HPM視角下“有理數的乘法”教學研究

王進敬 栗小妮

【摘 要】 “負負得正”這一符號法則是數學上為了在數系擴充時保持運算律一致性而做出的合理規定，它本身并不能被證明，但其合理性可以借助現實模型加以解釋。在課堂教學中，很多教師往往不重視“負負得正”法則的由來，也很少給予學生機會探究“負負得正”的原因。教師從司湯達的故事入手，引導學生對“負負得正”進行探究，除了讓學生更深刻地理解這一法則，還體現了多方面的教育價值。

【關鍵詞】 HPM；負負得正；有理數乘法法則；教學設計

【作者簡介】 王進敬，中學高級教師，主要從事數學史與數學教育研究；栗小妮，華東師范大學教師教育學院博士研究生，主要從事數學史與數學教育研究。

【基金項目】 上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究

一、引言

初中階段，學生要經歷兩次數系的擴充，第一次為負數和有理數。有理數乘法法則作為有理數的學習內容，是將學生已知的正整數范圍內的運算法則推廣到有理數范圍的一個重要載體。有理數乘法法則可以讓學生深化對負數、已有正數范圍內運算法則和運算律的理解和運用，而如何向學生解釋“負負得正”是教學的難點。

在已有的教學設計中，很多教師利用一個或兩個現實模型引入有理數乘法法則，例如有的教師利用蝸牛爬行模型、水位變化模型或者歸納模型引入該法則。在教學實踐中，用現實模型解釋有理數乘法法則有一定難度。學生除了要弄清不同情境中正負的規定，運動中方向的確定與正負的對應，還要將靜態的負數理解為一個動態的過程，這樣就增加了思維的難度。因此，有的教師改編教科書中的設計，運用加法法則解釋“負正得負”，再利用相反數的意義得到“負負得正”，或輔以現實模型得到或驗證“負負得正”，強化學生對該法則的理解。還有的教師通過將正整數范圍內的運算律推廣到有理數范圍來引入有理數乘法法則，先用加法法則解釋“負正得負”，再利用分配律解釋“負負得正”。

有些教師試圖在教學中證明“負負得正”，事實上，“負負得正”在數學上是無法被證明的。德國數學家F克萊因在其《高觀點下的初等數學》中告訴數學教師“不要把不可能的證明講得似乎成立”[1]。美國數學家和數學史家M克萊因以史為鑒，預言學生在學習負數時必定會遇到困難。他曾指出，歷史上大數學家所遇到的困難，恰恰也是學生會遇到的學習障礙，試圖利用邏輯的冗長語言來消除這些困難是不可能成功的。從數學誕生開始，數學家花了1000多年才得到負數的概念，后面又花了1000多年才接受負數的概念，因此我們可以肯定，學生學習負數時必定會遇到困難。而且學生克服這些困難的方式與數學家大致是相同的[2]。

因此，在教學有理數乘法法則時，教師有必要弄清以下問題：“負負得正”既然是一種“規定”，那么這種“規定”的根源何在？除了用課本上給出的運動模型進行解釋，還可以采用哪些方式來解釋其合理性？在歷史的發展進程中，“負負得正”經歷了怎樣的曲折？在后續的數學學習中，怎樣看待“規定”的內容？是毫無疑問地全盤接受，還是從多個角度加以質疑，并在探索中尋找問題的答案，從而獲得終身學習的能力？鑒于上述問題，我們從HPM視角設計本節課。

二、歷史素材

有關負數和“負負得正”的歷史精彩紛呈，本教學設計所采用的是19世紀法國著名作家司湯達（Stendhal）在其自傳中描述他學習“負負得正”的經歷，以及M克萊因用“負債模型”對有理數乘法法則的解釋。司湯達小時候很喜愛數學，當數學教師迪皮伊先生教到“負負得正”這一法則時，司湯達希望教師能對“負負得正”的緣由做出解釋。面對司湯達的提問，迪皮伊先生只是一笑而過，并不當回事，而靠死記硬背學數學的一名學生則對司湯達的疑問“嗤之以鼻”。補習學校的數學教師夏貝爾先生被司湯達問得十分尷尬，只得不斷重復課程內容，說負數如同欠債，而那正是司湯達的疑問所在：一個人該怎樣把10000法郎的債與500法郎的債相乘起來，才能得到5000000法郎的收入呢？最終，夏貝爾先生只得搬出數學家歐拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）的話給予解答：“這是慣用格式，大家都這么認為。”[3]司湯達被“負負得正”困擾了很久，最后，在萬般無奈之下只好接受了它。

19世紀，司湯達的老師未能解釋“債務乘以債務等于收入”的悖論。到了20世紀，美國數學家M克萊因成功地解決了這個難題。他聲稱，如果記住物理意義，那么負數的運算以及負數和正數的混合運算就很容易理解了。M克萊因的解釋如下。

假定一人每天欠債5美元，而在給定日期他身無分文（0美元）。那么，給定日期3天后他欠債15美元，如果將5美元的債記為-5，那么每天欠債5美元，欠債3天，可以用數學式子表示為3×[BFB]（-5）[BFQB]=-15；在給定日期3天前，他的財產比給定日期多15美元，如果用-3表示3天前，-5表示每天欠債數，那么給定日期3天前他的經濟情況可表示為[BFB]（-3）×（-5）[BFQB]=15。

三、教學設計與實施

1有理數乘法法則初探

在本節課之前，學生已經學習了有理數加減法法則，知道有理數加減法法則需要考慮符號和絕對值，因此，教師讓學生類比加減法法則，通過例1中幾個算式的計算，從符號和絕對值兩個方面初步探討有理數乘法法則。

例1 計算下列各題。

① 4×3；② （-4[BFB]）[BFQB]×3；③ 4×[BFB]（[BFQB]-3）；④ （-4[BFB]）×（[BFQB]-3）。

師：從計算結果來看，兩個有理數相乘，我們應該關注哪兩個方面？

生：符號和絕對值。

師：請分別說說上述4道題中兩個因數的符號和計算結果的符號有何關系？

生：正乘正得正，正乘負得負，負乘正得負，負乘負得正。

師：“正乘正得正”是小學學過的，你能舉一個生活中的實例解釋一下嗎？

生：媽媽每天給我4元錢，3天后，我擁有12元。

師：仿照這個例子，你能給出（-4[DK]）×3=-12的解釋嗎？

生：假如規定收入為正，支出為負，每天支出4元（-4），與現在相比，3天后（+3）支出12元（-12）。

生：規定向右運動為正，向左運動為負。一個人從原點出發，以每小時4千米的速度向左運動（-4），3小時后（+3），這個人在原點左側12千米處（-12）。

2探究為何“負負得正”

根據對負數的認識，學生可以很快解釋“負正得負”。如何解釋“負負得正”是本節課的難點，教師從讓學生解釋“正負得負”入手，再引入司湯達的故事，通過講述司湯達的困惑引發學生探究和思考，最后引導學生將已經給出的模型進行擴展，解釋“負負得正”，從而突破本節課的難點。

師：前面這些例子都是先給出一個因式的現實意義，再給出另一個因式的現實意義，從而得出積所表示的意義。（-4[BFB]）×（-3）[BFQB]=12的符號說明“負乘負得正”，這是為什么呢？

（隨后，教師向學生講述了司湯達的故事，并提出問題“你能為司湯達解釋他的困惑嗎？”。）

生：反面的反面是正面。

師：這個例子雖然有些道理，但遠比不上前面同學舉出的負乘正的例子具有說服力。根據前面的例子，正數與負數是兩個相對意義的量，要說明負數，就要先規定正數的意義，并與參照標準做比較。在這之前，你能仿照老師和前面同學給出的例子，說明4×[BFB]（-3）[BFQB]=-12的結果嗎？比如規定向右運動為正，向左運動為負，+4表示向右運動，-3只能表示時間，那么怎樣規定時間的正負呢？參照標準是什么呢？

生：規定向右運動為正，向左運動為負，當下在原點，以每小時4千米的速度向右運動（+4），3小時前（-3）在原點左側12千米處（-12）。故4×[BFB]（-3）[BFQB]=-12（如圖1所示）。

師：在兩個有理數的乘法中，兩個因數分別有各自的正負規定，最終根據參照標準，得出乘積所表示的意義。你能根據上述知識，用文字或者數軸說明（-4[BFB]）×（[BFQB]-3）=12的結果嗎？

（小組討論交流并展示討論結果。）

生：規定向右運動為正，向左運動為負，當下在原點，若以每小時4千米的速度向左運動（-4），則3小時前（-3）在原點右側12千米處（12）。故（-4[BFB]）×（-3）[BFQB]=12（如圖2所示）。

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師：從上述模型中，我們解釋了“負負得正”的原因，那么你能解答司湯達的困惑嗎？

生：根據我們的模型解釋，“負負”其實包含兩個層次，司湯達混淆了“負負得正”中兩個“負”的層次，即法郎×法郎=法郎。

師：司湯達的老師夏貝爾先生所說的“負數如同欠債”，可以解釋“負負得正”嗎？

生：其實夏貝爾先生找到了打開“負負得正”大門的鑰匙，用欠債模型也可以解釋，即每天欠債4美元表示為-4，與現在相比，-3表示3天前，那么，他的財產比現在多12美元。

師：司湯達的故事給我們什么啟示？

生：我很佩服他不畏權威的質疑精神，在今后的學習中，我也要多問為什么，并努力通過各種形式解釋它。

3歸納有理數乘法法則

在本教學環節，教師和學生根據前面的探討一起總結有理數乘法法則。

師：你能從符號和絕對值兩方面敘述有理數乘法法則嗎？

生：有理數乘法法則是兩數相乘，同號得正，異號得負，并把兩數的絕對值相乘。

師：從有理數的符號分類來看，這個法則中還缺哪個數？

生：任何數與零相乘都得零。

師：根據這個法則，在有理數計算中，通常我們會先考慮什么再計算？

生：先確定符號，再把兩數的絕對值相乘。

師：如果司湯達坐在我們的教室中，與同學們共同討論“負負得正”，他一定會深刻理解這一知識。

4數學與邏輯相結合

教師從數系擴充的角度向學生解釋“負負得正”，為學生在后續乘法學習中驗證已有的運算律打基礎。

師：數系擴充的原則之一就是運算律的無矛盾性，根據這一原則，我們也可以從邏輯上解釋“負負得正”。原有數系的運算律如下。

[WTBX]① 0+a=a，0·a=0

② 交換律：a+b=b+a；a·b=b·a

③ 結合律：[BFB]a+（b+c）=（a+b）+c；a·（b·c）=（a·b）·c[BFQB]

④ 分配律：[BFB]a·（b+c）=a·b+a·c[BFQB][WTBZ]

這些運算律在正數計算中起著非常重要的作用，當數集擴充到有理數集時，要保證它們依然成立，即運算律的無矛盾性。依據上述運算律，可以得到下面的算式。

[BFB]（-1）×（-1）

=（-1）×（-1）+0×1

=（-1）×（-1）+[（-1）+1]×1

=（-1）×（-1）+（-1）×1+1×1

=（-1）×[（-1）+1]+1×1

=（-1）×0+1×1

=0+1

=1

從上述過程來看，要使運算律在有理數集中成立，“負負得正”必須成立。總之，“負負得正”從現實模型中產生，最終又回到數學抽象。

教師和學生一起總結本節課的內容：有理數乘法法則無法被證明，是一種“規定”，給出這種“規定”的原則是使原有的運算律保持不變，只有這樣才能使數學的發展建立在原有的基礎上。

四、課后問卷調查

課后教師對31名聽課學生進行了問卷調查。對于“你以前了解為什么‘負負得正’嗎？”這個問題，有18名學生知道“負負得正”，但不知道原因，沒有深入想過，也沒有質疑過對錯，只是接受了這個結論；其中有的學生認為教師教的都是對的，“負負得正”是公理，是嚴謹而準確的，沒必要質疑。有12名學生表示了解過，了解的途徑有實際生活、有關資料、父母講解等。有1名學生表示了解過，也質疑過，但最終認為“負負得正”是一個“定義”，記住即可。

學生認為，從現實模型與數學邏輯兩個角度明確“負負得正”，與單純地用“規定”來說明“負負得正”相比有以下好處：現實模型更形象，邏輯語言更嚴謹；讓大家理解“負負得正”的根本原因；讓人心服口服，而不是把知識強加于人；不僅對知識的理解更深刻，記憶更清晰，還能給人以啟示，讓我們更加熱愛數學；拓寬視野；等等。

對于“作家司湯達的故事給你什么啟示”這個問題，有22名學生提到了司湯達的質疑精神很值得學習，但質疑后應該有探究問題的精神和能[JP3]力。也有學生說，思考問題時一個人是不夠的，需要團隊合作討論才能解決；理解問題時要有層次感。

對于印象最深的環節，有的學生對大家一起討論用各種現實生活的例子來解釋“負負得正”印象最深，認為話題開放，大家思維踴躍，理解問題的角度多樣，讓人更好地理解并記住這個法則，感受到了數學的奧妙。有的學生對司湯達的故事印象深刻，認為故事很有趣，讓自己知道不懂就要問，做題時要注意細節，而且如果司湯達注意到單位問題，說不定就可以解決困惑了。有的學生認為，司湯達的困惑很讓人震驚，乍一看好像是對的，但引人深思。有的學生對用邏輯運算解釋“負負得正”印象深刻，認為只有在這個環節才真正地從數學的角度理解該法則，感受到數學的美妙，顯示了數學的理性表達。還有的學生對教師關于“負負得正”思路的引導和用畫數軸解釋印象深刻。

五、教學反思

“負負得正”這一符號法則是數學上為了在數系擴充時保持運算律一致性而做出的合理規定，它本身并不能被證明，但其合理性可以借助現實模型加以解釋。在課堂教學中，教師往往不重視“負負得正”法則的由來，也很少給予學生機會去探究為什么“負負得正”。究其原因，一是教師對該法則缺乏深刻的理解；二是教師往往認為，學生只要記住該法則并會運用于有理數的運算即可。

在本節課中，教師從司湯達的故事入手，引導學生對“負負得正”進行探究，除了讓學生更深刻地理解這一法則，還體現了多個方面的教育價值。

第一，質疑與探究。學生已經知道“負負得正”，但將其視為理所當然。司湯達的故事不僅讓學生感悟質疑的精神，而且讓他們明白處處留心皆學問的道理。

第二，說理與求真。“負負得正”是數學上的一種人為規定，但這種規定并非數學家隨心所欲做出的，而是有其合理性。探究規定背后的合理性，可以讓學生體會說理的重要性，感悟求真的科學精神。

第三，傾聽與交流。課堂上，每一位學生都對“負負得正”做出自己的解釋，每一位學生又都是傾聽者，他們都能從他人的解釋中獲得思想的啟迪，從而體會到交流、合作的重要意義。

第四，困難與困惑。歷史名人司湯達在學習數學的過程中亦遇到困惑，這個史實告訴學生，人非圣賢，孰能無惑，從而讓他們學會客觀地看待自己學習過程中所遇到的困難與困惑。

參考文獻：

[1]克萊因[KG*2]F.高觀點下的初等數學（第1卷）[M].舒湘芹，陳義章，楊欽梁，譯.上海：復旦大學出版社，2008.

[2]KLINE M.Logic versus pedagogy[J]. American mathematical monthly，1970（3）：264-282.

[3]斯丹達爾. 斯丹達爾自傳[M]. 周光怡，譯. 南京：江蘇文藝出版社，1998.