進和優化而日趨完善，但也正由于這種長期發展過程所帶來的層次性以及天然的抽象性，使得學生不易全面深入地理解概念，以至缺乏用函數思想分析問題和解決問題的意識和能力，這就更突出了呈現函數概念發展過程即基于數學史教學的必要性。

二、基于數學史的高中函數教學基本步驟

（一）梳理清楚函數概念的發展演化過程

根據現有文獻結果，十六世紀以前常量數學是數學研究領域的主體，具體的函數關系雖很常見，但尚無一般性的抽象概念。隨著資本主義生產方式在歐洲的逐步確立，生產力科學技術快速發展，對數學的研究需求日益迫切。最早提出變量思想的是法國數學家笛卡爾，他在其《幾何學》一文中稱變量為“未知和未定的量”，并引入兩個變量之間的相依關系，這可以說是函數概念的萌芽。

考證顯示，函數這一名詞最早由德國數學家萊布尼茨最先使用，時間大約是在十七世紀中期。但當時尚無一般性的函數定義，“函數”一詞關系主要指一些具體的變量關系，這些關系都有其固定的表達式，且和曲線問題緊密相關，即表示任何一個隨著曲線的點的變動而變化的量，直到該世紀下半葉一些數學家在此基礎上經過一般化處理形成以下概念：“函數是這樣一個量，它是從一些其他的量通過一系列代數運算而得到的。”

這樣的函數概念雖已具備了一般性和抽象性，但實際上局限在了代數函數的范圍，仍不具有普遍性。其后隨著數學研究的廣泛和深入，人們越來越多地接觸到諸如指數函數、三角函數等代數函數范圍以外的函數關系，于是數學家歐拉在原有基礎上又提出了如下更為一般化的概念：“函數是指由一個變量與一些常量，通過任何方式（有限的或無限的）形成的解析表達式。”這一概念較原來為好，在十八世紀廣為普及，但由于將概念局限在了解析表達式上，仍然不具有普遍性。直到十九世紀，人們開始擺脫解析表達式的限制，表述的重點逐漸往函數的本質屬性靠近，其中以狄里克雷提出的函數概念最具代表性：“如果對于給定區間上的每一個x值都有唯一的一個y值與其對應，則y就是x的一個函數。”顯而易見，這樣的概念已接近于初中的函數概念。由于這一定義抓住了函數的本質屬性，為理論研究和實際應用提供了便利，成為較為完善的真正具有現代意義上函數概念。

（二）結合實例由初中到高中逐步過渡

當函數概念的發展過程梳理到接近初中概念的階段后，教師就可以很自然地引出初中函數的概念，再進一步過渡到高中函數概念，也就是最為“現代”函數概念。這樣，就將函數概念發展與學生的認知起點有機結合起來，使學生從整體視角上了解函數概念的發展和演化，充分利用數學史幫助更好地掌握高中函數概念。

1、回顧初中函數概念

初中函數概念的形成基于在此之前的函數長期的發展和演化過程，這一點上文已有詳細敘述，初中函數概念的表述側重于突出變量觀點，這是由學生在初中階段的思維特征和認知水平所決定的，合乎于其從具體性形象性思維向抽象性邏輯性思維過渡的思維發展規律。初中函數概念的表述一般如下：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x值，相應地就確定了唯一的一個y值，則我們就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。教師引導學生回顧初中函數概念時，可適當結合具體實例，如：“汽車進加油站加油，油價為7.19元/升，加油過程中，加油量和金額兩個窗口的數字不斷跳動，當加油量達到12升時停止跳動。如果設金額為y，加油量為x，則兩者之間的數學關系式如何表示？”通過這樣的一個簡單而典型的實例，可以更好地使學生回憶并切實理解初中函數概念的內涵所在，同時也是一種思維預熱，為接下來學習和掌握高中函數概念奠定有利基礎。

2、引出高中函數概念

高中函數概念在初中概念的基礎上引入了數集，突出“對應”，某種程度上更好地揭示了函數的本質。在回顧初中函數概念后，教師即接著結合簡單而典型的案例引導學生分析和討論兩個案例的共同特點，

綜上所述，本文基于筆者的教學實踐體會，較為具體地探討了基于數學史的高中函數概念教學。總而言之，要使學生的思維經歷函數概念的發展演化過程，即從函數概念的最初產生到高中函數概念的自然引出，從而使學生的認知起點與函數概念發展有機結合，順暢而切實深入地掌握函數概念的本質，這是基于數學史的函數概念教學的關鍵所在。

參考文獻：

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[2] 何曉勤.基于數學史視角下“函數概念”的發展與教學啟示[J].數學通訊，2017（24）：8-11.

（作者單位：南昌市洪都中學）