“行程問題”的解題方法與教學(xué)思考

倪方圓 吳希 鄭嘉楠

摘要：“行程問題”是小學(xué)奧數(shù)中一大基本問題，常見的“行程問題”有相遇/相離問題、追及問題等，根據(jù)不同類型，結(jié)合實例，歸納數(shù)量關(guān)系，總結(jié)解題方法。產(chǎn)生教學(xué)思考如利用數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)量關(guān)系;創(chuàng)設(shè)問題情境，注重算理教學(xué);滲透發(fā)展小學(xué)生代數(shù)思維。

關(guān)鍵詞：行程問題;解題方法;教學(xué)思考

一、“行程問題”的概念

“行程問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的重點也是難點，包括相遇、追及等數(shù)十種類型。按運動物體個數(shù)可分為一個物體的運動、兩個及兩個以上物體運動，按運動方向可分為相向、同向、背向。題型變化無窮，但實質(zhì)不變，主要解決速度、時間、路程三個核心量的關(guān)系。這類題目理解難度不大，但是解題思路奇巧，解題過程靈活且有趣，本文試總結(jié)其解題方法，并探討蘊含其中的教學(xué)思考。

二、“行程問題”解題方法

“行程問題”解題關(guān)鍵是找到速度、時間和路程的關(guān)系進行計算，本文根據(jù)不同的類型歸納解題方法。

（一）相遇問題

兩個運動物體做相向運動，或在環(huán)形跑道上作背向運動，最終相遇的問題被叫做“相遇問題”。從相遇次數(shù)上分為一次相遇和二次相遇，從結(jié)果上分為求速度、求時間、求路程。

一次相遇實質(zhì)是兩人共同走了A、B之間這段路程，所以在這一類問題中，存在如下數(shù)量關(guān)系：A， B兩地的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇時間=速度和×相遇時間。二次相遇問題的實質(zhì)為第二次相遇時甲乙走的總路程是A、B兩地路程的兩倍，可得到數(shù)量關(guān)系：（A， B兩地的路程）X3=（甲的速度+乙的速度）×相遇時間=速度和×相遇時間。

（二）相離問題

相離問題與相遇問題的解題過程基本一致，只是運動方向為相背而行。這類問題中的數(shù)量關(guān)系為：兩地距離=速度和×相離時間。上述兩種行程問題，可以發(fā)現(xiàn)相遇（相離）問題中存在類似的數(shù)量關(guān)系，即：速度和×相遇（相離）時間=相遇（相離）路程。

（三）追及問題

兩個運動物體從不同地點出發(fā)，也可從同一地點出發(fā)（如環(huán)形跑道），方向相同，快的追及慢的。這樣的行程問題叫做追及問題，這類問題中一般存在這樣的數(shù)量關(guān)系：速度差×追及時間=追及（或領(lǐng)先）的路程 。

解題關(guān)鍵在于找出距離差、速度差、追及時間中的兩者，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出第三者。例如題1：甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時向同一個方向前進。甲在前，以每小時5千米的速度步行;乙在后，以每小時10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時后乙能追上甲？乙追及甲的路程是9千米，甲、乙兩人速度差為5千米/小時，由“追及時間=追及路程÷速度差”求出追及的時間。

（四）過橋問題

過橋問題指一列火車通過一座橋/隧道，研究其車長、車速、橋長/隧道長，過橋/鉆隧道的時間等關(guān)系的一類應(yīng)用題。在這類行程問題中，需關(guān)注車長，行駛的路程一般為隧道長/橋長加車長。因此存在這樣的數(shù)量關(guān)系：橋長+車長=路程;平均速度×過橋（隧道）時間=路程。解題關(guān)鍵在于在車長和參照點的長度關(guān)系中得到行駛的路程，再根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系求解。

（五）行船問題

流水行船問題需要掌握的數(shù)量較多，除時間、路程外，還要注意船的順?biāo)俣然蚰嫠俣龋o水速度，還有水流速度。要解答行船問題，需要掌握以下幾個數(shù)量關(guān)系：船速+水速=順?biāo)?船速-水速=逆水速度;（順?biāo)?逆水船速）÷2=船速;（順?biāo)?逆水船速）÷2=水速;順?biāo)?逆水船速+水速×2。解決行船問題，關(guān)鍵是至少找到水速、凈水速度、順?biāo)俣然蚰嫠俣戎械膬蓚€，再根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系進行求解。

三、“行程問題”中的教學(xué)思考

（一）數(shù)形結(jié)合——理清數(shù)量關(guān)系

行程問題涉及多個數(shù)量，且數(shù)量關(guān)系有時較為復(fù)雜，因此“畫行程圖”是幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系的好方法。運用數(shù)形結(jié)合的思想，將問題化抽象為具體。如在例題1追及問題中，可畫出如圖一的線段圖，并從中看出甲追及的路程就是甲、乙前后相距的路程。

數(shù)形結(jié)合，巧妙地將文字表述轉(zhuǎn)化成圖形表述，從而使學(xué)生直觀具體地感受題中的數(shù)量關(guān)系，符合小學(xué)生具體形象邏輯思維能力的特征。在進行這類題目的教學(xué)時，要先帶領(lǐng)學(xué)生畫圖分析，直觀感受行程問題中的特殊數(shù)量關(guān)系。理清數(shù)量關(guān)系后，再構(gòu)建關(guān)系式進行求解，行程問題就能迎刃而解。

（二）問題情境——注重算理教學(xué)

小學(xué)生的抽象思維能力還不強，因此需要創(chuàng)設(shè)生活情境來幫助理解。以學(xué)生的原有經(jīng)驗和對生活的感知為基礎(chǔ)，加深鞏固學(xué)生對這三個核心數(shù)量及它們之間關(guān)系的認識，在具體情境中進一步理解行程問題中各個量的生活意義。

如題“烏龜和兔子兩家在同一條直線上，相約同時從各自家出發(fā)參加森林運動會，烏龜每小時2千米，兔子每小時30千米，5小時后它們相遇。那么烏龜和兔子兩家的距離是多少？”烏龜和兔子的方向是不定的，需要分類討論，讓學(xué)生意識到速度是具有方向的，要在具體的情境中了解各個數(shù)量的含義。因此教師要注重問題情境的創(chuàng)設(shè)，在實際情境中幫助學(xué)生理清算理，才能真正培養(yǎng)分析、解決問題的能力。

（三）用方程解——發(fā)展代數(shù)思維

小學(xué)生在相當(dāng)長的時間里以算術(shù)思維為主，并向代數(shù)思維發(fā)展。代數(shù)思維的形成可以降低數(shù)學(xué)思考的難度，在解決行程問題時通過設(shè)置未知數(shù)，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系等式，解方程直接得出答案。

在小學(xué)階段，算術(shù)方法和代數(shù)方法各有所長。但是教師在進行教學(xué)時，應(yīng)有意識地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，利用線段圖理解數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等量關(guān)系列方程，引導(dǎo)學(xué)生建立代數(shù)思維。