“行程問(wèn)題”的解題方法與教學(xué)思考

倪方圓 吳希 鄭嘉楠

摘要：“行程問(wèn)題”是小學(xué)奧數(shù)中一大基本問(wèn)題，常見(jiàn)的“行程問(wèn)題”有相遇/相離問(wèn)題、追及問(wèn)題等，根據(jù)不同類型，結(jié)合實(shí)例，歸納數(shù)量關(guān)系，總結(jié)解題方法。產(chǎn)生教學(xué)思考如利用數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)量關(guān)系;創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，注重算理教學(xué);滲透發(fā)展小學(xué)生代數(shù)思維。

關(guān)鍵詞：行程問(wèn)題;解題方法;教學(xué)思考

一、“行程問(wèn)題”的概念

“行程問(wèn)題”是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，包括相遇、追及等數(shù)十種類型。按運(yùn)動(dòng)物體個(gè)數(shù)可分為一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)、兩個(gè)及兩個(gè)以上物體運(yùn)動(dòng)，按運(yùn)動(dòng)方向可分為相向、同向、背向。題型變化無(wú)窮，但實(shí)質(zhì)不變，主要解決速度、時(shí)間、路程三個(gè)核心量的關(guān)系。這類題目理解難度不大，但是解題思路奇巧，解題過(guò)程靈活且有趣，本文試總結(jié)其解題方法，并探討蘊(yùn)含其中的教學(xué)思考。

二、“行程問(wèn)題”解題方法

“行程問(wèn)題”解題關(guān)鍵是找到速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，本文根據(jù)不同的類型歸納解題方法。

（一）相遇問(wèn)題

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體做相向運(yùn)動(dòng)，或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，最終相遇的問(wèn)題被叫做“相遇問(wèn)題”。從相遇次數(shù)上分為一次相遇和二次相遇，從結(jié)果上分為求速度、求時(shí)間、求路程。

一次相遇實(shí)質(zhì)是兩人共同走了A、B之間這段路程，所以在這一類問(wèn)題中，存在如下數(shù)量關(guān)系：A， B兩地的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間=速度和×相遇時(shí)間。二次相遇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)為第二次相遇時(shí)甲乙走的總路程是A、B兩地路程的兩倍，可得到數(shù)量關(guān)系：（A， B兩地的路程）X3=（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間=速度和×相遇時(shí)間。

（二）相離問(wèn)題

相離問(wèn)題與相遇問(wèn)題的解題過(guò)程基本一致，只是運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橄啾扯小＿@類問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系為：兩地距離=速度和×相離時(shí)間。上述兩種行程問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)相遇（相離）問(wèn)題中存在類似的數(shù)量關(guān)系，即：速度和×相遇（相離）時(shí)間=相遇（相離）路程。

（三）追及問(wèn)題

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體從不同地點(diǎn)出發(fā)，也可從同一地點(diǎn)出發(fā)（如環(huán)形跑道），方向相同，快的追及慢的。這樣的行程問(wèn)題叫做追及問(wèn)題，這類問(wèn)題中一般存在這樣的數(shù)量關(guān)系：速度差×追及時(shí)間=追及（或領(lǐng)先）的路程 。

解題關(guān)鍵在于找出距離差、速度差、追及時(shí)間中的兩者，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出第三者。例如題1：甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時(shí)向同一個(gè)方向前進(jìn)。甲在前，以每小時(shí)5千米的速度步行;乙在后，以每小時(shí)10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時(shí)后乙能追上甲？乙追及甲的路程是9千米，甲、乙兩人速度差為5千米/小時(shí)，由“追及時(shí)間=追及路程÷速度差”求出追及的時(shí)間。

（四）過(guò)橋問(wèn)題

過(guò)橋問(wèn)題指一列火車通過(guò)一座橋/隧道，研究其車長(zhǎng)、車速、橋長(zhǎng)/隧道長(zhǎng)，過(guò)橋/鉆隧道的時(shí)間等關(guān)系的一類應(yīng)用題。在這類行程問(wèn)題中，需關(guān)注車長(zhǎng)，行駛的路程一般為隧道長(zhǎng)/橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)。因此存在這樣的數(shù)量關(guān)系：橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)=路程;平均速度×過(guò)橋（隧道）時(shí)間=路程。解題關(guān)鍵在于在車長(zhǎng)和參照點(diǎn)的長(zhǎng)度關(guān)系中得到行駛的路程，再根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系求解。

（五）行船問(wèn)題

流水行船問(wèn)題需要掌握的數(shù)量較多，除時(shí)間、路程外，還要注意船的順?biāo)俣然蚰嫠俣龋o水速度，還有水流速度。要解答行船問(wèn)題，需要掌握以下幾個(gè)數(shù)量關(guān)系：船速+水速=順?biāo)?船速-水速=逆水速度;（順?biāo)?逆水船速）÷2=船速;（順?biāo)?逆水船速）÷2=水速;順?biāo)?逆水船速+水速×2。解決行船問(wèn)題，關(guān)鍵是至少找到水速、凈水速度、順?biāo)俣然蚰嫠俣戎械膬蓚€(gè)，再根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解。

三、“行程問(wèn)題”中的教學(xué)思考

（一）數(shù)形結(jié)合——理清數(shù)量關(guān)系

行程問(wèn)題涉及多個(gè)數(shù)量，且數(shù)量關(guān)系有時(shí)較為復(fù)雜，因此“畫(huà)行程圖”是幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系的好方法。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將問(wèn)題化抽象為具體。如在例題1追及問(wèn)題中，可畫(huà)出如圖一的線段圖，并從中看出甲追及的路程就是甲、乙前后相距的路程。

數(shù)形結(jié)合，巧妙地將文字表述轉(zhuǎn)化成圖形表述，從而使學(xué)生直觀具體地感受題中的數(shù)量關(guān)系，符合小學(xué)生具體形象邏輯思維能力的特征。在進(jìn)行這類題目的教學(xué)時(shí)，要先帶領(lǐng)學(xué)生畫(huà)圖分析，直觀感受行程問(wèn)題中的特殊數(shù)量關(guān)系。理清數(shù)量關(guān)系后，再構(gòu)建關(guān)系式進(jìn)行求解，行程問(wèn)題就能迎刃而解。

（二）問(wèn)題情境——注重算理教學(xué)

小學(xué)生的抽象思維能力還不強(qiáng)，因此需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)生活情境來(lái)幫助理解。以學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)和對(duì)生活的感知為基礎(chǔ)，加深鞏固學(xué)生對(duì)這三個(gè)核心數(shù)量及它們之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，在具體情境中進(jìn)一步理解行程問(wèn)題中各個(gè)量的生活意義。

如題“烏龜和兔子兩家在同一條直線上，相約同時(shí)從各自家出發(fā)參加森林運(yùn)動(dòng)會(huì)，烏龜每小時(shí)2千米，兔子每小時(shí)30千米，5小時(shí)后它們相遇。那么烏龜和兔子兩家的距離是多少？”烏龜和兔子的方向是不定的，需要分類討論，讓學(xué)生意識(shí)到速度是具有方向的，要在具體的情境中了解各個(gè)數(shù)量的含義。因此教師要注重問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，在實(shí)際情境中幫助學(xué)生理清算理，才能真正培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力。

（三）用方程解——發(fā)展代數(shù)思維

小學(xué)生在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里以算術(shù)思維為主，并向代數(shù)思維發(fā)展。代數(shù)思維的形成可以降低數(shù)學(xué)思考的難度，在解決行程問(wèn)題時(shí)通過(guò)設(shè)置未知數(shù)，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系等式，解方程直接得出答案。

在小學(xué)階段，算術(shù)方法和代數(shù)方法各有所長(zhǎng)。但是教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，利用線段圖理解數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等量關(guān)系列方程，引導(dǎo)學(xué)生建立代數(shù)思維。