例談高中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題建模能力的培養(yǎng)

歐紅波

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：數(shù)學(xué)建模是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。然而，目前從教師的教到學(xué)生的學(xué)，都對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視度不夠。文章通過研讀新課標(biāo)要求和歷年高考題目，簡(jiǎn)要分析了高中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題建模能力存在的問題，并提出了相應(yīng)的提高學(xué)生應(yīng)用題建模能力的策略。

關(guān)鍵詞：高中生;數(shù)學(xué)應(yīng)用題;建模能力;培養(yǎng)策略

回顧歷年高考全國(guó)卷的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，其選材豐富、背景多樣、貼近生活。但很多學(xué)生不喜歡做數(shù)學(xué)應(yīng)用題，對(duì)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)建模有恐懼心理。本文結(jié)合多年的高三備考教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，例談高中生數(shù)學(xué)建模能力薄弱的原因和教學(xué)對(duì)策。

一、高中生懼怕數(shù)學(xué)應(yīng)用題的原因

（一）閱讀及審題能力不足

閱讀，就是為了弄清題意，這是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的第一步，也是基礎(chǔ)性的一步。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題題目長(zhǎng)、信息量大、數(shù)據(jù)關(guān)系比較復(fù)雜和有效信息與迷惑性信息相混雜，個(gè)別題目還涉及一些專業(yè)術(shù)語(yǔ)難以理解等問題。學(xué)生由于閱讀及審題能力不足，在有限的應(yīng)試時(shí)間內(nèi)難以準(zhǔn)確理解題意，更難理順復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。

（二）數(shù)學(xué)建模能力薄弱

數(shù)學(xué)應(yīng)用題區(qū)別于其他數(shù)學(xué)題目是要把抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體化的實(shí)際問題相對(duì)接。因此，在實(shí)際情景中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，建立數(shù)學(xué)模型，最終運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，這恰好是學(xué)生普遍缺乏的能力。

二、強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，突出數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的方法把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決各類實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。

這就要求學(xué)生能讀懂題目的條件和要求，將所學(xué)的知識(shí)和方法靈活應(yīng)用于實(shí)際問題情境，舍棄問題中與數(shù)學(xué)無關(guān)的非本質(zhì)因素，抽取出涉及問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。從實(shí)際情景性問題的數(shù)學(xué)建模層次來看，高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的考查，主要分為兩類：

一類是數(shù)學(xué)模型在問題情景中已經(jīng)給出，利用所給的數(shù)學(xué)模型對(duì)問題進(jìn)行定性、定量分析而求解。

例1：（2011·湖北）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_______升。

題目中已知這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，只需要考生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列（在等差數(shù)列{an}中，S4=3，a7+a8+a9=4，求a5 ）的一個(gè)數(shù)列上求基本量的計(jì)算問題，但以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，學(xué)生就出現(xiàn)了思維障礙。

例2：（2013年高考重慶卷）某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）。設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米。假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）。

（Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域;

（Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大。

此題是課后習(xí)題，解答此題的關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系200πrh+160πr2 =12000π，即h=（300-4r2），

進(jìn)一步得到V關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系V（r）=πr2h=（300r-4r3），再根據(jù)r>0，h>0得到函數(shù)的定義域?yàn)椋?，5）。這則高考題背景材料學(xué)生并不陌生。數(shù)學(xué)知識(shí)是圓柱側(cè)面積和體積問題，但學(xué)生欠缺的就是把兩者結(jié)合起來，即把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的這種能力。

另一類是數(shù)學(xué)模型在問題情景中沒有給出，完全需要解題者自己進(jìn)行分析抽象提煉出數(shù)學(xué)模型，再對(duì)數(shù)學(xué)模型求解。

例3：某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史紀(jì)錄的大暴雨，為確保萬(wàn)無一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的隧道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由。

由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛車每小時(shí)的工作效率為，從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2…a25小時(shí)，依題意組成公差d=-（小時(shí)）的等差數(shù)列，且a1≤24，則有++……+≥1，≥480，化簡(jiǎn)可得2a1-8≥，解得a1≥23.2<24。可見a1的工作時(shí)間可以滿足要求。此題的關(guān)鍵是能成功構(gòu)建等差數(shù)列模型和不等式模型，進(jìn)一步求解就非常順利了。

例4：（2003年全國(guó)卷）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南θ（cosθ=）方向300km的海面P處，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km / h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

這是一個(gè)典型的實(shí)際問題情景化的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，其情境來源于沿海城市的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)，考查學(xué)生的建模能力，能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成圓的方程和不等式問題。

三、提高學(xué)生應(yīng)用題建模能力的策略

（一）提高學(xué)生的閱讀能力，是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的前提

突破題意閱讀關(guān)，消除學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的恐懼不是一蹴而就的事，它需要平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練。平時(shí)上課，教師總是把閱讀的時(shí)間放在最后，讓學(xué)生大概了解公式、概念的含義。過后，學(xué)生也是走馬觀花，完成教師布置的任務(wù)而已，沒有什么效果。教師應(yīng)該根據(jù)自己講授的教學(xué)內(nèi)容選擇好合適的閱讀時(shí)間，讓學(xué)生通過自己的閱讀真正的理解本節(jié)課所講授內(nèi)容。培養(yǎng)學(xué)生在做應(yīng)用題時(shí)，敢于去認(rèn)真閱讀題目，慢慢消除恐懼心理。當(dāng)然，除了掌握書本知識(shí)外，學(xué)生還應(yīng)留意生活，積累必要的生活常識(shí)。

（二）感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，對(duì)書本知識(shí)系統(tǒng)、深刻、熟練的掌握正是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的知識(shí)基礎(chǔ)和思路起點(diǎn)。因此，課堂教學(xué)要多以生活實(shí)際提出問題、分析問題。例如：在學(xué)習(xí)公理“不共線三點(diǎn)，確定一個(gè)平面”時(shí)，可以提出：“為什么教室門，當(dāng)不拴門時(shí)，門可以隨意開關(guān)，但當(dāng)把門拴上時(shí)，門就不能開了？”“若給門安裝三個(gè)合頁(yè)，門還能自由開關(guān)。”通過這樣的實(shí)例，能讓學(xué)生掌握這個(gè)概念，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維看待事物，產(chǎn)生“生活中處處有數(shù)學(xué)”的意識(shí)。同時(shí)，一道題目可能有較多的建模思路，應(yīng)讓學(xué)生選擇自己最熟悉或運(yùn)算過程少、技巧性不太強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型為切入點(diǎn)，樹立學(xué)生建模信心。

（三）主動(dòng)探究，經(jīng)歷建模的過程是關(guān)鍵

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建模的過程就是將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過程。顯然，建模與純粹的數(shù)學(xué)能力有密切關(guān)系，但是不等價(jià)，應(yīng)用意識(shí)需要不斷培養(yǎng)、鍛煉。需要學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)探究、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，而不是教師直接告訴學(xué)生怎么解答，因此，在教學(xué)時(shí)我們要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探究，對(duì)學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)材料主動(dòng)歸納、提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。

（四）熟悉一些常見問題的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)應(yīng)用題背景雖然范圍廣泛，但考察的就是常見的幾種數(shù)學(xué)模型，需要熟練掌握。

1. 函數(shù)模型：利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等一些基本函數(shù)的模型，解決現(xiàn)實(shí)生活中的最值問題。

例5：某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表：

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？

這是一個(gè)典型的函數(shù)模型，學(xué)生需要設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤(rùn)為y元，列出函數(shù)解析式：y=（520-40x）x-200，0<x<13。易知，這是個(gè)二次函數(shù)最值問題。

2. 數(shù)列模型：利用等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)解決增長(zhǎng)率、降低率、復(fù)利等與次序有關(guān)的問題（如例1及例3）。

遇到航海、距離、高度、角度等三角形問題，自然就要想到利用正（余）弦定理。還有不等式模型、線性規(guī)劃都是常用到的數(shù)學(xué)模型，需要非常熟悉。

數(shù)學(xué)建模作為中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高考數(shù)學(xué)試題中必然會(huì)繼續(xù)得到體現(xiàn)并得到重視，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力以及利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想、強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，熟練常考的數(shù)學(xué)建模方法，才能提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。