初中分階段實施數形結合思想方法滲透的教學策略

區珮霞

【摘要】數形結合的思想方法，不像一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。要想提高學生運用數形結合思想的能力，需要教師耐心細致地引導學生學會聯系數形結合思想，理解、運用和掌握數形結合思想。它需要根據學生的年齡特征，學生在學習各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內涵。

【關鍵詞】數形結合思想；滲透；感受；挖掘；感悟

數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的科學，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。華羅庚先生指出，數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法?！皵敌谓Y合”對教師來說是一種教學方法、教學策略，如果長期滲透，運用得當，則可以使學生形成良好的數學意識和思想，并升華成為數學方法，長期穩固地作用于學生的數學學習生涯中。

數形結合的思想方法，不象一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。要想提高學生運用數形結合思想的能力，需要教師耐心細致地引導學生學會聯系數形結合思想、理解數形結合思想、運用數形結合思想、掌握數形結合思想。它需要根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內涵。因此應該分三個階段讓學生感受、挖掘、感悟數形結合思想方法。下面就各階段談一下滲透策略。

第一階段：感受數形結合思想方法，激發認識數形結合思想方法的興趣

這一策略主要針對剛進入中學的七年級學生，他們雖然具備了一定的知識和經驗基礎，但直接經驗少，理解能力差，思維形式正處在由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，對隱藏在具體內容中的數形結合思想方法，抽象又陌生。在這個時候最需要老師幫助他們掃清認識障礙。老師要抓準時機幫助學生激發使用數形結合思想方法的興趣。義務教育階段的數學教育，培養學生的學習興趣是至關重要的，只有興趣才是學習的不懈動力。為此我們從學生身心特點和學科的特殊性入手，注重內容的生活性、豐富性、啟發性，選擇有探索欲望又能幫助學生解決問題的教學內容，讓學生體驗數形結合思想方法對學習的幫助，真正調動七年級學生學習的積極性。

數軸的引入是有理數內容體現數形結合思想的重要課題。對于每一個有理數，數軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個有理數大小的比較，是通過這兩個有理數在數軸上的對應點的位置關系進行的（實數的大小比較也是如此）。相反數、絕對值概念則是通過數軸上的點與原點的位置關系來刻畫的。盡管我們學習的是有理數，但要時刻牢記它的形（數軸上的點），通過數形結合的思想方法的運用，幫助七年級的學生正確理解有理數的性質及其運算法則。

例如：學習“有理數的加法”

學生在小學已經學習過算術四則運算，而初中的有理數運算是以小學算術四則運算為基礎的。不同的是有理數運算多了一個符號問題。因此符號問題是一個很重要的問題，在有理數運算法則中都突出了符號，它是運算法則的重要組成部分。這一點應引起大家的重視，并且在確定符號方面一向都是學生的大難題。這里可以借助數軸幫助學生理解如何確定符號，與此同時引入數形結合思想，激發學生認識和學習數形結合思想的興趣。

在學習有理數加法法則時可以這樣創設情境：

步驟1.做一做：利用數軸來表示有理數加法的運算過程，以原點為起點，規定向東的方向為正方向，向西的方向為負方向（下列做法要求學生按要求畫出數軸，然后寫出結果）。

（1）先向東移動2個單位，再向東移動3個單位，一共向東移動了 個單位；

（2）先向西移動2個單位，再向西移動3個單位，一共向西移動了 個單位；

（3）先向西移動3個單位，再向東移動2個單位，此時在原點 側 個單位；

（4）先向東移動3個單位，再向西移動2個單位，此時在原點 側 個單位；

（5）先向西移動4個單位，再向東移動4個單位，則此時在 .

步驟2：讓學生把上述式子寫在一起

（6）請把剛才5種情況列式表示

① ；② ；

③ ；④ ；

⑤ .

步驟3：仔細觀察上述算式，通過小組討論的形式歸納總結你發現了什么運算規律（考慮一下應該分幾種情況）？并寫出來。

授課過程中，充分顯示數形結合思想將抽象的符號確定問題具體化為數軸上的方向確定問題，讓學生在畫數軸的過程中不自覺地獲得了知識。課后針對只用了課本引例的班級與加入數軸引例的班級進行測試對比，數據顯示得到數形結合思想的幫助效果是明顯的（其中7（2）、（4）是進行試驗的班級）

“數學好玩”曾是數學家陳省身先生對數學的贊美，如何讓學生感受到數學有這種特有魅力，需要教師在激發學生學習興趣上下功夫，撥動學生的好奇心，激發學生學習的原動力。因此在引導學生認識數形結合思想的前提就是激趣。我們可以把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。

第二階段：挖掘數形結合思想方法，養成思維

八年級的學生對數形結合思想方法有了初步的了解和認識，其思維和能力有了質的飛躍。我們盡可能在設計問題和設計教學時挖掘、顯化數形結合思想方法，讓思想方法在學生大腦中“著床”，積累更多經驗，逐漸養成思維能力，利用數形結合思考的習慣，為今后的學習做好鞏固鋪墊工作。

函數是初中數學的重要內容之一，也是學習的一個難點，同時又是“數形結合”的思想方法體現得最充分的章節。平面直角坐標系把“點”和“數”對應起來，使抽象的“數”與直觀的“形”有了統一，開創了研究數學問題的新途徑。

例如：學習“正比例函數”圖象及性質

在這里我們可以借助正比例函數的知識作為載體，挖掘其中的數形結合思想方法，引導學生如何通過“數”與“形”來研究一種函數的性質，從而養成一種思維的習慣。在學習一次函數、反比例函數和二次函數中也可以用同樣的方式方法類比學習，降低學習的難度，減輕學習的負擔，更重要的是增強學生學習的信心。

教學過程可以這樣設計：

步驟1：理解圖象定義，推斷出畫函數圖象的一般步驟

函數的圖象的定義從字面理解較為抽象，我們可以借助本章開始摩天輪上一點的高度與旋轉時間之間函數關系的圖象，引導學生理解函數中自變量、因變量與圖象上的點的一一對應關系，點動成線形成了圖象。

因此引出問題思考：若要研究某種函數的圖象特征，我們該從何入手呢？下面從畫正比例函數y=2x的圖象來想辦法。上面已經知道函數圖象由很多點組成，那么我們必須求出很多相對應的的函數值。為了表達方便，列表表示清晰；下一步可以利用表中各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系內找出相應的點；最后把點一次連接起來。于是就總結出畫函數圖象的一般步驟：列表，描點，連線。

那么往下畫正比例函數的圖象就水到渠成了。

步驟2：“形”中覓“數”，觀察圖象歸納性質

在同一直角坐標系內畫出正比例函數y=x，y=3x，和y=-4x的圖象后，教師作為教學活動的引導者，設計好問題引導學生探究：正比例函數圖象的形狀，所處的位置（提問時可以追問，所處位置受什么影響？）；上述函數中，隨著x值的增大，y的值如何變化（提問時可以追問，變化的不同又受什么影響，怎樣影響？）。探究問題，作為教師應該做好組織者，讓學生在小組學習的模式下進行，讓學生在自主探究、合作交流的學習方式中獲得最佳的學習效果。

借助正比例函數教學開啟函數學習的大門，將研究函數的套路勾畫出來，為以后其他函數的研究積累經驗

第三階段：感悟數形結合思想方法，衍生思維

數學思想的形成需要在過程中實現，只有經歷問題解決的過程，才能體會到思想的作用，才能理解數學思想的精髓。讓學生感悟數學思想和方法，關鍵是讓學生經歷和體驗一些數學知識的獲取過程，并在其中獲得對數學思想方法的感悟。當學生的認識和思維又上了一個臺階后，可以要求他們對數形結合思想方法進行梳理，以進一步提高思維能力和解決問題的能力。這一階段是數形結合思想內化的過程，它是獲得能力的自身性增長與實質性提高、具有形成新認知結構功能的過程。因此在這階段的教學要做到：

1.反復理解，歸納提升

在教學中，教師要對具體的數學知識進行深入的分析對比，挖掘相應內容所蘊涵的數學思想，進行反復滲透理解，歸納提升，提高學生的認識水平。例如，學習反比例函數，既要以已有的研究函數的經驗和方法為基礎，又要深化和豐富對函數的認識，可結合函數的表達式推測函數的圖象形狀，根據圖象的形狀從不同角度歸納函數的性質，進一步讓學生體會以形思數、以數覓數的思維形式。學習過程中注重反比例函數與一次函數的對比，幫助學生反復理解數形結合思想，把握學習函數的思維規律，歸納總結學習方法，提升學習數學的能力。

2.注重復習課的提煉，形成思維方法

在九年級對整個初中數學的復習中，教師要對具體的知識進行深入貫通，對數形結合思想進行反復的滲透以，提高學生的認識水平；讓學生通過不斷重復、不斷深入思考，逐步“領悟”數學知識、技能中蘊涵的數形結合思想；讓學生在用數形結合思想解決具體問題時，逐步形成程序化的操作，并構成解題方法。所以注重復習課的方法提煉顯得尤為重要。

例如：反比例函數

【復習目標】

1.能根據已知條件確定反比例函數表達式，根據圖象和函數表達式，進一步理解其性質；

2.能利用反比例函數解決實際問題；

3.掌握反比例函數和一次函數的綜合運用，深刻體會數形結合的思想。

【典型例題】

【例1】水池內裝有12 m3的水，如果從排水管中每小時流出x m3的水，則經過y小時，就可以把水放完。

（1）求y與x的函數關系式。

（2）畫出函數的圖象。

（3）若必須在3 h之內把水放完，那么每小時排水量不能小于多少？

【例2】如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象交于點A（-4，-2）和B（a，4）.

（1）反比例函數和一次函數的解析式；

（2）根據圖象回答，當x在什么范圍內時，一次函數的值大于反比例函數的值。

（3）連接OA，OB，

求△AOB的面積。

四、小結

通過三年三個階段的數形結合思想方法的滲透，讓學生在數與形的結合、抽象與直觀的結合、思維與感知的結合中，使初中學生接觸到的數學不再是枯燥、乏味、抽象的，而是美麗、生動、具體的，使初中學生對數學活動表現出濃厚的興趣，學會主動探索、積極思考、不斷發現問題、提出問題、解決問題，學習的主動性大大提高。學生獲得數學的基本思想是數學課程的重要目標，他們在用數學思想解決具體問題時，會逐步形成程序化的操作，從而形成數學思想，掌握正確的學習方法，使其在今后的學習、生活中終身受益。

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）解讀

[2]中學數學教學參考

[3]作為教育任務的數學思想與方法