一道橢圓離心率問題的解題研究

羅萬萍

摘要：橢圓離心率問題是數學高考中的一個重要考點，本文借助波利亞的“怎樣解題表”利用一道典型例題的五種不同解法，引導學生突破思維，學會解題，把機械的做題轉變到深刻理解概念的內涵及外延，以及對解題進行歸納、總結、拓展、感悟的軌道上來，讓教師和學生找到真正的“應試之道”。

關鍵詞：橢圓 離心率 怎樣解題 新高考

橢圓的離心率的值或者取值范圍是高考的高頻考點，求離心率的本質就是探究a，c之間的數量關系。橢圓的離心率體現橢圓的扁平程度，而扁平程度與橢圓的范圍有關，橢圓離心率問題是學習的一個重點和難點它涉及的知識面廣，題目帶有一定的綜合性和靈活性。對學生思維能力要求較高。我們以一道經典例題的一題多解，嘗試借助波利亞的“怎樣解題表”來引導學生展開思考，幫助學生突破思維障礙。

四、解題反思：

方法一本質是將存在性問題轉化為最值問題，考慮了點P在短軸端點的特殊情況找到范圍的一個極限值。有同學會假設當點P與橢圓上、下頂點重合時計算出一個離心率值等于√3/2，然后估計√3/2可能是離心率e取到一個最值，但是卻不知道為什么。

我們可以繼續深入研究，看看橢圓上任意一點P與焦點所成的角∠F1， PF2中，上頂點與焦點所成的角∠F1 BF2會不會有什么特殊性。大家可以猜想當P為短軸與坐標軸交點時，∠F1 PF2最大。

證明：如圖所示，過上頂點B，F1，F2作圓O'，圓心O'與坐標原點O不一定重合，劣弧A1B和A2B上的點除B點在圓上其它都在圓外，根據同弦所對的圓周角大于圓外角，可得∠F1 BF2>∠F1 PF2。

由此，我們可以得到：橢圓上任意一點與焦點的連線所構成的∠F1 PF2中，當點P在短軸端點時∠F1PF2最大。

方法二運用了橢圓的定義，余弦定理及基本不等式

既然可以用余弦定理解三角形，我們也可以嘗試方法三用正弦定理解三角形，并結合初中合比定理以及橢圓定義求解，同時運用了三角函數有界性。

方法四PF1和PF2是橢圓上點到焦點的距離，所以聯想到用橢圓焦半徑公式來求解。

方法五用到了焦點三角形面積公式S△PF1F2=b2.tan a/2以及（S△PF1F2）max=bc

這道題還有其他的一些解法，每個解法都有很多知識點的融合和擴展，教師應該利用核心題型，深入剖析、總結歸納解題的規律和方法，力求給學生以啟發，引導學生注重縱橫聯系、發現共同的本質特征，實現知識的遷移，培養學生繼續學習的潛力。

從高考數學最新的命題特點來看，試題明顯從過去單純的強調簡單的觀察能力和特殊技巧，轉變為深刻地把握數學問題的本質及通性通法。因此，對于廣大教師和學生來講，適應高考復習新常態，必須由原來的題海戰術為指導原則轉變為向效率要分數，把機械的做題轉變到深刻理解概念的內涵及外延，以及對解題進行歸納、總結、拓展、感悟的軌道上來，讓教師和學生找到真正的“應試之道”。

參考文獻

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